高中数学片段教学设计大全11篇

绪论：写作既是个人情感的抒发，也是对学术真理的探索，欢迎阅读由发表云整理的11篇高中数学片段教学设计范文，希望它们能为您的写作提供参考和启发。

篇（1）

随着以发展学生数学核心素养为数学课程目标的提出，如何在课堂教学中落实学生的数学核心素养成为一线教师面临的问题。诸多研究指出，深度学习是数学课堂教学中培育学生数学核心素养的重要路径，致使深度学习成为教育领域的热点话题。深度学习，即深层学习，是美国学者FerenceMarton和RogerSaljo基于学生阅读的实验，并针对孤立记忆和非批判性接受知识的浅层学习，于1976年首次提出的关于学习层次的概念[1]。与浅层学习相比，深度学习的特征具体体现在：认知深度，即高阶思维的运用；参与深度，即积极主动地参与；目标深度，即通过学习达到知识理解迁移及发展批判创造性思维[2]。因此，作为最大限度地挖掘学生智力资源的有效路径，深度学习是指学生在教师的引领下，围绕具有挑战性的学习主题，全身心地积极参与，并从中体验成功、获得发展的一种有意义学习过程[3]。近年来，学者们对深度学习的研究论述主要聚焦于宏观视角下的深度学习或零散的学科教学设计案例研究[4-7]，而对深度学习落实于数学课堂教学设计的分析研究较少。鉴于此，本文从理解性、思想性、整体性、逻辑性四个方面对数学教学设计的基本要求进行深度剖析，进而对深度学习下高中数学教学设计提出了几点优化策略，以期为一线教师的数学教学设计提供一些理论借鉴和实践参考。

一、基于深度学习的高中数学教学设计基本要求

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：高中数学教学要在学生有意义学习的基础上发展学生的数学学科核心素养[8]。对此，数学教师应切实做好基于深度学习的数学教学设计，即深入理解分析教学内容、挖掘教学内容蕴涵的思想方法、梳理教学内容内在的框架结构、遵循教学内容严密的逻辑生成。简言之，基于深度学习的高中数学教学设计要体现“注重理解性”“渗透思想性”“把握整体性”“恪守逻辑性”等方面的基本要求。

1.注重理解性

深度学习是学习者提高学习质量的有效方式，学习者可通过深度学习灵活理解学科知识并应用其解决实际问题。所谓注重理解性，是对知识通性、通法、共性的深度认识，它是数学教学中的基本要求，是学生掌握数学知识、发展数学素养的有效手段。《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出要培养学生学科核心素养，主要指学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力[9]，但相关研究表明学生仅通过简单记忆和机械式应用无法达到课标的要求。而深度学习作为一种教学理解和教学设计模式，旨在通过理解分析教学内容，设计有助于学生深度思考的教学活动，使体现学科本质、关注学习过程和富有深度思考的学习活动真正发生[10]。可见，深度学习的重点在于引导学生在学习过程中产生认知冲突，进而组织学生全身心地参与学习活动，让学生体验成功、获得发展，以提升学生的综合素养。因此，在深度学习的数学教学过程中，学生要理解数学的核心内容，并在经历数学知识的发生发展历程中把握所学内容的数学本质，从而促进学生核心素养的发展。总之，要实现学生的深度学习，落实数学核心素养，数学教学设计就必须基于学情，确立“适切”的深度学习目标，且精心设计教学及评价任务，进而引导学生深度理解。

2.渗透思想性

在深度学习的数学教学过程中，渗透数学思想是培养学生思维能力的一种有效路径，它能促使学生形成自己的学习方式，逐步提升学习效率。所谓数学思想，是指数学知识、方法在更高层次上的抽象概括和最本质的认识。但如何在数学教学中渗透数学思想？研究发现：教师深度教学与学生深度学习相结合是渗透数学思想的重要方式，即深在学生参与，倡导积极主动的学习态度；深在课程内容，倡导知其所以然的思想意识；深在学习过程，倡导学以致用的教育理念；深在学习结果，倡导批判思维的学习策略[11]。因此，教师在设计数学课堂教学时，要让学生学会通过深度学习将自身获取的点状、片段、孤立的知识、思想内化为必备品格和关键能力。让学生经历深度学习的思维过程，促使学生分析问题、解决问题、批判思维、创造思维等能力得到显著发展，从而强化学生的数学思想意识，发展学生的数学核心素养。

3.把握整体性

整体把握数学学科主题，聚焦核心素养主线，系统设计课堂教学是指向深度学习的数学教学设计基本策略。所谓把握整体性，即数学知识不是孤立的“点”，数学教师要从整体上把握彼此联系的基本命题或概念体系等[12]。从深度学习的目标来看，数学整体性教学设计培养学生会用数学的眼光观察现实世界，从中体现数学的抽象性；会用数学的思维思考现实世界，从中体现数学的严谨性；会用数学的语言表达现实世界，从中体现数学的应用性。从深度学习的内容来看，数学整体性教学设计一方面要求教师在讲解教材中显性知识时，应引导学生透过现象发现数学的本质，深度理解数学的思想方法等隐性知识，进而达到显隐知识的动态转化；另一方面要求学生能将零散的数学知识整合，能系统梳理知识框架，能架构科学的、合理的知识体系。因此，教师在设计教学时应把握整体性，积极引导学生在知识迁移与应用的过程中发展数学核心素养。总之，整体把握数学教学设计需要有效解决课时间的零散性与知识间的孤立性，单元间的割裂性与学科间的无关联性等问题，从而更好地揭示数学知识的本质，促进学生学习的迁移类推，进而达到深度学习，为学生的自我发展奠定基础。

4.恪守逻辑性

问题是数学教学的引领和驱动，而数学教学实质上是数学问题不断得以解决的认知过程，故问题特色是设计教学的逻辑起点，它贯穿于目标、过程、评价及反思等环节之中。同时教材的内容体系编排总是遵循知识点间的相互联系及其框架的逻辑结构。对此，基于深度学习的高中数学教学设计要恪守逻辑性是重中之重。所谓恪守逻辑性，是指教学内容设计符合逻辑框架、具有一定的逻辑特点和逻辑规则。可见，教师需按照合情合理、合乎逻辑的学习要求，整体梳理数学知识框架、把握数学本质促进知识理解，培养学生逻辑思维能力，促进其深度学习。因此，高中数学教师在设计教学时，应结合数学课程标准的相关理念及要求，从知识逻辑结构的视角研究课程、组织学材，关注知识点间的内在逻辑，使得相关知识形成一个完整的知识链条和结构体系，从而把握知识的系统性，进而促进学生数学核心素养的发展[13]。

二、基于深度学习的高中数学教学设计优化策略

指向深度学习的教学设计是教师对学科知识本质和学生学习的具体的、深入的设计。这就要求教师在整体理解教学内容、目标、学情的基础上完成教学设计，具体应掌握如下教学设计优化策略。

1.密切联系实际生活，引导学生理解数学本质

数学本质是教学设计的本意和本然状态，教学中的创意不能偏离教学的本真意义，不能脱离学生的原有经验，更不能背离教学目标制造虚假的创造。如“三角函数的概念”的情境引入环节，教师可设计：一个游乐场的摩天轮设施，假设它的中心离地面高度为h0，它的直径为2，以逆时针方向匀速转动，转动一周需2分钟，若此刻座舱中的你从初始位置OA出发，过了15秒后，你离地面有多高？过了30秒呢？45秒呢？教师借此引导学生理解抽象知识，培养学生数学思想及解决实际问题的能力。可见，基于深度学习的数学教学设计要从学生的学情出发，借助信息技术整合相关数学教学资源，教学素材要密切联系学生生活实践，在引导学生自主探索、动手实践的过程中理解数学本质，从而构筑栩栩如生的数学课堂。

2.精心创设问题情境，帮助学生掌握思想方法

数学教学中的深度探究由数学问题情境引发，在解决数学认知冲突中展开，并在不断解决数学问题的过程中实现知识技能与思想方法总结两个核心目标。如“三角函数的概念”的探索新知环节，教师可设计：若在摩天轮座舱中的你从初始位置OA出发，过了15秒后，你在什么位置呢？你离地面有多高呢？过了30秒呢？45秒呢？60秒、75秒、90秒、105秒呢？让学生感知数学与生活的紧密联系，探究其中蕴含的数形结合等思想方法。可见，在基于深度学习的教学设计中，教师要精心创设有效的、丰富的教学情境，培养学生的问题意识，既让学生理解数学知识，更让学生掌握研究问题的方法、探究问题的思路及如何构建知识体系的能力，进而发展学生的数学核心素养。

3.整体把握教学思路，引领学生实现知识迁移

数学课中的教学内容都是相应数学分支中的点，只有教师站在整个分支的高度来设计教学，才能从整体上把握所授内容的地位与作用、能力与要求、系统与建构，才更有利于学生真正理解和掌握相应的数学知识内涵、方法运用、思想本质。如“三角函数的概念”的巩固训练环节，教师可设计：小明同学在游乐园乘坐旋转木马，他在半径为2的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为1rad/s，求2s时他所在的位置。可见，教师在进行基于深度学习的教学设计时应整体把握教学思路，既要注重知识技能的讲解，也要注重基本思想方法及基本活动经验的培养，并通过巩固训练环节引领学生探析知识的迁移运用，增强学生从数学的角度发现、提出、分析、解决问题的能力，进而发展学生的数学核心素养。

篇（2）

1 加强“亲和力”设计，以自然、亲切、水到渠成的方式，以数学的内在魅力，激发学习兴趣

课标课程理念强调亲和力，“自然”了也就“亲和”

这种“自然”的包括知识产生的自然、知识间衔接的自然、问题解决的自然，具体到一节课的设

包括课题引入、情景创设、为什么要学这些知

点与问题并存，主要存在的识、这些知识在一节课中出现的顺序、师生交流、、重结果轻过程、方问题解决方法的产生等，如果教师在教学设计过程中，都能从这些“自然”出发，那么数学也就“亲和”了，从而达到“把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态”的境界.

案例1高中数学必修1“用二分法求方程的近似解”的设计片段.

步骤一 情景创设，引入主题

师：一元二次方程可用公式求根，那我们又如何求解方程ln260xx+?=的根呢？

生：方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标，函数在区间

，

何找出零点

也就是函数的零点

师：我们已知( )ln26f xxx=+?(2 3)内有零点，进一步的问题是如？

设计意图：产生认知冲突，引起学习兴趣.

步骤二 函数的零点应用二分法求

师：老师的年龄在30岁到42岁之间，你说我几岁呢？

生：36岁.

：我没这么老吧？生：33岁.

师：你们猜的真好，你为什么这么

从而引出二分法的概念，然后引导学生用二分法求出方程

设计意图：让

2 用“问题”激活课堂，

的数学学习，

课标课程注重教学内容的问题性，以提高

、分析、解决问题的能力为目标，通过恰当的、对学生数学思维有适度启

索 ，经历观察 、实验、猜测、推理、交流、

等理性思维的基本过程，切实改进了学生的学习方式.在教学中，教师要根据教学内容，注意理

部分知识之间的内在联系，依据知识之间的内在联系设计问题，遵循循序渐进的原则，设计有层次、有梯度的问题，引发学生去思考、联想，激发了学生的学习动力，发展了学生的问题意识.比如高中数学选修3《微积分基本定理》这节课的问题设计片段.

问题1 设某物体作直线运动，已知速度( )

vv t=

是时间间隔[]a b，上t的一个连续函数，且( )0v t≥，那么物体在这段时间内所经过的路程为多少？（( )

∫与( )( )

问题2 设某物体与问题1作同样的直线运动，已知路程( )ss t=是时间间隔[]a b，上t的一个连续函数，那么物体在这段时间内所经过的路程为多少？（( )( )s bs a?

问题3 ( )

s bs a?相等吗？为什么？

问题4 函数( )vv t与( )=ss t=是否有关？

问题上面四个问题的思考，对( )

3 加强思想方法的渗透与引导，站在数学方法来引导学生解决问

程改思想性，数是对数学知识发生过程的提炼、抽象、概括和升华，是对数学规律的理性认识，是数学的基本观点和基本学的指导思想解决数学问题的

处理方法，是建立数

根本想法；数学思想方法对数学创造和推动人类文化发展有着巨大的作用，是数学教育价值的根本所在，这已越来越被广大数学教育工作者所接受.教师在教学过程中要注重数学思想方法的参透与引导，站在数学方法论的高度来引导学生数学地思考问题、解决问题，提高数学思维能力，例如下解题教学的设计片段.

案例2 已知抛物线2

:2 C yx=，

直线2ykx=+交C于A B，两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.

（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与

AB平行；

（Ⅱ）是否存在实数NB?=求k的不存在，理由.

设计路 以问题串的形式，站在高度引导学生对解题方法的探究，

问题1 当直线2ykx=+的斜率坐标确定吗？（斜率

k确定，点的是变化的主因）

斜率确横坐标与

问题2 既然N点的坐标由定，那么如何用k表示N点的坐标呢？（N点的

坐标一致）

问题3 抛物线C在点N处的切线的

（求导）

问题4 所有的N点中，是否有

M点的横斜率怎么求？一点使得

？如何求得该点？（应韦达定理将0

??

??，，所以

×=，所以抛物线在点????数等数学思想，更重要的是学会了探究解题规律的方法，提高了解题能力.

比、归纳、推广、特殊化和化归，沟通不之间的联系与启发

《课标》的课程理念强调知识内在联系，数学新知识的掌握总在某种程度上依赖学生原有的知识

，学生原有的知识通过类比、归纳、推广、特殊化等数学思维方式不断产生新知识，比如通过椭圆学习双曲线、通过函数的性质学习数列的性质、

等差数列学习等比数列、通过数的运算学习向量的运算、通过平面向量学习空间向

方法之间的类比应用、解题过程中已知与未知的联系、数与形的联系等.在教学中，教师应有意识地引导学生通过类比、归纳、推广、特殊化、化归等数学的思维方式不断加强知识之间的联系，使之成为一个整体.

案例3 高中数学选修2-3“二项式定理”的教学设计片段

观察特例：222+=+++B

.

是数学结论，而是思想上的升华.用数学知识解决实际问题，发展学生的应用意识、增强学生对数学的理解识，那么如何才能真正做到发展学生的数学应用意识呢？

篇（3）

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：高中数学教学要在学生有意义学习的基础上发展学生的数学学科核心素养。对此，数学教师应切实做好基于深度学习的数学教学设计，即深入理解分析教学内容、挖掘教学内容蕴涵的思想方法、梳理教学内容内在的框架结构、遵循教学内容严密的逻辑生成。简言之，基于深度学习的高中数学教学设计要体现“注重理解性”“渗透思想性”“把握整体性”“恪守逻辑性”等方面的基本要求。

1.注重理解性

深度学习是学习者提高学习质量的有效方式，学习者可通过深度学习灵活理解学科知识并应用其解决实际问题。所谓注重理解性，是对知识通性、通法、共性的深度认识，它是数学教学中的基本要求，是学生掌握数学知识、发展数学素养的有效手段。《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出要培养学生学科核心素养，主要指学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力，但相关研究表明学生仅通过简单记忆和机械式应用无法达到课标的要求。而深度学习作为一种教学理解和教学设计模式，旨在通过理解分析教学内容，设计有助于学生深度思考的教学活动，使体现学科本质、关注学习过程和富有深度思考的学习活动真正发生。可见，深度学习的重点在于引导学生在学习过程中产生认知冲突，进而组织学生全身心地参与学习活动，让学生体验成功、获得发展，以提升学生的综合素养。因此，在深度学习的数学教学过程中，学生要理解数学的核心内容，并在经历数学知识的发生发展历程中把握所学内容的数学本质，从而促进学生核心素养的发展。总之，要实现学生的深度学习，落实数学核心素养，数学教学设计就必须基于学情，确立“适切”的深度学习目标，且精心设计教学及评价任务，进而引导学生深度理解。

2.渗透思想性

在深度学习的数学教学过程中，渗透数学思想是培养学生思维能力的一种有效路径，它能促使学生形成自己的学习方式，逐步提升学习效率。所谓数学思想，是指数学知识、方法在更高层次上的抽象概括和最本质的认识。但如何在数学教学中渗透数学思想？研究发现：教师深度教学与学生深度学习相结合是渗透数学思想的重要方式，即深在学生参与，倡导积极主动的学习态度；深在课程内容，倡导知其所以然的思想意识；深在学习过程，倡导学以致用的教育理念；深在学习结果，倡导批判思维的学习策略。因此，教师在设计数学课堂教学时，要让学生学会通过深度学习将自身获取的点状、片段、孤立的知识、思想内化为必备品格和关键能力。让学生经历深度学习的思维过程，促使学生分析问题、解决问题、批判思维、创造思维等能力得到显著发展，从而强化学生的数学思想意识，发展学生的数学核心素养。

3.把握整体性

整体把握数学学科主题，聚焦核心素养主线，系统设计课堂教学是指向深度学习的数学教学设计基本策略。所谓把握整体性，即数学知识不是孤立的“点”，数学教师要从整体上把握彼此联系的基本命题或概念体系等。从深度学习的目标来看，数学整体性教学设计培养学生会用数学的眼光观察现实世界，从中体现数学的抽象性；会用数学的思维思考现实世界，从中体现数学的严谨性；会用数学的语言表达现实世界，从中体现数学的应用性。从深度学习的内容来看，数学整体性教学设计一方面要求教师在讲解教材中显性知识时，应引导学生透过现象发现数学的本质，深度理解数学的思想方法等隐性知识，进而达到显隐知识的动态转化；另一方面要求学生能将零散的数学知识整合，能系统梳理知识框架，能架构科学的、合理的知识体系。因此，教师在设计教学时应把握整体性，积极引导学生在知识迁移与应用的过程中发展数学核心素养。总之，整体把握数学教学设计需要有效解决课时间的零散性与知识间的孤立性，单元间的割裂性与学科间的无关联性等问题，从而更好地揭示数学知识的本质，促进学生学习的迁移类推，进而达到深度学习，为学生的自我发展奠定基础。

4.恪守逻辑性

问题是数学教学的引领和驱动，而数学教学实质上是数学问题不断得以解决的认知过程，故问题特色是设计教学的逻辑起点，它贯穿于目标、过程、评价及反思等环节之中。同时教材的内容体系编排总是遵循知识点间的相互联系及其框架的逻辑结构。对此，基于深度学习的高中数学教学设计要恪守逻辑性是重中之重。所谓恪守逻辑性，是指教学内容设计符合逻辑框架、具有一定的逻辑特点和逻辑规则。可见，教师需按照合情合理、合乎逻辑的学习要求，整体梳理数学知识框架、把握数学本质促进知识理解，培养学生逻辑思维能力，促进其深度学习。因此，高中数学教师在设计教学时，应结合数学课程标准的相关理念及要求，从知识逻辑结构的视角研究课程、组织学材，关注知识点间的内在逻辑，使得相关知识形成一个完整的知识链条和结构体系，从而把握知识的系统性，进而促进学生数学核心素养的发展。

二、基于深度学习的高中数学教学设计优化策略

指向深度学习的教学设计是教师对学科知识本质和学生学习的具体的、深入的设计。这就要求教师在整体理解教学内容、目标、学情的基础上完成教学设计，具体应掌握如下教学设计优化策略。1.密切联系实际生活，引导学生理解数学本质数学本质是教学设计的本意和本然状态，教学中的创意不能偏离教学的本真意义，不能脱离学生的原有经验，更不能背离教学目标制造虚假的创造。如“三角函数的概念”的情境引入环节，教师可设计：一个游乐场的摩天轮设施，假设它的中心离地面高度为h0，它的直径为2，以逆时针方向匀速转动，转动一周需2分钟，若此刻座舱中的你从初始位置OA出发，过了15秒后，你离地面有多高？过了30秒呢？45秒呢？教师借此引导学生理解抽象知识，培养学生数学思想及解决实际问题的能力。可见，基于深度学习的数学教学设计要从学生的学情出发，借助信息技术整合相关数学教学资源，教学素材要密切联系学生生活实践，在引导学生自主探索、动手实践的过程中理解数学本质，从而构筑栩栩如生的数学课堂。

2.精心创设问题情境，帮助学生掌握思想方法

数学教学中的深度探究由数学问题情境引发，在解决数学认知冲突中展开，并在不断解决数学问题的过程中实现知识技能与思想方法总结两个核心目标。如“三角函数的概念”的探索新知环节，教师可设计：若在摩天轮座舱中的你从初始位置OA出发，过了15秒后，你在什么位置呢？你离地面有多高呢？过了30秒呢？45秒呢？60秒、75秒、90秒、105秒呢？让学生感知数学与生活的紧密联系，探究其中蕴含的数形结合等思想方法。可见，在基于深度学习的教学设计中，教师要精心创设有效的、丰富的教学情境，培养学生的问题意识，既让学生理解数学知识，更让学生掌握研究问题的方法、探究问题的思路及如何构建知识体系的能力，进而发展学生的数学核心素养。

3.整体把握教学思路，引领学生实现知识迁移

篇（4）

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2016）62-0032-03

【作者简介】张亮，南京市第一中学（南京，210001）学生工作处副主任，一级教师。

教与学的各种任务，如果根据从缺少思考到富于思考的操作方式，按它们在连续过程上达到的水平来区分和识别，一般分为记忆、解释性理解和探究性理解三个层次。[1]尽管探究性教学在新课改中获得了一定程度的发展，但我们的教学常停留在记忆、解释性理解层面，探究性理解较少。另一方面，一些数学课堂的探究是一种“假探究”，让学生进行一些肤浅的热闹行为。究其原因，既有传统教学思维和应试的影响，也有部分教师对探究性教学的认识存在误区，比如认为探究性教学耗时长、学生的思维容易信马由缰、探究性教学仅是一种形式等。所以，对高中数学探究性教学需要进一步建立本真的理解和认识，构建探究途径，走真正的、深度的探究道路，深化学生数学思维。

一、探究性教学内容要精心选择

著名数学教育家波利亚说：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不太复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这个问题，就好像打开一道门户，把学生引入一个完整的理论领域。”所以探究性教学内容需要精心选择，否则容易造成探究的形式化、浅表化甚至娱乐化。本节课选取“三次函数的图象和性质”作为探究内容是合适的，具体而言，学生已经掌握了导数研究函数的一般方法，具备了知识与技能上的基础；在掌握了多项式函数中的一次、二次函数的图象和性质后，学生比较渴望了解三次函数图象和性质，具备了情感和态度上的基础；相比于一次函数和二次函数，三次函数的图象和性质更加多样而丰富，具备了探究过程和空间上的基础。

学生思维上的自由度还表现在“追问”的策略上。南京师范大学涂荣豹教授指出：“在课堂上，教师的启发应该是由远及近的。”其大意是：教师首先提出一个很远的问题，让学生思考一段时间，然后教师提出一个稍接近目标的问题，再让学生思考一段时间，然后教师再提出一个更接近目标的问题，再让学生思考一段时间，如此不断地进行下去。[2]所以，追问中我们需要遵循“由远及近”的原则，给学生充分的思维空间，同时让不同层次的学生都能在教师的启发下，思维逐渐清晰、深入，想到应该怎么做。

上述片段中的追问显现出学生的思维对象逐渐明晰，认识由直观到抽象、由感性到理性的层层深入，深化了数学思维。假设我们先抛出后面的追问，因为指向性太明显，学生思考的空间就会受限，思维的培养和深化也就成了空中楼阁。

纵观整节课，三次函数的图象和性质没有硬生生地抛给学生，达成哪些具体目标、达成的先后顺序是开放的、敞开的。学生的思维不仅没有信马由缰，相反，学生的学习热情得以激发，数学思维得以激活，更加积极、深入地进行探究活动，有效促进了三次函数的单调特点、图象走势、图象形状和零点个数等知识在探究中的自然生成。高中数学探究性教学，只有在教师探究性教学理念的驱动下，精选探究内容，保持教学目标的开放性和探究过程的自由度，才能构建适合学生思维需求的探究途径，拓展和深化学生数学思维，培养学生数学素养！■

【参考文献】

篇（5）

数学是思维的科学，数学教学的重要目的之一是培养学生的思维能力. 需要注意的是，思维能力形成只有在思维中才能形成，这意味着数学教师要将自身的教学行为转换成学生的思考行为，只有学生在思考，思维能力才有可能真正形成.从数学的角度来看，数学思维可以在多种条件下培养，但有一个基本的思维形式不可或缺，那就是“比较”.

比较在学生的生活中并不鲜见，当面对同一个难题时，他们也会比较，比较自己的思维过程；当学生的考试分数出来时，他们会比较，比较自己的学习结果. 比较是一种基本的方式，但其又往往因为没有思维能力培养方式的介入，因而往往只是一种形式上的比较，无法真正促进能力的提升. 在高中数学教学中，应当抓住学习中的比较机会，并以思维培养的具体方式介入，以最终培养学生的思维能力. 现以“函数的单调性”（高中数学人教版必修1）教学为例，谈谈笔者的思考与做法.

[?] 教学设计，寻找比较因子

比较的本质是在相同中寻找不同，在不同中寻找相同. 高中数学教学中的比较，往往是基于原有的学习基础，去发现新的数学知识与原有知识之间的联系与区别，从而促进对新知识的认识.

函数的单调性从定义上来说，就是用数学语言去描述函数的变化趋势――自变量按某种规律变化时因变量的变化趋势. 但这样的定义并不能直接促进学生的数学理解，笔者以为，这一数学理解是需要在比较过程中生成的. 分析本知识可以发现，对“单调性”这一概念的理解首先就需要一个过程――这是数学概念的本质所在，数学概念一定要能够凸显出数学规律的内在特征. 正如有学生所提问的：为什么叫单调性，而不叫其他的名称呢？笔者以为不能小视学生的这一问题，因为学生能否有效地建立一个概念，直接关系着学生对概念的理解与运用.

关于这一点，如果分析教材便可以发现教材编写者其实是很重视这一点的，就拿“函数的性质”这一标题来说，教材通过“在事物变化过程中，保持不变的特征就是这个事物的性质”的描述重点强调“性质”这一概念，正是注意到了概念的重要性.

笔者在教学设计时，遵循了传统的借助于某个情境，如将某地区气温变化图（如图1）作为引入，但重点放在花时间让学生对图象进行分析上. 这里的分析即是比较，譬如在图1中曲线的认识应当如何进行？可以分成几段？每一段具有什么特点？为了描述这些不同，可以借助于数学上的哪些语言？通过这一问题链去促进学生的比较，应当可以促进学生对单调性这一概念的理解. 当然，如果需要继续强化学生对概念的理解，还可以借助教材上的三幅图进行变式训练，限于篇幅，此不赘述. 与此类似的，单调增、单调减、增函数、减函数的概念也可以设计成让学生比较之后生成的概念.

再一个比较因子就是单调区间. 单调区间是相对于某函数的增减性而言的，其学习与运用对应着归纳与演绎的过程. 在概念形成的过程中，学生需要将“单调区间”与“单调”及“区间”两个概念进行比较，从而整合成一个完整的概念，在这个概念生成的过程中，又需要通过比较具体的图象来辅助概念的理解.将比较作为概念理解的基础，可以让单调区间这一概念更为具体.

除了上述两个比较因子之外，再如“研究函数的单调性与最大（小）值”. 教材上给出的是一个一次函数f（x）=x与一个二次函数f（x）=x2作为例子的，一般情况下教师的注意力往往放在例子的解析上，而事实上学生在遇到这两个例子时，往往会有一种自然而然的比较意识――这种意识来自于生活中的比较行为，说白了也就是在不同中寻找相同. 一次函数与二次函数的图象肯定是不一样的，而一次函数的图象“由左至右是上升的”，二次函数的图象“在y轴的左侧是下降的，在y轴的右侧是上升的”这样的描述，应当努力成为学生比较后的结果. 相比较之下，如果教师直接说出，那学生就少掉了一个比较的过程. 在比较之后再去认识最值，便会发现最值总是相对于一个区间而言的.

[?] 教学活动，引导学生比较

在具体的教学活动中，如何凸显出比较这一思维方式呢？答案无非是将上面的教学设计转换成具体的教学行为，只是需要注意的是，实际教学中学生的比较既有自发的，更离不开教师的引导.

教学环节一：“单调性”概念

根据笔者这些年的教学经验，学生一般是难以将函数在某个区间的单调变化与单调性这一概念联系在一起的，而这又恰恰是数学语言的魅力所在. 因此笔者在教学中创设了情境，让学生认识到函数在某个范围内的变化可能是单一的（具体的教学过程同行们比较熟悉，这里不赘述），在上面教学设计的问题链的基础上，再向学生提出一个问题：你觉得函数在某个范围内的单一变化用什么语言来描述比较恰当呢？

看起来这是一个非数学的问题，其实却是让学生整合原有思维并用自己的语言描述的过程.事实证明，这一过程对于学生的数学学习来说非常重要，当学生试图用自己的语言去理解某一数学规律的时候，数学理解也就产生了. 在教学过程中，学生往往会想出“只增（减）”“纯粹增（减）”，朴素的语言背后显示的是与“单调增（减）”一样的意思. 当笔者将单调一词呈现在学生的面前时，他们一阵惊讶，“为什么是单调”是他们此时一下子冒出来的问题，而这已经不需要教师过多解释了：比较了如图1中不同区间的变化趋势，比较了自己想的概念与数学中统一运用的概念，还有什么比单调这一概念更为传神呢？

教学环节二：单调区间

这个概念是组合而成的.学生此前有了单调性与区间的概念，那单调区间会是什么意思？教材上是通过一个“思考”来打开学生的思维的：如何利用函数解析式f（x）=x2描述“随着x的增大，相应的f（x）随着减小……”而实际教学中可以引导学生去比较图形并思考问题：某一函数的增减总是一成不变的吗？如果在函数变化的过程中既有增又有减，又该如何描述呢？这样学生自然会将图1中的图象分成不同的“段”，而不同的段恰恰对应着不同的区间，不同的区间的单调性又是不一样的，因此单调区间的概念也就应运而生.当然，对于“任意x1，x2∈D，当x1

经验表明，这样的过程不需要太长的时间，但学生的思维却因此而完整.

教学环节三：“最值”

给定一个单调区间，函数往往都会存在最值，这在教师来说是一个最为平常不过的认识. 但对于学生来说又是如何呢？笔者曾经做过试验，当直接向学生提供这一概念时，学生起初会认为这是一个抽象的概念，“最”怎么会与“值”直接组合呢？而当将“最值”理解成最大值和最小值时，学生思维中出现的又是类似于极值的概念. 这个时候，最好的办法其实还是引导学生回到如图1及其他三个变式的图中去比较，并回答问题：如果不给区间，那最值还有没有意义？真正不需要区间就能确定最值的函数，是不是真的不需要确定单调区间？

这样的问题引导学生去比较不同性质的函数，会让学生认识到最值的确定是离不开区间的，最值是相对于区间而言的.

以上只是从具体教学活动中剥离出来的三个小的教学环节，并非课堂的全部，意在表明比较之于学生构建数学概念、理解数学概念的重要性.

[?] 学习反思，促进能力提升

篇（6）

【教学背景和分析】

1.高三复习中，学生对高中数学的知识点进行重新梳理，大量的练习和测试穿插了整个教学过程，在此阶段学生的认知差异和情感差异体现得更为明显。授课班级为高三理科班，一轮复习过程中学生的成绩分化渐趋明显，知识基础和认知能力的差异对学生学习信心，兴趣的正、负面影响逐渐体现。

2.教学内容为一份阶段性测试卷的讲评。试卷均分为102分（满分160分），试卷选题有较好的区分度，学生之间的知识基础和能力差异体现较明显。讲评前做了较详细的卷面统计和学情分析，对重点讲解的问题和重点关注的学生做到心里有数。

【教学设计】

1.讲评中以认知差异为主，从而设计讲评顺序和题型，以阅卷中错误比较集中、有区分度的重点题型作为讲评重点，重视数学思想的渗透。

2.讲评中关注学生的情感差异，渗透情感教育，通过课堂教学中有意识的教学设计给学生表现的机会，帮助学生树立信心，激发学生的学习兴趣。

【教学目标】

1.通过精选问题的讲评，提高学生分析问题的能力，强化数学思想的运用，使各个层次的学生都有所收获。

2.结合情感教育，帮助学生树立信心，激发学生兴趣，为后续的教学打下基础。

【教学过程】

1.学生订正过程

给学生5～8分钟时间，自行订正试卷，可以举手提问。

（教师巡视，观察学生在此过程中遇到的认知困难和情绪波动是否和教师的预判相同）

2.教师讲评过程

教学片段1：

试卷第7题：设x，y∈R，则命题A：“x2+y2≤1”是命题B：“x+y≤1”成立的______条件。（填写“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”或“既不充分也不必要”）

师：填空题前6道题错得不多，第7题开始出现分化，很多同学错填了A是B的“充要”条件。我想先问一下充要条件的含义是什么？

生：充要条件指命题A和B可以相互推出。

师：好的，那么A是B的“充要”条件为什么是错的？

生：A推出B不成立。可以举出反例，如：x=y=0.6

师：非常好，一般我们说明某个判断是错的，只要举出反例就可以了。要正确解答这个题目，我们应该先搞清楚A和B之间的相互推导关系。有没有同学能说一下这个题目的判断方法？

生：若命题B成立，可以知道x和y都小于等于1，那么x2≤x，y2≤y，则A就成立了。又因为A推不出B，所以答案是“必要不充分”。

师：很好，直接从实数x的平方数的变化范围，利用x≤1时，x2≤x，我们得到了正确答案。那么还有没有其他做法？

生：（思考）

师：提示一下观察这两个不等式，如果把这里x，y看做某个点的横纵坐标会怎么样？

生：（讨论后回答）命题A和B中的不等式分别在平面直角坐标系中做出相应的图象。

师：具体呢？能不能画一下看看。

生：（动手作图）A表示一个圆的内部，B表示一个正方形内部。（教师投影）

师：很好，那这个问题还可以怎么解释？

生：由图象可以知道B对应的正方形在A对应的圆的内部，也就是说B对应的点的集合和A对应的点的集合的真子集，所以B能推出A，但A推不出B。

师：很好。那么这种利用“数形关系”转换思考角度从而用图形解决代数问题的思路我们称为……

生：数形结合！

师：好的，那么我们以后在解题中要注意这种思想方法的运用

（评析：在选择典型错例的基础上，有目的地选择有深度和可拓宽的题型，把握讲评内容的层次性，使内容层次与学生层次相吻合，问题难度由浅到深，调动各层次学生都积极参与讲评活动，帮助学生树立信心，同时注意对所学过的知识进行归纳总结，重视数学思想的渗透，启发新思路，探索巧解、速解和一题多解，从而使各层次学生都能有所收获。）

教学片段2：

师：第7题解完了，现在我想了解一下这道题目的哪些同学做对了，请做对的同学把手举一下。

生：（举手）

师：好的，放下。说明这些同学概念掌握的很好，提出表扬，也希望其他同学吸取教训，争取下次不要再错。

……

师：填空题讲完了，这次的填空题有一定的难度，但班上还是有6名同学拿了满分，他们分别是……提出表扬，希望继续保持。

（评析：考试以后学生的情感，经常表现出强烈的两极性，一场考试后常会引出一些意想不到的结果。在试卷讲评时不可忽视各类学生的心理状态，要用好激励手段。讲评过程中注意从各个角度肯定做得好的同学，例如总分好的，或者某一方面做得好的，或者穿插对某个题目正确情况的当堂统计，在全班同学的注视下，增强他们的学习信心。因此，虽然教师对考试结果已有详细统计，但仍应刻意安排这一环节。）

教学片段3：

师：下面我们看第16题的立体几何题，立体几何是高考必考题，虽然难度不大，但希望引起大家的重视，不要无谓丢分。

师：从这道题目的批改结果看，大多数同学都知道解题的思路，但不少人拿不到全分，原因往往在于书写不规范，定理叙述不完整。我们请孙xx同学把她的解题过程拿上来给我们看一下。

（学生孙xx数学基础一般，此次成绩98，在均分以下，解题速度较慢，但学习态度认真，立体几何的书写比较严密和完整，用她的试卷作为样卷，实物投影略作点评和讲解。）

……

师：孙xx同学的过程非常完整，定理运用准确，大家对照自己的过程，希望能有所改进。

（评析：对各种优点的表扬要因人而异，对学生的答卷优点，应大加推崇。如卷面整洁、解题规范；解法有独到之外、有创造性等， 优秀的答卷可以在全班作为样卷评讲，不仅可以节约板书时间，提高课堂效率；还可以大大增强学生的学习兴趣和信心。由于这道立体几何题虽有不少失分但问题难度不大，只需略讲，用孙xx试卷的展示即节约了时间，提高了教学效率，又对其学习态度作了无形的褒奖，可以激发此类中等生的学习热情。）

篇（7）

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2016）11B-0097-02

“先行组织者”是美国教育心理学家奥苏贝尔在1960年提出的一个教育心理学的重要概念，“先行组织者”就是为同化当前知识与原有的认知结构而先于学习任务本身呈现的一种引导性的材料，它在教学中起到相当重要的桥梁作用。2003年教育部制订的《普通高中数学课程标准（实验）》明确指出，倡导积极主动、勇于探究的学习方式。将“先行组织者”教学策略应用于数学教学中，适合学生认知结构的特点，有助于教师设计教学内容、安排教学顺序，有助于学生的自主学习、记忆保持、迁移运用。这一种教学策略，能够提高学生分析问题的能力和解决问题的能力，从而形成高效课堂。本课例是将“先行组织者”教学策略应用于n堂教学的实践，现将具体的教学过程呈现如下。

【学习目标】

1.了解类比推理的数学方法含义，以及这种思维方法的过程和特点；

2.运用类比方法进行简单推理，做出数学猜想；

3.培养学生的数学归纳能力，提高学生的创新探索意识；

4.培养学生严谨、创新的数学思维习惯和锲而不舍的钻研精神。

【重点难点】

重点：了解类比推理的含义以及数学中类比思维的过程、特点，能利用类比进行简单的数学推理。

难点：运用“观察―类比―猜想―证明”探求数学结论。

【课堂片段实录】

任务1：问题导思

阅读教材（普通高中课程标准实验教科书《数学》选修1-2），P25―27，在理解的基础上，完成下列知识点的填空。

1.鲁班由带齿的草发明锯；人们从蜻蜓的飞行过程发现直升飞机的飞行原理，仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇，在教学中由指数函数性质探索发现对数函数的性质。以上都是类比思维，即类比推理。

由两类对象具有某些________和其中一类对象的某些________，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）。简言之，类比推理是________的推理。

2.初中在平面几何中学习的勾股定理：如图 1 所示，在RtABC 中，a，b，c 为角 A，B，C 所对的边，则用勾股定理表示为________。

任务 2：合作探究

例1 观察下列等式：

大家观察这组式子，他们有什么不同之处？从中可以发现什么规律？由此，你能归纳出 RtABC 中三个内角的一个性质吗？这个性质是不是与勾股定理有几分相似呢？你进而能证明所得到的结论吗？

【设计意图】以学生熟悉的两个式子为“先行组织者”，引入课题，通过探索和发现，激发学生学习的兴趣。创设一个以学生为主体，师生互动，共同探索的教与学情境，让学生带着问题通过自主学习、课堂讨论、相互合作等方式，使学生在解决问题的过程中不知不觉地实现知识的传递、迁移和融合。

学生小组讨论、展示。

A 组的观点是：由诱导公式得，从而得到在 RtABC 中有；

B 组的观点是：因为，进而得到在 RtABC 中有。

教师：上面得到的结论与勾股定理在形式上是否相似？你能运用勾股定理来证明这个结论吗？

【设计意图】从归纳推理过渡到类比推理。

进入小组讨论。

C 组展示做法：由平面内直角三角形的勾股定理：，得，从而得到。

教师小结：大家能从勾股定理出发，用归纳、类比的方法找到相关的性质。其实与勾股定理类似的还有许多数学性质，例如设 a 边上的高为 ha ，b 边上的高为 hb ，c 边上的高为 hc ， 是否成立？

小组讨论后，用特例说明，令 a=3，b=4，c=5，则 ha=4，hb=3，，故结论 明显不成立。

D 小组认为：通过实验，等式可能成立，大家可以尝试利用勾股定理作出说明。

于是，又进入讨论环节，最终给出了这个性质的证明。

【设计意图】教师将“先行组织者”设计为勾股定理，设问采用渐进分化策略，降低思维难度，让学生体会归纳推理的一般步骤，进而让学生知道归纳推理能够起到提供研究方向的作用，给出探索的路径。学生积极主动地参与课堂活动（例如小组讨论的形式），体验归纳推理获得数学结论的过程，了解归纳推理的含义，明确归纳推理的一般步骤。

【平行训练】

（1）如图 2 左图所示，设长方形的长和宽分别为 x 和 y，则其对角线 l 的长为：l = ________。

（2）如图 2 右图所示，设长方体的长、宽、高分别为 x，y，z，则其体对角线 l 的长为：l =________ 。

【设计意图】基础训练，检查教学效果。练习题由浅入深，螺旋上升，逐步提高学生的思维能力。

通过讨论得到答案（1）；（2）。

由平行练习得到启发，我们可以将勾股定理从平面几何图形拓展到立体几何图形。

例2 （普通高中课程标准实验教科书《数学》选修 1-2，P26 例 4 改编）如图 3 ，在正方形中用直线截得一个 RtABC，同样在正方体中用平面截得一个三个侧面两两垂直的四面体。类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想。

【设计意图】让学生通过观察、感知、分析和归纳，完成由易到难、由浅入深、由已知到未知、由特殊到一般的思维飞跃。思维提示：直角三角形中，∠C=90°，3 条边的长度为 a，b，c，其中 2 条直角边 a，b 和 1 条斜边 c 在 3 个侧面两两垂直的四面体中，∠ADB=∠ADC=∠BDC=90°，4 个面的面积 ，， 和 ，其中 3 个“直角面”，， 和 1 个“斜面” 拓展：三角形到四面体的类比。

E 小组用比的思想方法得到猜想：

教师：这个结论正确吗？请同学们证明。

通过学习讨论，学生展示了这个性质的证明方法。

【课后评析】

在《普通高中数学课程标准》中，课程基本理念倡导自主学习、探索学习，指出“高中数学课程应返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展背景、过程和本质，使学生理解数学概念产生的背景和逐步形成的过程，体会其中的思想，体验寻找真理和发展真理的方法”。数学既是演绎的科学，也是归纳的科学，因此，数学已形成一整套结论的体系，而且结论的发现过程也成为我们教学的主要内容。归纳推理是“推理与证明”一章中的重要组成部分，具有探索、发现和猜测部分数学结论的作用，有利于学生创新意识的培养，在实际生活中用途很大。类比推理这节课是以新课标为依据，结合学校科研课题“在新课改背景下高中数学教学中先行组织者策略的实践与探索”进行课堂教学设计。

在中学数学教学过程中，我们常常会遇到似曾相识的问题，如果把似曾相识的问题进行对比和比较，或许会发现许多意外的结果和方法。这种“把类似进行比较、联想，由一个数学对象已知的特殊性质迁移到另一个数学对象上去，从而获得另一个数学对象的性质”的思维方法就是类比法。本节课通过归纳的方法引出问题，用类比的方法去发现新的数学性质，再用演绎的方法去证明。所提供的问题情境，需要探索性思维和整体性思维。通过学生的观察和类比，寻找论证方法，给学生提供施展才华、发展智慧的机会。

篇（8）

高中学生在入学前发展了许多非形式教学知识，这些知识对学生来说很有意义也很有趣味，非形式教学常常是主动建构而不是被动接受．进入高中后，大量的学习是用符号写成的形式数学．研究表明，“学生常常不是按照教师的方式去做数学．”也就是说，学生不只是模仿和接受成人的策略和思维模式，他们要用自己现存知识去过滤和解释新信息，以致同化他们．

［案例1］ “二项式定理”教学实录片段

教师：大家一定知道著名的大数学家费马吧，他是解析几何的创始人之一．费马对数学的贡献远远不止于此，他几乎涉足到数学的每一个领域当中．与费马同期的有一位也相当著名的物理学家，他就是帕斯卡，帕斯卡与费马非常友好．费马三番五次要引起帕斯卡对数论的注意，这样他们可以一起研究讨论，可是帕斯卡从来对这门数学并不在意．可是他们却同时对一个问题产生了兴趣，而且一起研究．下面让我们一同来看一看引起这两位著名学者注意与兴趣的究竟是什么问题？

教师：他们感兴趣的问题是（屏幕上出现有关内容与动画演示）：丢掷一个铜板或者一粒骰子几次，我们所期望的结果出现的机会是多大？能不能计算出来？这个问题在我们先前学过的概率知识中是可以解决的，而帕斯卡和费马研究最简单的情形：掷铜板的游戏．一个铜板只有二面：头和花．我们用英文字母T代表花，H代表头．

掷铜板一个一次出现的可能情形是：T、H．

掷铜板一个二次出现的可能情形是：TT、TH、HT、HH．

掷铜板一个三次出现的可能情形是：TTT、THT、HTT、TTH、THH、HTH、HHT、HHH．

在这类游戏中，我们并不关心头和花出现的次序而是它们的次数．因此我们把TH和HT看成是一样的，THT和HTT及TTH是当作相同，又如果我们把TT、TTT简写成T2、T3．那么我们看看掷铜板游戏的结果：

掷一次： T H

掷二次： T2 2TH H2

掷三次： T3 3T2H 3TH2 H3

掷四次： T4 4T3H 6T2H2 4TH3 H4

… …

同学们也来当一回小数学家，你如果得到上述结果， 你会有何推测与联想呢？

（课堂上以小组为单位热烈的讨论起来．）

学生1：我有发现！我把那些数字提取出来便可以得到一个三角堆．

0行1

1行1 1

2行1 2 1

3行1 3 3 1

4行1 4 6 4 1

5行1 5 10 10 5 1

6行1 6 15 20 15 6 1

…………

教师：非常好！按照这位同学的方法我们可以得到一个数字结构．请大家看大屏幕．我们可以设第0行的数字是1，或者可以这样说，没有掷铜板，那么结果只有一种，大家同意吗？

学生们：同意！

教师：以上同学们推测的结果就是“杨辉三角”．让我们来看一下有关我国古代著名数学家杨辉及其成就．（在屏幕上显示有关我国古代著名数学家杨辉及其成就，增强学生的民族自豪感）

教师：当然以上的杨辉三角仅仅是大家推测的结果，正如牛顿的名言：“没有大胆的猜想，就不能有伟大的发现和发明. ”同学们现在就把自己置于数学家的位置，仔细观察一下这个蕴涵丰富数学思想的杨辉三角，看看它会使你联想到与哪些我们已经接触过的数学结构有关呢？

教师提示：与什么样的代数结构有关？

（小组讨论若干时间后）

学生2：我们小组讨论的结果是杨辉三角与

(a+b)n展开后的系数有关．

n＝0， 我们有(a+b)0＝1

n＝1， 我们有(a+b)1＝a＋b

n＝2， 我们有(a+b)2＝（a＋b）（a＋b）＝a（a＋b）＋b（a＋b）＝a2+2ab+b2

n＝3， 我们有(a+b)3＝(a+b)1(a+b)2＝a(a2+2ab+b2)+b(a2+2ab+b2)＝a3+3a2b+3ab2+b3

… …

教师：Very good! 大家的探究已经有了成果．处于17世纪末的牛顿也发现了二项式的一般展开式的系数具有这样的规律．这个结果一般我们的数学教材上称为二项式定理，有些参考书目上也称为牛顿二项式定理，这是代数上的一个基本和重要的定理．下面就让我们大家一起来揭开这个重要的代数定理的神秘面纱．

2 创建适当情境，自述概念实质

学生能用自己的语言解释概念的本质属性是学生深刻理解概念的一个非常重要的标志，而将日常语言翻译成数学语言则是一项常规的数学活动，是数学应用的必要步骤．在数学教学中，我们应当从数学学习的自身特点出发，在使用抽象的数学语言和符号表述思想之前，通过可观察的（实物、图形、图表等）、描述性的、可亲身体验的形式来传播新的思想，从而引起学生的学习兴趣，促使他们自己去试验、构造，用他们自己的语言去阐述和解释，以达到对知识的真正的理解．要为学生创造一种环境，使他们在其中能扮演自主活动的角色，有发挥自己的聪明才智进行创造性学习的机会，能自己去寻找需要的证据，获得能够反映自身特点的对数学原理的解释．

［案例2］ “函数最大值与最小值”教学设计片段

2．1 看股市行情，渗透最值概念

下面是一段摘自股市分析的话：

从一月份股市行情看2007年大盘走势．通过对以前K线图的分析，还可以得出一个结论：这就是大盘很容易在年中形成大顶部，而在年前、年后则很容易形成大底部．

（1）给出大盘走势的一张草图．引导学生分析大盘走势草图中隐含的函数关系：横坐标的现实意义；纵坐标的现实意义；两个变量之间的一种函数关系．

（2）在大盘走势的函数图像中引导学生进一步思考它反映了曾学过的函数的重要性质：函数的单调性．

（3）让学生考虑用数学语言来解释“大盘很容易在年中形成大顶部，而在年前、年后则很容易形成大底部”这句话．从中隐含着函数的另一个重要性质：函数的最大值与最小值．

设计意图：数学概念有些是由生产、生活实际问题中抽象出来，有些数学概念源于生活实际，但又依赖已有的数学概念而产生，对于这些概念的教学要通过一些感性材料，创设归纳、抽象的情景，引导学生提炼数学概念的本质属性．在这里我们用现今的股市行情作为问题的实际背景引出函数的最大值与最小值，让学生认识到我们的生活中处处有数学，处处渗透着数学模型．

2．2 分析辨别概念，由表象到本质

让学生通过上述问题情境，通过“数学学习共同体”的探讨，根据自己的理解给出“函数最大值与最小值”的概念，并把这些概念罗列在黑板上．（学生给出的一系列概念中或许有些是不完善的，有些甚至是错误的．）

（1）对学生给出的一系列“函数最大值与最小值”的概念加以辨析，对一些不完善的理解加以完善，对一些错误的理解加以修正，从而得到“函数最大值与最小值”在直观图像上的理解：函数在给定的定义域内的最大值对应于函数图像上的最高点的函数值，最小值对应于函数图像上的最低点的函数值．在函数取得最大值处，函数呈现先递增再递减的趋势；在函数取得最小值处，函数呈现先递减再递增的趋势．

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（2）教师给出严格的函数最大值的定义．

（3）让学生类比的给出函数最小值的定义．

（4）对函数最大值与最小值概念的进一步理解与辨析

教师提问：若在上述定义中去掉“任意”两字，这个定义是否正确？

让学生体会“任意”两字的重要性，进一步从图像（上面的股市大盘走势函数图）上理解函数最值的真正含义．

设计意图：尊重学生的主体意识，利用“情境相关性”促使学生的认知在“数学学习共同体”的探讨与辨析中不断得到同化与顺应，矛盾对立不断得到统一，概念理解不断得到提升；让学生在“数学学习共同体”这个实践场当中与群体、环境产生互动与协调，从而使学生中的“边缘参与者”向“中心成员”转变；最后由教师给出函数最大值的严格的形式化定义，学生是应该能够理解与接受，再让学生类比的给出函数最小值的严格表述，这样就给学生寻找了一个合适的台阶进行过度．

3 渗透数学形式化，合理提升思维

高中数学偏重于非形式化，但一定的形式化也是必不可少的．数学是抽象化了的理论, 完全由数学特有的语言、符号、组织方式来体现,我们所操作的、所面对的也都是这些形式化了的对象．因此,掌握数学形式演变的常规的、必然的规则, 数学表示与结果形式的习惯模式、乃至具体到每一类问题的表示形式、结果形式等等, 也就显得十分必要．当然这里面绝不只是指那种纯粹的变化规则, 而是要结合逻辑的、直觉的思想方法, 以推进数学解题的进程．加强形式化思维的教学, 符合数学内在的规律, 是数学认识的一个重要方面．应当培养学生进行较复杂的形式推演的训练,培养学生善于用数学的符号、运算、名称、关系等来考察与对待各种实际问题中的数量方面的内容, 把对象系统中量的方面的表现通过恰当的数学形式，比如：坐标系、函数、集合、方程、不等式、曲线、图形等来表示,以提出规范化的、切合实际的数学问题, 建立数学模型、目标．

［案例3］ “糖水问题”案例设计

糖水应该是日常生活中再简单不过的东西，糖水浓度向我们提供了丰富的教学资源．

这个平凡的糖水能提供这么丰富的数学素材，我们能引导学生将这样一个普遍而又简单的实际问题一层一层的上升到数学形式化的表达式，归纳出数学形式化的不等式．对于学生来讲，这不能不说是一种数学能力与数学素养的提高，因此我们可以说，在必要的时刻对某些问题进行适当形式化的处理是十分必要的．

4 调整知识顺序，建立网络结点

数学的教育形态之一就是要把教科书上线性排列的知识“打乱”，同时融合不同学科的相关知识，由内在联结将它们串起来，建立网络．这样，学生的火热的思考就在于凸现思维网络的“结点”，在纷繁复杂的干扰中寻找本质的、感性的信息，从而使教学达到对数学内在本质的认识．这里，让我们通过一些案例说明如何认识、组织和设计一些数学联结点，形成学生火热的“联结性”思考．

（1）高中数学中平面向量、解析几何、复数三者之间就存在着必然的联系，其基本的连接点就是“既有方向，又有大小”．于是在这些知识的教学中就要恢复学生火热的思考．使“既有方向，又有大小”这一思想在不同的，或许是相互没有联系的情境中应用．

（2）三角函数的教学，从静态的正弦定理、余弦定理到动态的周期变化、潮水涨落、弹簧波的振动以及在轴上均匀旋转的轮子边缘上荧光点的运动等现象，把代数式、三角形、单位圆、投影、波周期等离散的领域联系在一起，正是三角函数使它们形成一个有机整体，同时它们也是三角函数在不同侧面的反映．因此对于三角函数的教学必须通过再创造来恢复学生火热的思考，使之返璞归真，让三角函数丰满起来，才能把教科书上定义―公式―图像―性质―应用这些冰冷的美丽变成学生丰富的联想，使学生在某一领域孤立学习的主题能迁移到另一领域中．

（3）余弦定理是代数式与三角形的联结点．如下面问题，用余弦定理观察代数式就是关键，是学生火热思考的来源．

篇（9）

初中数学是一门理论性和实用性较强的学科，枯燥的理论知识容易让学生们产生厌倦，而活泼、有趣的数学情景模式的创设正是解决这一问题的钥匙。

我们为什么要创设初中数学教学情境呢，笔者认为主要是因为初中数学情境的创设具备以下三个方面的价值。

1. 初中数学情境创设的价值

（1）可以增强学生学习数学的兴趣。

数学问题情境的创设，可以把枯燥的数学学习变成生动、活泼、直观的学习，能够激发学生学习数学知识的兴趣。

讲述九年级上册《车轮为什么做成圆形》这一节课的内容时，我的教学情境设计片段如下：①多媒体演示：一辆卡车在高速公路上直驰的情境。卡通人物画外音问：“卡车的轮子为什么要做成圆的？假如卡车的轮子做成三角形，卡车行驶起来会出现什么情况？”②让学生分组讨论。③教师提问各小组的讨论情况。④多媒体演示：把上面卡车的轮子改成三角形或四边形，卡车在高速公路上一瘸一拐、慢吞吞地行驶。

学生在我教学设计的指引下进行探究，马上引起学生的共鸣，学生们热烈地进行小组交流，达到了预期的教学效果。

（2）可以让学生们深刻体会数学来源于实践又指导实践的理论思想。

通过一个个数学情境的创设，能让学生们充分理解数学学习是前辈们从无数生活实践中经过艰辛的努力得出的结晶，而这些结晶又反过来指导生活实践，促进实践的进步。让他们初步体会数学学习的价值和意义并能初步培养他们数学研究的思维。

（3）可以提高学生们的动手能力。

教师通过操作数学情境的创设，让学生参与数学学习的全过程。在实际操作过程中探索数学的奥秘，从而不仅可以提高学生的动手能力，还可以提高学生分析问题，解决问题的能力，还可充分调动了学生学习的积极性，学生的思维一下子得到激发，学生掌握知识快、掌握知识牢固，教学效果不言而喻。

2. 初中数学情境创设的原则

（1）注重形象化和直观化。

形象化、直观化的问题情境适合初中生思维形象具体的特点，容易被学生理解，集中学生的注意力，从而激发学生学习的主动性和积极性。例如在讲解《正数和负数》的时候，教师事先准备一个学生熟知的温度计，引导学生观察温度计的刻度，使学生们很容易理解正负数的概念。这种形象直观的演示，教师易操作，学生学习的兴趣浓厚，教学效果可想而知。

（2）注重问题的层次性。

情境的设计必须由浅入深，由易到难，层层递进，把学生的思维逐步引向深入。创设阶梯式问题情境，把大的问题化成一个个小的问题，而且前面的小问题提示学生思考后面的小问题，化难而易，从而可以让学生们易于接受乐于接受。

（3）注重发散性。

教学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性，而初中生的思维正处于以具体形象思维为主要形式向以抽象逻辑思维为主要形式逐步过渡的阶段，数学知识的抽象性与学生认识的具体形象之间存在着矛盾。因此，在初中数学教学活动中，应以问题为主线，通过创设问题情境来调动学生思维的参与，激发其内驱力，使学生真正进入学习状态之中，达到掌握知识、训练思维和提高能力的目的。

（4）注重问题性。

“问题”是探究的方向与动力，是学生学习新知的源头所在，学生要在解决问题的过程中学会学习，建构新知，根据学习内容，创设学生熟悉或感兴趣，与学习新知紧密相关的情境，利于学生提取信息，提出数学问题。

（5）注重启发性。

作为数学情境的材料或活动，必须富有启发性，能激发学生的求知欲，引发学生广泛的联想和想象。

3. 问题情境的创设要求

适宜的问题情境能激发学生的思维，调动学生的学习兴趣，活跃课堂气氛，而不切实际，抽象空洞的问题情境只会使学生产生高深莫测的心理困惑，创设适宜的问题情境，应具备以下要素：

（1）具有最近发展情。

问题情境的创设要与学生的智力和知识水平相适应。过易的问题学生不感兴趣，反之会使学生感到高不可攀。现代数学理论认为，在学生的“最近发展区”提出问题，能促进学生最大限度地调动相关旧知识来积极探究，找到新知识的“生长点”，从而实现学生的“现有水平”向“未来的发展水平”的迁移。因此，创设的问题情境必须依原有知识为基础，以新知识为目标，才能收到良好的效果。

（2）具有针对性。

问题情境必须针对教学目标来创设。

（3）具有一定的开放性。

创设的问题情境必须具有趣味性，这样才能引起学生的共鸣，产生探究结论的兴趣，调动学生为问题的解决形成一个合适的思维意向。

（4）具有连续性。

创设的问题情境具有连续性，能起到承前启后，温故知新的作用。问题情境可以具有单一的连续性，也可以具有层层递进的梯度式的连续性。

4. 初中数学情境创设的具体方法

（1）在学生生活经验的基础上创设问题情境。

数学来源于实践，又去指导实践，这是数学研究和学习的思维。同样在数学教学过程中，我们也应当遵循这一指导思想，从初中数学学生所具备的基本生活经验出发，创设他们能够理解和易于接受的实际问题。当数学和现实生活密切结合时，数学次优生命力，数学教师设计贴近生活数学情境入课，学生们才会感到亲切和易于理解和接受。

（2）讲述数学典故来创设问题情境。

历史上的数学典故有时反映了知识形成的过程，有时反映了知识点的本质，用这样的故事来创设问题的情境不仅能够加深学生对知识的理解，还能加深学生对数学的兴趣，提高数学的审美能力。如在学习“圆周率”的时，教师可以讲述祖冲之是怎样通过艰苦的努力得出圆周率，并讲述这一研究成果的历史地位和意义。

（3）“试误性”情境的创设。

学生在理解、应用数学知识和方法的过程中，常因各种原因犯一些似是而非的错误，适当创设“试误型”教学情境，可为学生尝试错误提供时间和空间，并通过反思错误的原因，加深对知识、方法的理解和掌握，提高学生对错误的认识和警戒，培养思维的批判性和严谨性。

篇（10）

激发学习兴趣 培养参与意识

如何激发学生的学习热情是上好一堂课的关键。近半个世纪来，中国的教育受凯洛夫教育思想的影响极深，注重认知，忽略情感，学校成为单一传授知识的场所。这就导致了教育的狭隘性、封闭性，影响了人才素质的全面提高，尤其是影响了情感意志及创造性的培养和发展。情境教育反映在数学教学中，就是要求教师注重数学的文化价值，创设有利于当今素质教育的问题情境。

例如，在学习函数基本性质的最大值和最小值时，可以先播放一段壮观的烟花片段。“”盛放，制造时，一般期望它达到最高点时爆炸。那么，烟花距地面的高度h与时间t之间的关系如何确定？如果烟花距地面的高度h与时间t之间的关系就为h(t)=-4.9t2+14.7t+18。烟花冲出，什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？

通过创设问题情境，让学生感受数学是非常有趣的，数学不只存在于课堂上、高考中，数学的价值是无处不在的。情境教学能促进教学过程变成一种不断引起学生极大兴趣的，向知识领域不断探索的活动。借助多媒体强大的图形处理功能，新异的教学手段，创设生动有趣的情境，激发学生的学习情绪，使学生固有的好奇心、求知欲得以满足，同时给学生提供了自主探索与合作交流的环境。

拓展教与学的资源

信息时代，网络为师生提供了新的学习资源。新的课程资源除课本外，还有网络资源，地方课程资源，社区课程资源和校本课程资源。新课程中，学生的学习也离不开网络，网络课程资源是对课本的重要补充。许多研究性学习课题，探究课题，都需要学生自主查找资料。目前，查找资料最方便、快捷的方法无疑是网络。

例如，在学完《导数》一章后，有一个研究性学习课题——“走进微积分”，让学生自愿组成学习小组，上网查找下列资料：①我国古代有哪些微积分思想的例子；②微积分产生的时代背景；③牛顿、莱布尼茨的生平；④微积分对人类科学和社会的影响。大多数同学利用网络资源完成了这个课题，对微积分有了更加深刻的认识。

信息技术与数学的整合也要求教师不断学习先进的教育、教学理论和方法，学习信息技术。这些学习，除参加各级教研活动，参加各种培训外，最适合教师的，也是最方便、快捷的，就是网络学习。高中数学是抽象性和灵活性较强的学科。成功的数学课，不仅要看到教学素材的合理选取，教学方式的变化，更需要体现的是老师与学生的思维、语言以及情感的交流。所以，在运用信息技术时，也要注意以下几点。

不宜过分追求大容量、高密度

不少教师对信息的大容量、高密度，津津乐道。教学中不给学生思考、讨论的时间，甚至一节课完成过去两节或三节课才能学完的内容，“人灌”变为更高效的“机灌”。失去了学生的思考，看似充实的内容，也失去了它的意义。

不应忽视师生情感交流

有些教师将预先设计好的或网上下载的课件输入电脑，然后不加选择地按程序将教学内容一点不漏地逐一展现；或片面追求多媒体课件的系统性和完整性，从组织教学到新课讲授，从巩固练习到课堂作业，每一个细节都有详尽的与画面相配套的解说和分析。至于这些内容是否适合学生，是否具有针对性，则无暇顾及。忽视教学中最为重要的师生之间的情感交流，让学生体验学习数学的价值就无从谈起，数学的教育性就大打折扣。

继承传统教学中的合理成分

虽然信息技术与数学教学整合具有传统教学手段所不具有的很多优势，但传统教学手段，无论是物质形态，还是智能形态，之所以可以延续至今，是因为它有巨大的教育功能。信息技术不可能简单、完全地取代传统教学手段。何况，目前很多课件的设计，也来源于一些教师在传统环境下的教学经验。因此，数学教学在使用信息技术的同时，要吸收传统教学手段中合理的东西，做到优势互补，协同发挥其教育教学功能。

整合需要好的教学设计

篇（11）

数学在培养和提高思维能力方面，发挥着特有的作用；其内容、思想、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分。将信息技术运用于数学教学，弥补了传统教学的不足，提高了教学效率，同时也培养了学生的信息技术技能和解决问题的能力。信息技术与数学教学的融合，主要有以下几方面的功能。

一、引领思维发展，拓宽学生的思维过程

信息时代，网络为师生提供了新的学习资源。新的课程资源除课本外，还有网络资源，地方课程资源，社区课程资源和校本课程资源。新课程中，学生的学习也离不开网络，网络课程资源是对课本的重要补充。许多研究性学习课题，探究课题，都需要学生自主查找资料。目前，查找资料最方便、快捷的方法无疑是网络。

例如，在学完《导数》一章后，有一个研究性学习课题——“走进微积分”，让学生自愿组成学习小组，上网查找下列资料：①我国古代有哪些微积分思想的例子；②微积分产生的时代背景；③牛顿、莱布尼茨的生平；④微积分对人类科学和社会的影响。大多数同学利用网络资源完成了这个课题，对微积分有了更加深刻的认识。

信息技术与数学的整合也要求教师不断学习先进的教育、教学理论和方法，学习信息技术。这些学习，除参加各级教研活动，参加各种培训外，最适合教师的，也是最方便、快捷的，就是网络学习。高中数学是抽象性和灵活性较强的学科。成功的数学课，不仅要看到教学素材的合理选取，教学方式的变化，更需要体现的是老师与学生的思维、语言以及情感的交流。

不少教师对信息的大容量、高密度，津津乐道。教学中不给学生思考、讨论的时间，甚至一节课完成过去两节或三节课才能学完的内容，“人灌”变为更高效的“机灌”。失去了学生的思考，看似充实的内容，也失去了它的意义。

二、培养学生的参与意识，打造高效愉悦的数学课堂

如何激发学生的学习热情是上好一堂课的关键。近半个世纪来，中国的教育受凯洛夫教育思想的影响极深，注重认知，忽略情感，学校成为单一传授知识的场所。这就导致了教育的狭隘性、封闭性，影响了人才素质的全面提高，尤其是影响了情感意志及创造性的培养和发展。情境教育反映在数学教学中，就是要求教师注重数学的文化价值，创设有利于当今素质教育的问题情境。

例如，在学习函数基本性质的最大值和最小值时，可以先播放一段壮观的烟花片段。“”盛放，制造时，一般期望它达到最高点时爆炸。那么，烟花距地面的高度h与时间t之间的关系如何确定？如果烟花距地面的高度h与时间t之间的关系就为h(t)=-4.9t2+14.7t+18。烟花冲出，什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？

通过创设问题情境，让学生感受数学是非常有趣的，数学不只存在于课堂上、高考中，数学的价值是无处不在的。情境教学能促进教学过程变成一种不断引起学生极大兴趣的，向知识领域不断探索的活动。借助多媒体强大的图形处理功能，新异的教学手段，创设生动有趣的情境，激发学生的学习情绪，使学生固有的好奇心、求知欲得以满足，同时给学生提供了自主探索与合作交流的环境。

三、重视情感交流，增强学习的针对性

有些教师将预先设计好的或网上下载的课件输入电脑，然后不加选择地按程序将教学内容一点不漏地逐一展现；或片面追求多媒体课件的系统性和完整性，从组织教学到新课讲授，从巩固练习到课堂作业，每一个细节都有详尽的与画面相配套的解说和分析。至于这些内容是否适合学生，是否具有针对性，则无暇顾及。忽视教学中最为重要的师生之间的情感交流，让学生体验学习数学的价值就无从谈起，数学的教育性就大打折扣。

四、重视传统资源，优势互补

虽然信息技术与数学教学整合具有传统教学手段所不具有的很多优势，但传统教学手段，无论是物质形态，还是智能形态，之所以可以延续至今，是因为它有巨大的教育功能。信息技术不可能简单、完全地取代传统教学手段。何况，目前很多课件的设计，也来源于一些教师在传统环境下的教学经验。因此，数学教学在使用信息技术的同时，要吸收传统教学手段中合理的东西，做到优势互补，协同发挥其教育教学功能。