三角函数变换规律大全11篇

绪论：写作既是个人情感的抒发，也是对学术真理的探索，欢迎阅读由发表云整理的11篇三角函数变换规律范文，希望它们能为您的写作提供参考和启发。

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【中图分类号】G424 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962(2012)06(a)-0143-02

三角恒等变换是高考的重点之一,要求掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式;高考对本部分内容的考点:一方面是简单的化简、求值,以客观题为主,难度一般不大,有时以向量为载体出现解答题;另一方面本节内容常作为数学工具常融合三角函数,这时要先对三角函数解析式进行化简、变形,再深入考查三角函数的图像和性质。还需说明一点的是“几个三角恒等式”及积化和差、和差化积公式和半角公式不要求记忆和运用,已经淡出高考范围。本文现从江苏和全国其他各省近几年的高考试卷中精选出一些典型考题与大家一起研讨高考中这部分内容的命题方向和考查方向,希望能起到一个抛砖引玉的效果。

1 高考命题热点一:给值求值问题。

【真题再现1】(2011年全国卷理科第14题)已知,,则

【解析】本题考查了同角三角函数的基本关系式与二倍角的正切公式的运用。

由已知得,则,所以。

规律小结:对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数值求另外一些角的三角函数值,关键在于变角,使目标角变换成已知角,若角所在的象限没有确定则应分情况讨论,应注意这部分内容中公式的正用、逆用、变形利用,同时根据题目的结构特征,学会拆角、拼角等技巧,

如,等。

2 高考命题热点二:给角求值问题。

【真题再现2】(2006年江苏卷第14题)

【解析】本题考查了切割化弦、辅助角公式

,倍角正弦公式、降幂公式。原式

=

=

=。

规律小结:给角求值问题,一般给出的角都是非特殊角,从表面来看是很难的,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系。解题时要利用观察得到的关系,结合三角公式转化为特殊角并且消去非特殊角的三角函数而得到解,有时还要逆用、变用公式,同时结合辅助角公式和升幂、降幂公式等技巧。

3 高考命题热点三:给值求角问题。

【真题再现3】(2008年江苏卷第15题)如图,在平面直角坐标系中,以轴为始边做两个锐角,,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为。(1)求的值;(2)求的值。

【解析】本题融合三角函数的定义,考查两角和的正切公式、二倍角的正切公式。由条件得,因为,为锐角,所以=,因此

(1),

(2),所以,因,为锐角则,故=

规律小结:给值求角问题,往往通过间接求出这个角的某个三角函数值,再得出这个角的大小,选取某个三角函数值时可按照下列原则:一般已知是角的正切函数值,则选所求角的正切函数值;已知条件是正弦、余弦函数值,则选所求角的正弦、余弦函数值皆可;若所求角的范围是,则选该角的正弦函数值较好;若所求角的范围是,则选该角的余弦函数值较好。解决给值求角问题分三步:第一步是求该角的某个三角函数值,第二步是确定该角所在的范围,第三步是根据角的范围写出所求的角。

4 高考命题热点四:三角恒等变换与其他数学知识的综合运用问题。

【真题再现4】(2011年重庆卷第16题)设,

,满足,求函数在上的最大值和最小值。

【解析】本题考查融合了三角函数的单调性和最值的性质,考查诱导公式、二倍角的正弦公式、降幂公式、公式

,又考查综合分析问题和解决问题的能力。由已知 ,由得,因此

;由及,解得增区间;由及,解得减区间,所以函数在上的最大值是;又因,则函数在上的最小值为。

【真题再现5】(2009年江苏卷第15题)设向量

,,。

(1)若与垂直,求的值;

(2)求的最大值;(3)若,求证:∥。

【解析】 本题主要考查融合向量的基本概念与向量平行,考查同角三角函数的基本关系式、

二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力、综合分析问题和解

决问题的能力。

(1)由与垂直,,即

,。

(2)4,

,则的最大值是。

(3)由得,即,所以∥。

规律小结:三角恒等变换与其他数学知识的综合运用,大多以解答题的形式出现,它一方面融合平面向量知识考查化简、求值、证明恒等式,学生必须掌握好平面向量知识特别是数量积的运算才能顺利解答问题;另一方面三角恒等变换为数学解题工具,它往往融合三角函数考查三角函数的图像和性质(如周期性、单调性、值域、最值等),这类题突破的关键是能正确快速地对三角函数进行化简,化简的技巧和原则:①采用遇平方降幂的方法使式子的次数尽量低;②采用辅助角公式、切弦互化使式子的函数种类尽量少;③采用已知角表示未知角使式子的角的种类尽量少;④采用通分等变形技巧使式子结构尽量简单,同时还要注意角的范围及三角函数的正负。随着知识的深入还会更多的接触到三角恒等变换与解三角形(正弦、余弦定理)融合的题型。

5 高考的考查特点分析和方向预测。

上面就一些高考中的三角恒等变换知识进行了深入的分析,通观全国各省对三角恒等变换的考查,我们发现有以下特点:

(1)分文理科的地区,两科对三角恒等变换均有考查;文理试题的题目基本相同,难度区分不大。

(2)区分度问题:三角恒等变换部分不会出非常难的题目,一般都是以容易题、中档题出现。

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三角学起源于古希腊，在中国距今两千多年前的《周髀算经》中也有关于我国最早的三角测量的记载.三角函数是三角学中非常基础的、非常重要的一部分.在高中数学中，对三角函数的学习主要是三角函数的图像和性质.虽然在高中数学中对三角函数的学习要求并不高，但是我们学习起来也常常会有一些错误出现.本文将把这些三角函数中常见的错误归类出来，加以详细的探究，希望能为以后的三角函数学习提供借鉴和帮助.

一、知识性错误

数学中的知识性错误是指由于对有关所学的概念理解不清，对概念、性质混淆不清等，从而导致的错误.

（一）概念理解不清

致错分析 以上错解的原因是没有考虑函数的定义域，因为函数f（x）的定义域为x≠kπ+ π 2 ，k∈ Z .

二、逻辑性错误

由于我们认知结构的不完善，所以在数学解题中就很容易出现逻辑性的错误.逻辑性错误指的是我们在解题的过程中由于违背了逻辑思维的规律而产生的错误.逻辑思维的规律，即逻辑规律一般指的是同一律、矛盾律、排中律和充分理由律.常见的逻辑性错误的类别一般为循环论证、偷换概念、虚假理由、分类不当和不等价变换这五种.在高中数学三角函数的学习中，一般会出现的逻辑性错误有分类不当、循环论证和不等价变换这三种.

（一）循环论证

论题、论据和论证是构成任何数学问题的三大要素，其中论题指的是为了真实性而需要的那个命题，论据指的是为了证明论题的真实性所需要依据的真命题，论证指的是联系起了论题和论据的具体的推理形式.只有真实的论据才能论证出论题的真假，但是论据的真实性不能不依赖于论题的真实.循环论证指的就是论据的真实性需要依赖论题的真实性的一种论证.

致错分析 上述解法看上去好像是正确的，其实已经犯了循环论证的错误，错在没有利用题设条件进一步缩小α-β的范围，产生了增根.

事实上，同理可得：.

（二）不等价变换

不等价变换是属于逻辑错误中的违反同一律原则的错误.在解题过程中，对命题进行不等价的变换，常常会出现解集的缩小或者是扩大.

三、策略性错误

在数学解题过程中的策略性错误主要指的是在解题方向上有偏差.这样的错误往往会导致解题的思路受阻而无法完成解题过程，或者解题思路过于曲折而即使做对了也非常费时费力.

（一）不善于正难则反

我们在解题的过程中一般都会习惯于从正面去思考问题，而并不去做反面的思考.但是有时候从正面来解决一个问题是非常艰难或者复杂的，甚至常常会容易出错.这就要求我们在解题的时候要灵活运用方法，当正面解题比较艰难的时候可以从反面进行思考.

例5 函数y=- 1 2 cos2x-2asinx+a2+a+ 1 2 的最小值是3，求a的值.

错解 将原函数变形为：y=sin2x-2asinx+a2+a，令sinx=t，则y=（t-a）2+a，当t=a时，ymin=a，a=3.

致错分析 三角函数中通过换元便隐去了三角函数的特性，三角函数的定义域和值域的有界性常常被忽略，例子 中-1≤sinx≤1，即-1≤t≤1，当a=3时，t=3，即sinx =3显然不符合题意.事实上，换元后，问题转化为二次函数y=f（t）=（t-a）2+a在闭区间[-1，1]上的最小值问题.

正解 （1）当a

（2）当-1≤a≤1时，由ymin=f（a）=3，得a=3，不符合题意，舍去；

（3）当a>1时，由ymin=f（1）=3，得a=2.

综合（1）、（2）、（3）得：a= -3- 17 2 或a=2.

（二）审题出现主观臆断

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因此，在高考中把三角函数作为函数的一种，突出考查它的图象与性质，尤其是形如函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质．对三角公式和三角变形的考查，或与三角函数的图象与性质相结合，或直接化简求值．在化简求值的问题中，不仅考查考生对相关变换公式掌握的熟练程度，更重要的是以三角变形公式为素材，重点考查相关的数学思想和方法．

重视基础知识的教学，把握好习题的难度

近几年的高考试题降低了对三角恒等变形的要求下，逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，将重点转移到对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能考查上来，加强了对三角函数图象与性质的考查力度．这启发我们三角函数的复习要立足课本、抓好基础、控制难度．在复习中，应立足基本公式，寻求题目条件与结论之间差异，建立联系，以达到消灭差异的目的．“变”为主线．三角变换包括角的变换、三角函数名称的变换、三角函数次数的变换等，在复习中强化“变”的意识是三角复习的关键，但题目不宜太难，特殊技巧的问题坚决不做，2006年三角题只能作为个别现象．建议各位老师在二轮复习中将教材习题进行归类分析比较，帮助学生进一步熟悉解决三角问题的一般规律性方法，达到举一反三的目的.

重视三角函数问题中四类问题的训练

（1）应用常规方法和技巧解决三角式的化简、求值、证明问题，主要掌握三角函数的求值问题；

（2）在掌握函数y=sinx、y=cosx、y=tanx、y=Asin(ωx+φ)，特别是正弦函数的图象与性质的基础上，研究一些三角函数的性质，解题策略一般都是将所要研究的函数化归为只含有一个、一次的三角函数形式；

（3）三角形中的三角函数问题；

（4）三角函数与其它知识交汇融合的问题．

关注2007年新考试大纲的变化

据说新考试大纲将“理解y=Asin(ωx+φ)中的A、ω、φ的物理意义”改为“理解y=Asin(ωx+φ)的物理意义”，体现了与物理等知识的联系；新大纲还有如下变化：将“掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义”增加为“掌握正弦、余弦、正切、余切的概念”，将“正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质”由了解变为理解．

注意对三角形中问题的复习

由于教材的变动，有关三角形中正弦定理、余弦定理、解三角形等内容提到了高中来学习，加上近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，所以对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，复习中要重视正弦定理、余弦定理在解三角形问题的作用，但挖掘不要太深．

重视三角函数与其它知识的结合

三角函数与其它知识，特别是与向量等内容的结合可能成为新的命题热点，在复习中要加强训练．

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关键词：学生发展 教学策略 三角函数

课堂教学的最终目的是促进学生的发展，学生发展的内涵体现在教学目标上，可细化为“三维目标”：即知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观。作为“思维的体操”的数学，在促进学生发展方面起着举足轻重的作用，它可以很好的培养学生能力、夯实学养根基、培养优良个性品质。在高中数学课堂教学中，如何根据不同的教学内容，选择合适的教学策略，促进学生的发展，成为广大教师所关心的热点问题之一，本文以高中数学《三角函数》的教学为例，就此谈点粗浅的认识和体会。

1、注重知识衔接，奠定学生发展的基础

同一知识模块或相关知识，在不同学段有着不同的要求.“螺旋式上升、循序渐进”便成为了新教材编写的重要原则。因此，在课堂教学中，要充分体现这一原则，充分注重知识的衔接，遵循学生的认知规律，为学生的发展奠定坚实的基础。

案例1初、高中三角函数各自内容怎样？两者是如何衔接的？

众所周知，三角函数是中学数学的重要内容，在初中阶段，学生已初步学习了三角函数知识，但只要求学生在了解的基础上会进行一些特殊角的三角函数的计算和化简。在高一教材中则花了三个章节系统介绍了三角函数知识，并且角的范围扩大到任意角，教学要求明显提高，偏重于三角函数图象和性质的研究及应用，内容丰富、抽象、概括性很强，它不是初中内容的简单重复，而是延伸、拓展和提高。因此，我们说三角函数是初、高中数学教学的一个重要衔接内容，正确处理好初、高中三角函数的教学衔接，深入研究彼此潜在的联系和区别，做好新旧知识的串连和沟通，不仅可以帮助学生深化理解三角函数概念，而且更有助于提高学生的思维能力，分析问题和解决问题的能力。

案例2 高中三角函数两章的内容如何分布？又是怎样衔接的？

高中数学三角函数在人教版普通高中课程标准实验教材·数学（A版）中，安排在必修4的第一章《三角函数》和第三章《三角恒等变换》共两章，知识脉络大体为；角的推广任意角的三角函数定义诱导公式图象与性质图象变换简单应用；两角和与差的公式倍角公式简单三角恒等变换.一环扣一环，前面的基础没打好，后续知识就会难以为继.比如：由三角函数定义，我们不难得出各个函数在每个象限的符号，而懂得这个符号规律是我们掌握诱导公式的前提。

在课堂教学中，至于这两章如何衔接，具体处理方式不外乎两种，第一种就按教材顺序进行；第二种第一、三章连着上，然后再上第二章。笔者建议不用“创新”就按教材这种“螺旋式上升”这种方式就行了，先学了《三角函数》之后接着讲《平面向量》，学生先有一种新鲜感，尔后学《三角恒等变换》，再通过三角与向量的简单结合，进一步加深、强化、巩固.这样，更符合学生的认知特点。我们要深刻理解新教材编写的良苦用心，注重同一知识不同章节的衔接，打好知识基础并在此基础上呈阶梯状上升。

2、注重知识生成，提升学生发展的品质

长期以来，高中学生普遍反映数学难、数学枯燥乏味，究其原因是教师在教学中过分重视结论的应用而忽视结论的生成造成的。数学教学是学生在教师的正确引导下通过动手实践、自主探索、合作交流的方式获得广泛数学活动经验的过程，并在这个过程中，逐步提升学生发展的品质，包括主动发展的意识、思维能力、创新行为与成果等。

案例3 三角函数的定义是怎样形成的？

初中锐角的三角函数的定义用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来定义锐角三角函数用单位圆上的点来定义锐角三角函数利用单位圆定义任意角的三角函数。

四个过程，循序渐进，不断深化，通过有效的铺垫,使之符合学生的认知规律，体现了数学知识的产生、发展过程, 从而激发学生主动探求事物“来龙去脉”的原始欲望，强化主动发展的意识。

案例4 余弦函数y=cosx的图象如何得到？

设问1：用描点法可以作出y=cosx的图象吗？

设问2：用类似于求作y=sinx的方法可以作出y=cosx的图象吗？

设问3：由诱导公式六y=cosx=sin（■+x），你能找到y=sinx和y=cosx的图象之间的联系吗？

三个设问的设计，从思维的角度出发沿着先易后难的方向，从自主探究的过程出发则是先难后易，在课堂教学当中，引导学生先独立思考，后合作交流，这样从正反两个方面不仅让学生得到了y=cosx的图象，还让他们知道正余弦函数图象之间的区别和联系，图象生成之际即为思维能力提升之时。

3、注重学科辩证思想，培养学生发展的素养

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例1已知一扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.

（1）若α=60°，R=30cm，求扇形的弧长l及该弧所在的弓形面积.

（2）若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

（3）若将该扇形的圆心放在坐标原点，使角α的始边与x轴重合，已知角α的终边上一点P的坐标为（-3，y）（y≠0）且sinα=214y，求cosα，tanα.

（4）若α=60°，求θ，使θ与α的终边相同，且-720°≤θ

【思路点拨】 （1）可直接使用弧长公式计算，但注意在弧度制下角需用弧度制.（2）可用弧长或半径来表达出扇形的面积，弓形面积由扇形面积与三角形面积的差组成，然后确定其最大值.（3）利用三角函数的定义求解，注意对y的讨论.（4）利用终边相同的角的集合S={β|β=α+2kπ，k∈Z}.

【解析】 （1）α=60°=π13rad，R=30，l=|α|·R=π13×30=10πcm.

S弓=S扇-S三角形=112×10π×30-112×302×sinπ13=150π-2253（cm）2.

（2）由题意得l+2R=20，l=20-2R（0

S扇=112lR=112×（20-2R）×R=（10-R）·R=-R2+10R.

当且仅当R=5时，S有最大值25（cm）2.

此时l=20-2×5=10，α=l1R=1015=2rad.

当α=2rad时，扇形面积取最大值.

（3）r2=x2+y2=y2+3，由sinα=y1r=y1y2+3=214y，所以y=±5.

所以当y=5时，cosα=x1r=-614，tanα=y1x=-1513，

当y=-5时，cosα=-614，tanα=1513.

（4）令θ=60°+k·360°（k∈Z）.取k=-1，-2就得到适合-720°≤θ

60°+（-1）×360°=-300°，60°+（-2）×360°=-660°.

【归纳总结】 扇形的面积与弧长的计算在几何中应用较多，都可以用角度制与弧度制两种方式给出，应注意角度制与弧度制不能混用.合理利用圆心角所在的三角形，合理选择参数，运用函数思想、转化思想，解决扇形中的有关最值问题.利用定义法求三角函数值需要已知或设角α终边上一异于原点的点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.

【变式训练1】

（1）已知角α的终边在直线y=-3x上，则10sinα+3×11cosα=.

（2）不借助计算器的情况下，证明：sin20°

考点二、三角函数的同角公式及诱导公式

【考点解读】 求值题主要考查同角三角函数的基本关系式、诱导公式的应用，利用三角公式进行恒等变形的技能.题型多为选择题或填空题.六组诱导公式可统一记为“奇变偶不变，符号看象限”.利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角三角函数为锐角三角函数，其原则：负化正、大化小、化到锐角为终了.切弦互化的技巧必须灵活掌握.

例2（1）设θ为第二象限的角，若tan（θ+π14）=112，则sinθ+cosθ=.

（2）是否存在α∈（-π12，π12），β∈（0，π），使等式sin（3π-α）=2cos（π12-β），3cos（-α）=-2cos（π+β）同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由.

【思路点拨】 （1）利用两角和的正切公式，求出tanθ，然后切化弦，再联想平方关系式，解题突破口就是求解关于“sinθ，cosθ”的方程组.（2）要想求出α，β的值，必须知道α，β的某一个三角函数值，解决本题的关键是由两个等式，消去α或β得出关于β或α的同名三角函数值.

【解析】 （1）tan（θ+π14）=112，tanθ=-113，

即3sinθ=-cosθ

sin2θ+cos2θ=1，解得sinθ=10110，cosθ=-310110.

sinθ+cosθ=-1015.【答案】 -1015.

（2）假设存在α，β使得等式成立，即有

sin（3π-α）=2cos（π12-β）1①

3cos（-α）=-2cos（π+β）1②

由诱导公式得sinα=2sinβ1③

3cosα=2cosβ1④

③2+④2得

sin2α+3cos2α=2，cos2α=112，

又α∈（-π12，π12），α=π14或α=-π14，

将α=π14代入④得cosβ=312.又β∈（0，π），β=π16代入③可知符合.

将α=-π14代入④得cosβ=312.又β∈（0，π），β=π16代入③可知不符合.

综上可知，存在α=π14，β=π16满足条件.

【归纳总结】 （1）对于sinθ+cosθ，sinθcosθ，sinθ-cosθ这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求.转化的公式为（sinθ±cosθ）2=1±2sinθcosθ；（2）关于sinθ，cosθ的齐次式，往往化为关于tanθ的式子.已知角α的三角函数值求角α的一般步骤是：①由三角函数值的符号确定角α所在的象限；②据角α所在的象限求出角α的最小正角；③最后利用终边相同的角写出角α的一般表达式.

【变式训练2】

若f（α）=sin[α+（2n+1）π]+2sin[α-（2n+1）π]1sin（α-2nπ）cos（2nπ-α）（n∈Z），求f（19π16）.

考点三、三角函数的图象和性质

【考点解读】 能画出y=sinx，y=cosx，y=tanx的图象，理解这三种函数的性质（如周期性、单调性、奇偶性、最大值和最小值、对称中心和对称轴等），函数的单调性是相对于某一区间而言的，研究其单调性必须在定义域内进行.

例3（1）求函数y=lg（2sinx-1）+-tanx-11cos（x12+π18）的定义域；

（2）求y=3tan（π16-x14）的周期及单调区间；

（3）求函数y=3cosx-3sinx的值域.

【思路点拨】 （1）求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式（组），常借助三角函数线或三角函数图象来求解.（2）先化为：y=-3tan（x14-π16），再求单调区间.（3）先将原函数式进行等价变形，利用|cosx|≤1，|sinx|≤1，但要注意自变量的取值变化.

【解析】 （1）要使函数有意义，则

2sinx-1>0

-tanx-1≥0

cos（x12+π18）≠0sinx>112

tanx≤-1

x12+π18≠kπ+π12（k∈Z），

如图利用单位圆得：

2kπ+π16

kπ+π12

x≠2kπ+3π14（k∈Z），

函数的定义域为：{x|2kπ+π12

（2）y=3tan（π16-x14）=-3tan（x14-π16），

T=π1|ω|=4π，y=3tan（π16-x14）的周期为4π.

由kπ-π12

3tan（x14-π16）在（4kπ-4π13，4kπ+8π13）（k∈Z）内单调递增，

y=3tan（π16-x14）在（4kπ-4π13，4kπ+8π13）（k∈Z）内单调递减.

（3）y=3cosx-3sinx=23（312cosx-112sinx）=23cos（x+π16），

|cos（x+π16）|≤1，该函数值域为[-23，23].

【归纳总结】 （1）求三角函数的定义域，既要注意一般函数定义域的规律，又要注意三角函数的特性，如题中出现tanx，则一定有x≠kπ+π12，k∈Z.求三角函数的定义域通常使用三角函数线、三角函数图象和数轴.（2）对于y=Atan（ωx+φ）（A，ω，φ为常数），其周期T=π1|ω|，单调区间利用ωx+φ∈（kπ-π12，kπ+π12）（k∈Z），解出x的取值范围，即为其单调区间.（3）将原函数式化为一角一名的形式，如y=Asin（ωx+φ）+B，y=Acos（ωx+φ）+B或化为关于sinx（或cosx）的二次函数式，切忌忽视函数的定义域.

【变式训练3】

已知函数f（x）=cos（π13+x）cos（π13-x）-sinxcosx+114，

（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；

（2）求函数f（x）单调递增区间.

考点四、函数y=Asin（ωx+φ）的图象及三角函数模型的简单应用【考点解读】 该考点是高考的必考点.理解函数y=Asin（ωx+φ）中A，ω，φ的意义及其对函数图象变化的影响.能根据所给三角函数的图象和性质确定其中的参数，并能由一个三角函数的图象通过平移变换、伸缩变换、振幅变换和对称变换得到另一个三角函数的图象.利用三角函数的解析式可研究三角函数的性质和图象.会用三角函数解决一些简单实际的问题.

例4已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，0

（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；

（2）是否存在x0∈（π16，π14），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数；若不存在，说明理由.

【思路点拨】 （1）根据题目给出的周期和对称中心求得函数f（x）的解析式，利用函数图象的平移和伸缩的变换规律逐步得到g（x）；（2）将等差数列问题转化为方程在指定区间内是否有解的问题，再构造函数，利用函数的单调性确定零点的个数.

【解析】 （1）由函数f（x）=sin（ωx+φ）的周期为π，ω>0，得ω=2，

又曲线y=f（x）的一个对称中心为（π14，0），φ∈（0，π），

故f（π14）=sin（2×π14+φ）=0，得φ=π12，所以f（x）=cos2x.

将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，再将y=cosx的图象向右平移π12个单位长度后得到函数g（x）=sinx.

（2）当x∈（π16，π14）时，112

所以sinx>cos2x>sinxcos2x，

问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（π16，π14）内是否有解.

设G（x）=sinx+sinxcos2x-2cos2x，x∈（π16，π14），

则G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2-sinx）.

因为x∈（π16，π14），所以G′（x）>0，G（x）在（π16，π14）内单调递增，

又G（π16）=-1140，

且函数G（x）的图象连续不断，故可知函数G（x）在（π16，π14）内存在唯一零点x0，

即存在唯一的x0∈（π16，π14）满足题意.

【归纳总结】 探讨三角函数的性质，难点在于三角函数解析式的化简与整理，熟练掌握三角恒等变换的有关公式，灵活运用角之间的关系对角进行变换，将解析式转化为一角一函数的形式，然后通过换元法求解有关性质即可.根据y=Asin（ωx+φ）+k的图象求其解析式的问题，主要从A、k、ω及φ等四个方面来考虑.

【变式训练4】

（1）函数y=2sin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是.

（2）如图，正五边形ABCDE的边长为2，甲同学在图中用余弦定理解得AC=8-8cos108°，乙同学在RtACH中解得AC=11cos72°，据此可得cos72°的值所在区间为.

考点五、两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式及简单的三角恒等变换【考点解读】 该考点是高考的必考点.研究不同三角函数值之间的关系时，常以角为切入点，并以此为依据进行公式的选择，同时还要关注式子的结构特征，通过对式子进行恒等变形，使问题得到简化.在进行三角运算时必知的几个技巧：“1”的代换，正切化弦，异角化同角，异次化同次，变角，变名，变结构等化简技巧.

例5已知函数f（x）=2cos（x-π112），x∈R.

（1）求f（-π16）的值；

（2）若cosθ=315，θ∈（3π12，2π），求f（2θ+π13）.

【思路点拨】 （1）直接代入，根据诱导公式和特殊角的三角函数值得出结果；（2）先求出sinθ，利用倍角公式得出sin2θ，cos2θ的值，使用三角变换公式求解.

【解析】 （1）f（-π16）=2cos（-π16-π112）

=2cos（-π14）=2cosπ14=1；

（2）f（2θ+π13）=2cos（2θ+π13-π112）

=2cos（2θ+π14）=cos2θ-sin2θ，

因为cosθ=315，θ∈（3π12，2π），所以sinθ=-415，所以sin2θ=2sinθcosθ=-24125，cos2θ=cos2θ-sin2θ=-7125，所以f（2θ+π13）=cos2θ-sin2θ=-7125-（-24125）=17125.

【归纳总结】 三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向.公式的逆用，变形十分重要，常通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数.

【变式训练5】

31cos10°-11sin170°=.

【变式训练答案】

1.解析：（1）设α终边上任一点为P（k，-3k）.则r=x2+y2=k2+（-3k）2=10|k|.

当k>0时，r=10k，sinα=-3k110k=-3110，11cosα=10k1k=10.

10sinα+3×11cosα=-310+310=0.

篇（6）

同角三角函数关系式、诱导公式、两角和差的公式、二倍角公式及其综合应用.

三角恒等变换是三角函数的基础，是一种重要的数学能力，要立足于教材，弄清公式的来龙去脉，同时要注意对公式的正用、逆用以及变形运用的训练，要在灵、活、巧上下功夫，以增强变换意识.

二、核心解读

1. 三角恒等变换是一种基本技能，从题型上一般表现为对三角式的化简、求值与证明. 对所给三角式进行三角恒等变换时，除需使用三角公式外，一般还需运用代数式的运算法则或公式，如平方差公式、立方差公式等. 对三角公式不仅要掌握其“原形”，更要掌握其“变形”，才能在解题时真正达到运用自如，左右逢源的境界.

2. 在运用三角公式进行三角变换时，要从函数名称和角的差异两方面综合分析，再从差异的分析中决定公式的选取. 一般变换的规律是：切割化弦，异名化同名，异角化同角，高次化低次，无理化有理.

三、近几年高考命题特点

1．考查题型以选择、填空为主，分值约占5%，10%，基本属于容易题和中档题.

2．重点考查两角和与差的三角公式和倍角公式等，其中对倍角公式灵活运用的考查是高考的热点.

四、2011年高考真题再现

考点1考查同角三角函数关系

（1）应用同角之间的平方关系、倒数关系和商数关系解决三角函数的求值、化简、证明等问题；

（2）已知一个角的三角函数值，求其他角的三角函数值时，要注意对角化简，一般是把已知和所求同时化简，化为同一个角的三角函数，然后求值.

例1（2011年全国理科卷）已知∈，，sin= ，则tan2=__________.

评析先由∈，，sin= 和 sin2+cos2=1，求得 cos＝，再由tan= ==，求得tan2= = = .

考点2考查诱导公式

（1）+2k（k∈Z），，±，±的三角函数值是化简的主要工具. 使用诱导公式前，要正确分析角的结构特点，然后确定使用的诱导公式；

（2）将不能直接使用诱导公式的角通过适当的角的变换化为能使用诱导公式的角，如：+=2+ +等（注：若k+出现时，则要分k为奇数和偶数讨论）；

（3）诱导公式的应用原则是：负化正，大化小，化到锐角为终了，特殊角能求值则求值；

（4）化简是一种不能指定答案的恒等变形，化简结果要尽可能使项数少、函数的种类少、次数低、能求出值的要求出值、无根式、无分式等.

例2(2011年辽宁理科卷)设sin= ，则sin2=_________.

评析本题考查了二倍角公式等三角函数知识.

sin2=cos=2sin2 1=2

易错提醒利用同角三角函数关系、诱导公式时，容易出现符号错误.

考点3考查两角和、差公式

两角和、差的三角函数公式是高考热点之一，其题型既有小题(选择题、填空题)，也有大题(靠前的解答题)，主要是容易题和中等题. 重点是考查基本公式的应用和恒等变换思想.

例3(2011年浙江理科卷)若0

评析因为+= ，所以cos =cos=coscos+sin ・sin= == .

技巧点拨解题的关键在于把“所求角”表示为“已知角”. ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”只有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”；③常见的配角技巧：=（+），=（），= [（+）+（）]，=[（+）（）]，+= ，等等.

考点4考查形如f(x)=asinx+bcosx+k的函数

若函数f （x）的解析式通过三角恒等变换可转化为f （x）=asinx+bcosx+k的形式，则函数f （x）的解析式可化为f （x）=sin（x+）+k（其中cos= ，sin= ）的形式.

例4（2011年安徽文科卷）设f （x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f （x）≤ f 对一切x∈R恒成立. 有以下结论：①f=0；②f ＜ f ； ③f （x）既不是奇函数也不是偶函数；④f （x）的单调递增区间是（k∈Z）；⑤存在经过点（a,b）的直线与函数f （x）的图像不相交. 以上结论正确的是 _____________(写出正确结论的编号).

评析先将f （x）=asin2x+bcos2x，a，b∈R，ab≠0变形为f （x）= sin（2x+），再由f （x）≤对一切x∈R恒成立，得a，b之间的关系，然后顺次判断命题真假.

由f （x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+）及f （x） ≤对一切x∈R恒成立，知=，求得a=b>0. 所以f （x）=bsin2x+bcos2x=2bsin.

①f =2bsin=0，故①正确；

②==2bsin，故②错误；

③f （x）≠±f （x），故③正确；

④因为b>0，所以2k≤2x+≤2k+，解得k≤x≤k+，故④错误；

⑤因为a=b>0，要使经过点（a,b）的直线与函数f （x）图像不相交，则此直线与x轴平行，又f （x）的振幅为2b>b，所以该直线必与f （x）图像有交点，故⑤错误.

答案：①③.

考点5考查二倍角公式

掌握倍角公式和半角公式，运用公式进行简单的三角函数式的化简、求值以及恒等式的证明，是高考的热点.

注意以下几组常见的公式：

（1）用cos表示sin2，cos2,tan2：sin2 =；cos2 = ；tan2 = ；

（2）用cos表示sin，cos，tan：sin=±；cos=±；tan= ±；

（3）用sin,cos表示tan：tan ==.

注：上述三组公式从左到右起到一个扩角降幂的作用，从右到左起到一个缩角升幂的作用.

例5(2011年江苏卷)已知tan=2，则的值为__________.

评析因为tan2 ===，而tan= cot2x，所以tan2x=,又因为tan==2，解得tanx= ，所以的值为.

考点6考查综合应用

三角函数的化简求值是常考题型. 它往往出现在小题中，或者是解答题中的一问，其中必然渗透着简单的三角恒等变换和三角函数的性质，着重考查三角函数的基础知识、基本技能和基本方法.

例6（2011年天津理科卷）设函数f（x）=tan2x+，设∈，若f =2cos2，求的大小.

评析由f =2cos2，得tan=2cos2，即 = 2（cos2sin2），即 = 2（cossin）・（cos+sin），又因为sin+cos≠0，所以可得（cossin）2 = ，解得sin2= ，由∈，可得2∈，所以2=，=.

五、2012年高考命题趋势

1. 考查两角和差的三角函数公式，经常以小题形式出现，难度不大；

2．考查二倍角公式的运用，题型可以是小题，也可以是大题，为中档题；

3．考查三角恒等变换的化简与求值问题，一般都在大题中进行考查；

4．解答题属中、高档题目.对三角恒等变换的考查形式有稳重求变、求活和“能力立意”的命题趋势.

1．已知角的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2=_________.

2．若tan=3，则的值等于_________.

篇（7）

当今时代，知识更新速度加快，日新月异.特别是进入21世纪以后，思想活跃，关于数学方面的研究日益深入和丰富.三角函数研究的意义和必要性也日益突出，其中三角函数的教学扮演着重要角色.

三角函数教学的内容、教学目标及教学方法不断发生着变化，而且在我们的日常生活中具有越来越重要的作用.下面让我对高中三角函数教学的心得体会、反思以及三角函数在我们日常生活中的作用做一些详尽的介绍.

一、三角函数教学的心得体会

1.要特别关注和留意教材与大纲内容的变化.认识这一变化，我们才能有目标地学习，了解教学的深度、难度和广度，避免复习中做一些无用功.

2.关注教材编写的新颖之处.

3.强化几何思想，加强几何直观.

4.加强了数学建模的思想.把三角函数作为描述真实生活的数学模型，首先展示大量的背景材料，再分析、概括、抽象，建立模型来解决问题.数学生活化，更容易调动学生的学习积极性.

5.高科技设备的引入和应用.把学生从烦琐的计算中解脱出来，并利用信息技术探索数学规律.

二、三角函数的教学反思

关于三角函数的教学，应注意以下问题：

1.数学知识生活化.让学生自主积极地将数学与生活联系起来，使学生体会三角函数模型的意义.

2.弧度是学生比较难接受的概念，教学中应使学生体会弧度也是一种度量角的单位，可在后续课程的学习中逐步理解这一概念，在此不作深究.

三、对学生的要求

学生一定要注重三角函数中的基础知识及应用知识.要对三角函数的图像、周期性、单调性、奇偶性、对称性、化简、求值和最值等重点内容熟练掌握并加以运用.将三角函数与代数、几何、向量的关系加以联系总结，相互融通.在三角函数的学习中比较重要的就是注重知识的总结.

1.熟悉三角变换常用的方法——化弦法、降幂法、角的变换法等，并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明.

2.深入探究正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的图像性质及对平移变换、伸缩变换的意义.

四、学习三角函数的策略

1.了解差别：深入探究角、函数运算间的差别，即进行所谓的“差异分析”.

2.寻找相关性：通过公式间的相关性，找出差异之间的内在联系.

3.恰当转化：选择合适公式，使得差异转化.

五、三角函数知识的意义和影响

三角函数知识对于锻炼学生思维，培养学生数学思想方面发挥着重要作用.

1.培养学生的函数与方程思想

篇（8）

常见题型：①三角函数的图象与性质；②化简和求值；③三角形中的三角函数；④最值．本文对高考重点、常考题型进一步总结，强化规律，解法定模，便于同学们考试中迅速提取，自如运用．

考点1．三角函数的求值与化简

例1 已知cosα=17,cos(α－β)=1314,且0

(Ⅰ)求tan2α的值.（Ⅱ）求β.

解：（Ⅰ）由cosα=17,0

tanα=sinαcosα=43，于是tan2α=2tanα1－tan2α=2×431－(43)2=－8347

（Ⅱ）由0

又cos(α－β)=1314，sin(α－β)=1－cos2(α－β)=1－(1314)2=3314

由β=α－(α－β)得：cosβ=cos［α－(α－β)］=cosαcos(α－β)+sinαsin(α－β)

=17×1314+437×3314=12，所以β=π3.

突破方法技巧：三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构．即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如α=(α+β)－β=(α－β)+β，2α=(α+β)+(α－β)，α+β2=(α－β2)－(α2－β)等．第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点．

考点2．解三角形：此类题目考查正弦定理，余弦定理，两角和差的正余弦公式，同角三角函数间的关系式和诱导公式等基本知识，以考查基本的运算为主要特征.解此类题目要注意综合应用上述知识.

例2 设函数f(x)=cos(x+23π)+2cos2x2,x∈R．（Ⅰ）求f(x)的值域；（Ⅱ）记ABC的内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f(B)=1，b=1,c=3，求a的值．

解：（Ⅰ）f(x)=cosxcos2π3－sinxsin2π3+cosx+1=－12cosx－32sinx+cosx+1

=12cosx－32sinx+1=sin(x+56π)+1，f(x)的值域为［0,2］

（Ⅱ）由f(B)=1得sin(B+56π)+1=1即sin(B+56π)=0又因0

突破方法技巧：

(1)内角和定理：三角形内角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值均为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.

(2)正弦定理：asinA=bsinB=csinC=2R(R为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式：(i)a:b:c=sinA:sinB:sinC；(ii)sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R；(iii)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.

(3)余弦定理：a2=b2+c2－2bccosA,cosA=b2+c2－a22bc等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.

(4)面积公式：S=12aha=12absinC.

特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意A+B+C=π这个特殊性：A+B=π－C,sin(A+B)=sinC,sinA+B2=cosC2；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化．

考点3．求三角函数的定义域、值域或最值：此类题目主要有以下几种题型：（1）考查运用两角和的正弦公式化简三角函数式，以及利用三角函数的有界性来求值域的能力.（2）考查利用三角函数的性质, 诱导公式、同角三角函数的关系式、两角差的公式，倍角公式等基本知识，考查运算和推理能力.（3）考查利用三角函数的有界性来求最大值与最小值的能力.

例3 已知函数f(x)=(1+cotx)sin2x+msin(x+π4)sin(x－π4)．

（1）当m=0时，求f(x)在区间［π8,3π4］上的取值范围；（2）当tanα=2时，f(α)=35，求m的值．

解：（1）当m=0时，f(x)=sin2x+sinxcosx

=12(sin2x－cos2x)+12=22sin(2x－π4)+12

又由x∈［π8,3π4］得2x－π4∈［0,5π4］，所以sin(2x－π4)∈［－22,1］，

从而f(x)=22sin(2x－π4)+12∈［0,1+22］.

（2）f(x)=sin2x+sinxcosx－m2cos2x=1－cos2x2+12sin2x－m2cos2x

=12［sin2x－(1+m)cos2x］+12

由tanα=2得sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=45，

cos2α=cos2α－sin2αsin2α+cos2α=1－tan2α1+tan2α=－35，所以35=12［45+(1+m)35］+12，得m=－2．

突破方法技巧：

三角函数的最值主要有以下几种类型：①形如y=Asin(ωx+φ)、y= asinx+bcosx的，充分利用其有界性去求最值；②形如y=sinx+cosx+sinxcosx的，换元去处理；③形如y= asinx+bsin2x的，转化为二次函数去处理；④形如y= 2－cosx2－sinx 的，可采用反表示的方法，再利用三角函数的有界性去解决，也可转化为斜率去通过数形结合解决．

考点4．三角函数的图象和性质：此类题目要求同学们在熟练掌握三角函数图象的基础上对三角函数的性质灵活运用.会用数形结合的思想来解题.

例4 已知函数f(x)=23sinxcosx+2cos2x－1(x∈R)（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及在区间［0,π2］上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f(x0)=65,x0∈［π4,π2］，求cos2x0的值．

解：由f(x)=23sinxcosx+2cos2x－1，得f(x)=3(2sinxcosx)+(2cos2x－1)=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，f(x)的最小正周期为π

f(x)=2sin(2x+π6)在［0，π6］上单调递增，在［π6，π2］上单调递减，

又f(0)=1,f(π6)=2,f(π2)=－1，f(x)在［0,π2］上的最大值为2，最小值为-1.

（2）由（1）知f(x0)=2sin(x0+π6)，又f(x0)=65,sin(2x0+π6)=35，

由x0∈［π4,π2］，2x0+π6∈［2π3,7π6］从而cos(2x0+π6)=－1－sin2(2x0+π6)=－45

cos2x0=cos［(2x0+π6)－π6］=cos(2x0+π6)cosπ6+sin(2x0+π6)sinπ6=3－4310

突破方法技巧：

研究复杂三角函数的性质，一般是将这个复杂的三角函数化成y=Asin(ωx+φ)的形式再求解，这是解决所有三角函数问题的基本思路.

篇（9）

在高中学生掌握的三角函数的主要内容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数、同角三角函数间的关系、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角的正弦、余弦和正切公式，以及三角函数的图象和性质。在旧教材中三角函数安排在第一册（下）第四章即在高一下学期进行学习。而新教材安排在必修4的第一章和第三章，根据黑龙江省的教学顺序，在高一上学期的期中考完试之后进行学习。

现在我从几个角度去分析三角函数这部分内容的新旧教材内容编写及体系设置的差异：

（1）在形式上的对比：

旧教材是36节课时，新教材是24节课时。

从教材内容先后顺序的调整，更符合学生的认知规律，体现课程标准中倡导的螺旋式的教学模式。新教材展示了研究数学所渗透的多种思想方法，如化归思想，数形结合思想，换元思想，分类讨论思想。同时在数学式子和图形的变化中，让学生领会分析、探索，类比，平移，伸缩变换等这些常用的基本方法，培养学生用数学的意识，从而使学生在获取知识和运用知识的过程中发展思维能力，提高思维品质，培养创新精神。

（二）在内容上的对比：

1、新教材引入了计算器计算。

2、任意角三角函数一节弱化了正弦线，余弦线，正切线，强调了坐标运算。

3、新教材弱化同角关系式结构，减少了tanα·cotα=1 强调运用与推导。

4、诱导公式加入了正切公式，位置与顺序做了调整。

5、新教材将两角和差的正余弦公式放在“三角函数图与性质”之后。

6、新教材将“函数y=sin(ωχ+φ) 的图象”一节放于正切函数图象之后。

7、新教材删去了“已知三角函数值求角”的内容。

8、新教材增加了“三角函数模型的应用”的内容。

9、旧教材中只有“三角函数与欧拉”，“潮汐与港口”两个阅读材料。

新教材有三种专题：

阅读与思考中包括：“三角学与天文学”和“振幅、周期、频率、相位” 。

探究与发现中包括：“函数y=Asin(ωχ+φ) 及函数y=Acos(ωχ+φ) 的周期 ”和“利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质”

信息技术应用中包括：“利用正切线画函数y=tanχ,x∈(-■,■) 图象”和“利用信息技术制作三角函数表”。

10、例题习题中出现了许多高考习题，以及方法与思维较为灵活的综合习题等。

内容的调整降低了难度，使教师在教学中既注重基础知识又加强能力的培养，我们在教学中可以依据教材的特点，教材几乎每一部分的右侧都有“？”，让学生可以在课上或课下进行积极的研究与讨论，教师在备课过程中可以设计问题教学法，引导学生带着问题进行学生。教学中注重分层教学，辅助以多媒体教学手段，编写了分层作业，其中有基础作业，能力作业等。

（三）在教学要求上： 旧教材的具体要求是：

1、使学生理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算。

2、使学生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式。

3、使学生掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式 通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力。

4、使学生能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明（包括引出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。

5、使学生会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；理解周期函数与最小正周期的意义，并通过它们的图象理解这正弦函数、余弦函数、正切函数的性质；会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数的简图，理解A、ω、φ的物理意义。

6、使学生会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示。

而新教材的具体要求是：

1、了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与度的互化。

2、借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式的正弦、余弦、正切，能画出的y=sinx,y=cosx,y=tanx图象，了解三角函数的周期性。

3、借助图象理解正弦函数，余弦函数在[0,2π] ，正切函数在(-■,■)上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）。

4、理解同角三角函数的基本关系式： sin2x+cos2x=1,■=tanx.

5、结合具体实例，了解y=Asin(ωχ+φ)的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin(ωχ+φ)的图象，观察参数A,ω,φ对函数图象变化的影响。

6、会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。

7、经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。

8、能以两角差的余弦公式导出两角和差和正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。

9、能运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用联系转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的作用。

（四）教学体会及建议

1、重视诱导公式的归纳和作用：因为在其它章节中只要是与角有关系的问题,例如：解三角形中；直线的倾斜角和斜率；立体几何中的成角问题等都会涉及到诱导公式的使用。它的作用是将任意角的三角函数化为锐角三角函数，从中领会化归的数学思想及蕴含的创新意识。

2、三角函数线作为三角函数的几何表示，可适当补充一些三角函数线的应用，如比较三角函数值的大小；已知求x, 让学生增强“数形结合”的意识，培养学生运用数形结合的思想方法。也为今后学习有关内容打下基础。

篇（10）

1.变“角”

例1.设α∈（0，），β∈（，），cos（α-）=，sin（β+）=-，求sin（α+β）的值.

【分析】条件角是α-，β+，目标角是α+β，运用转化与化归思想得到α+β=（α-）+（β+）-.

【解答】由α∈（0，）得到α-∈（-，0），所以sin（α-）=-=-.

由β∈（，）得到β+∈（π，），所以cos（β+）=-=-.

所以sin（α+β）=sin[（α-）+（β+）-]=-cos[（α-）+（β+）]=.

【评析】本题可以直接利用和角、差角公式展开cos（α-）=，sin（β+）=-得到sinα，sinβ，cosα，cosβ.这也是一种思路，但是计算量太大.本题的解法通过配角化异求同，沟通已知角与未知角的关系，大大提高了解题效率.但是解题中要注意角的范围，α-∈（-，0），β+∈（π，）是不可缺少的，忽视角的范围限制，容易产生运算错误.

常用的角度变换有：α=（α+β）-β=（α-β）+β，2α=（α+β）+（α-β），（+α）+（-α）=，等等.

2.变“名”

例2.已知函数f（x）=tan（2x+），

（Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期；

（II）设α∈（0，），若f（）=2cos2α，求α的大小.

【分析】解决三角函数问题要三看，即看角、看名、看式.由f（）=2cos2α得到tan（α+）=2cos2α，这里有复角α+，倍角2α，单角α，首先得消除角的差异，即α+，2αα；其次函数化切化弦.

【解答】（I）易解得定义域为{x|x≠+，k∈Z}，最小正周期T=.

（II）解：由f（）=2cos2α得到tan（α+）=2cos2α，即=2（cosα-sinα），即=2（cosα+sinα）（cosα-sinα）.

因为α∈（0，），所以sinα+cosα≠0，所以（cosα-sinα）=，即sin2α=.

由α∈（0，），得2α∈（0，），所以2α=，α=.

【评析】弦切互化是化函数异名为同名的最常用方法.忽视角的范围限制是产生错误的重要原因.

3.变“式”

例3.求值：tan17°+tan43°+tan17°tan43°.

【分析】非特殊角特殊角，利用公式变形整体求解.

【解答】tan60°=tan（17°+43°）==，所以tan17°+tan43°=（1-tan17°tan43°），所以tan17°+tan43°+tan17°tan43°=.

【评析】在进行三角变换时，顺用公式的情况比较普遍，但如果能根据题目的结构，联想到公式的变形、逆用，那么就会“柳暗花明又一村”.本题的巧妙之处在于将两角和的正切公式变形为tanα+tanβ=tan（α+β）（1-tanαtanβ）.

4.变“次”

例4.函数f（x）=sin（2x-）-2sinx的最小正周期是

？摇？摇？摇 ？摇.

【分析】已知条件中存在次数的差异，应先运用降次、升幂公式消除次数差异.

【解答】f（x）=sin（2x-）-2=sin2x-cos2x-+cos2x=sin2x+cos2x-=sin（2x+）-，所以最小正周期是π.

【评析】通过降次、升幂等手段，为使用公式创造条件，也是三角变换的一种重要策略.常见的降次公式有sinx=，cosx=；升幂公式有：sin2α=2sinαcosα，cos2α=cosα-sinα=2cosα-1=1-2sinα.

5.“1”的妙用

例5.已知a，β均为锐角，且tanβ=，则tan（α+β）=

？摇？摇？摇 ？摇.

【分析】已知条件是sinα，cosα的齐一次式，联想到化弦为切，转化为tanα，tanβ的关系.

【解答】tanβ===tan（-α）.又因为α，β均为锐角，所以β=-α，即α+β=，所以tan（α+β）=1.

【评析】在三角变换中，“1”的妙用使问题迎刃而解.常见的有1=sinα+cosα，1=tan.

6.整体处理

例6.已知sinθ+cosθ=，且θ∈[，]，则cos2θ的值是

？摇？摇 ？摇？摇.

【分析】看到sinθ+cosθ=比较容易想到sinθ+cosθ=sin（θ+）=，那么2θ=2（θ+）-，这是一种思路.当然还可以从化同角的角度把单角变倍角，则只需平方即（sinθ+cosθ）=sinθ+2sinθcosθ+cosθ=1+2sinθcosθ=1+sin2θ；或者把倍角转化为单角，则cos2θ=cosθ-sinθ=（cosθ+sinθ）（cosθ-sinθ），只要能求出cosθ-sinθ，这个问题就解决了.

【解答】法一：sinθ+cosθ=两边平方得（sinθ+cosθ）=sinθ+2sinθcosθ+cosθ=1+2sinθcosθ=1+sin2θ=，即sin2θ=-.又因为θ∈[，]，所以2θ∈[π，]，所以cos2θ=-=-.

法二：sinθ+cosθ=两边平方得（sinθ+cosθ）=sinθ+2sinθcosθ+cosθ=1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=-，

又（cosθ-sinθ）=cosθ-2sinθcosθ+sinθ=1-2sinθcosθ=，又θ∈[，]，

篇（11）

在讲解同角三角函数的时候，就遇到了同角三角函数之间的函数关系了，即正弦函数sinA，余弦函数cosA，正切函数tanA，余切函数cotA，正割函数secA，余割函数cscA之间的关系.它们之间的关系怎么能比较清楚简洁地记忆呢？我们不妨借助一个正六边形来加以辅助记忆.在正六边形的左上角记上正弦函数sinA，右上角记余弦函数cosA，中间左边记正切函数tanA，中间右边的角记余切函数cotA，左下角记正割函数secA，右下角记余割函数cscA.这样六个角就对应了六个三角函数.然后在六边形的中心点画一个圈，分别与六个角连线，圈的里面写个数字“1”.这样一个大的六边形就被分成了六个小的等边三角形了.其中有三个是“正”三角形（就是一个尖在上面的）.三个是“倒”三角形（就是一个尖在下面的）.把三个倒三角形涂上阴影，用以表示面积所用.因为面积我们都习惯用平方来表示.所以公式中出现平方的时候就要用到用以表示面积的部分来表达了.这样的准备工作做好了之后，就可以借助这个六边形对同角三角函数之间的关系来记忆了.首先是对角之积为“1”.即正弦函数与余割函数之积为1，sinA·cscA=1；余弦函数与正割函数之积为1，cosA·secA=1；正切函数与余切函数之积为1，tanA·cotA=1.其次是商的关系.以中间的正切函数和余切函数为中心，正切函数上下分别往右，左边的函数除以右边的函数就等于正切函数，tanA=sinA[]cosA=secA[]cscA.以余切函数为中心，余切函数上下分别往左，右边的函数除以左边的函数就等于余切函数，cotA=cosA[]sinA=cscA[]secA.再者就是平方和关系.三个倒三角上面的两个顶角的平方和等于底角的平方.即正弦函数的平方加上余弦函数的平方等于1的平方，sin2A+cos2A=1；正切函数的平方加上1的平方等于正割函数的平方，tan2A+1=sec2A；1的平方加上余切函数的平方等于余割函数的平方，1+cot2A=csc2A.由此，我们只要在脑海里印记了一个正六边形，同角三角函数之间的所有关系也就相应地映记在脑海里了.

二、口诀解释法

在讲解三角函数诱导公式的时候，九组三十六个诱导公式单独的记忆就有一定的难度.那么我们归纳分析后可以看出，凡是诱导公式中括号里前面的定角（如π，2π或π[]2，3π[]2之类的角）所落在坐标轴的位置不同，等号后面的三角函数与等号前面的三角函数的名称有的相同，如sin（π+A）=-sinA，有的不同，如tan3π[]2-A=cotA.那么有何规律呢？而等号后面的正负符号也不尽相同.这又有何规律呢？通过观察、归纳，我们可以简单的用两句话、十个字来佐以记忆.这就是“纵变横不变，正负看象限”.那么，这十个字、两句话怎么理解就显得尤为重要了.首先，什么叫纵，什么叫横？就是定角所落在坐标轴的位置，如果定角落在坐标轴的横轴上，就叫做横，如π或者2π的终边就落在了横轴上了，所以就叫做横了.同理可知纵.那什么叫变和不变呢？就是等号左右的三角函数名称变和不变.“纵变横不变”就是指的是如果定角的终边落在了坐标轴的横轴上了，那等号两边的三角函数的名称就不变，如果定角的终边落在了坐标轴的纵轴上了，那等号两边的三角函数的名称就改变.那变和不变，怎么变，怎么不变呢？变就是等号左边的要是正弦函数，那等号右边就是余弦函数，等号左边是正切函数，那等号右边就是余切函数了.这就是纵变横不变的解释理解.所以我们先要观察定角终边落在坐标轴的什么轴上，然后根据口诀就知道等号左右的三角函数名称是否改变了.其次是“正负看象限”.正负指的是等号右边三角函数前面的正负符号.看象限是看谁的象限呢？是要看定角和任意角A之和所在的象限.这里A虽然是任意角，但我们仍然要把这个任意角A看成是一个锐角.这里特别要强调的是“看成”.任意角就是任意角，无论是什么角，我们况且都可以把它先看成是锐角.这样，一个定角和一个锐角所在的象限就确定了.那么这个角和等号左边的三角函数所在的象限的三角函数符号就能确定了.所以等号右边的正负符号就由此来确定了.那么这样，等号左边的三角函数和括号里的定角与任意角的和或者差的诱导公式就可以由前面的“纵变横不变，正负看象限”得到等号右边的一个任意角的三角函数值了.这样，我们只要能记住理解这两句话.十个字就可以把三十六个诱导公式熟练的记住了.比如我们要求：cot（π-A）=？首先我们来确定定角π的终边所落的坐标轴是在横轴上了，由“纵变横不变，正负看象限”，那么我们就可以判定等号右边的三角函数的名称没变，即左边是余切函数cot（π-A），那右边也一定是余切函数cotA.再者我们来判断等号右边的正负符号，我们看定角和任意角A之差是在第二象限，第二象限内余切函数是负值，所以等号右边就应该是负号了，即cot（π-A）=-cotA.

三、定位记忆法

定位法就是先将我们要熟记的公式模式定位.比如，我们要熟记和差化积的公式.如：