函数最值的应用大全11篇
时间：2023-08-31 16:31:39绪论：写作既是个人情感的抒发，也是对学术真理的探索，欢迎阅读由发表云整理的11篇函数最值的应用范文，希望它们能为您的写作提供参考和启发。
篇（1）
中图分类号：F12 文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2014）31-0005-02
一、二元函数的最大值与最小值
求函数f（x，y）的最大值和最小值的一般步骤为：
（1）求函数f（x，y）在D内所有驻点处的函数值;（2）求f（x，y）在D的边界上的最大值和最小值;（3）将前两步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值。
在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，可以判断出函数f（x，y）的最大值（最小值）一定在D的内部取得，而函数f（x，y）在D内只有一个驻点，则可以肯定该驻点处的函数值就是函数f（x，y）在D上的最大值（最小值）。
例1 设q1为商品A的需求量，q2为商品B的需求量，其需求函数分别为q1=16-2p1+4p2，q2=20+4p1-10p2，总成本函数为C=3q1+2q2，其中p1，p2为商品A和B的价格，试问价格p1，p2取何值时可使利润最大？
解 按题意，总收益函数为：
R=p1q1+p2q2=p1（16-2p1+4p2）+p2（20+4p1-10p2）
于是总利润函数为
L=R-C=q1（p1-3）+q2（p2-2）
=（p1-3）（16-2p1+4p2）+（p2-2）（20+4p1-10p2）
为使总利润最大，求一阶偏导数，并令其为零：
=14-4p1+8p2=0
=4（p1-3）+（20+4p1-10p2）-10（p2-2）
=28+8p1-20p2=0
由此解得p1=63/2，p2=14，又因
（L"xy）2-L"xx・L"yy=82-（-4）（-20）<0
故取p1=63/2，p2=14价格时利润可达最大，而此时得产量为q1=9，q2=6。
例2 在经济学中有个Cobb-Douglas生产函数模型f（x，y）=
cxαy1-α，式中x代表劳动力的数量，y为资本数量（确切地说是y个单位资本），c与α（0<α<1）是常数，由各工厂的具体情形而定，函数值表示生产量，现在已知某制造商的Cobb-Douglas生产函数是f（x，y）=100x3/4y1/4每个劳动力与每单位资本的成本分别是150元及250元，该制造商的总预算是50 000元，问他该如何分配这笔钱用于雇用劳动力与资本，以使生产量最高。
解 这是个条件极值问题，求函数f（x，y）=100x3/4y1/4在条件150x+250y=5 000下的最大值。
令L（x，y，λ）=100x3/4y1/4+λ（50 000-150x-250y），由方程组
Lx=75x-1/4y1/4-150λ=0Lx=25x3/4y-3/4-250λ=0Lx=50 000-150x-250y=0
中的第一个方程解得λ=x-1/4y1/4，将其代入第二个方程中，得
25x3/4y-3/4-125x-1/4y1/4=0
在该式两边同乘x1/4y3/4，有25x-125y=0，即x=5y。将此结果代入方程组的第三个方程得x=250，y=50，即该制造商应该雇用250个劳动力而把其余的部分作为资本投入，这时可获得最大产量f（250，50）=16 719。
例3 设销售收入R（单位：万元）与花费在两种广告宣传的费用x，y（单位：万元）之间的关系为
利润额相当于五分之一的销售收入，并要扣除广告费用.已知广告费用总预算金是25万元，试问如何分配两种广告费用使利润最大？
解 设利润为z，有
限制条件为x+y=25，这是条件极值问题，令
L（x，y，λ）=-x-y+λ（x+y-25）
从而
Lx=-1+λ=0，Ly=-1+λ=0
整理得
（5+x）2=（10+y）2
又y=25-x，解x=15，y=10。根据问题本身的意义及驻点的唯一性即知，当投入两种广告的费用分别为15万元和10万元时，可使利润最大。
例4 设某电视机厂生产一台电视机的成本为c，每台电视机的销售价格为p，销售量为x。假设该厂的生产处于平衡状态，即电视机的生产量等于销售量，根据市场预测，销售量x与销售价格为p之间有下面的关系：
x=Me-ap （M>0，a>0） （1）
其中M为市场最大需求量，a是价格系数。同时，生产部门根据对生产环节的分析，对每台电视机的生产成本c有如下测算：
c=c0-klnx （k>0，x>1） （2）
其中c0是只生产一台电视机时的成本，k是规模系数，根据上述条件，应如何确定电视机的售价p，才能使该厂获得最大利润？
解 设厂家获得的利润为u，每台电视机售价为p，每台生产成本为c，销售量x，则u=（p-c）x。
于是问题化为利润函数u=（p-c）x在附加条件（1）、（2） 下的极值问题。
利用拉格朗日乘数法，作拉格朗日函数：
L（x，p，c，λ，μ）=（p-c）x+λ（x-Me-ap）+μ（c-c0+klnx）
令Lx=（p-c）+λ+kμ/x=0，Lp=x+λaMe-ap=0，Lc=-x+μ=0
将（1）代入（2），得c=c0-k（lnM-ap） （3）
由（1）及Lp=0知λa=-1，即λ=-1/a （4）
由Lc=0知x=μ，即x/μ=1
将（3）、（4）、（5） 代入Lx=0，得
p-c0+k（lnM-ap）-1/a+k=0
由此得p*=
由问题本身可知最优价格必定存在，故这个p*就是电视机的最优价格。
篇（2）
例1 （2012年江苏扬州）如图1，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形ACD和BCE，那么DE长的最小值是 .
图1
解析：设AC=x，则BC=2-x.
ACD和BCE都是等腰直角三角形，
∠DCA=45°，∠ECB=45°，DC=■x，CE=■（2-x）.
∠DCE=90°.
DE2=DC2+CE2=（■x）2+[■・（2-x）]2=x2-2x+2=（x-1）2+1.
当x=1时，DE2取得最小值，DE也取得最小值，最小值为1.
例2 （2012年宁夏）如图2，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作APPE，垂足为P，PE交CD于点E.
（1）连接AE，当APE与ADE全等时，求BP的长；
（2）若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式.当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
（3）若PE∥BD，试求出此时BP的长.
图2
分析：（1）由APE≌ADE，可得AP=AD=3.在RtABP中，运用勾股定理即可求得BP的长.
（2）由APPE，得RtABP∽RtPCE. 根据相似三角形的对应边成比例可列式得y与x的函数关系式，然后化为顶点式即可求得当x=■时，y的值最大，最大值是■.
（3）由PE∥BD，得CPE∽CBD.根据相似三角形的对应边成比例可列式求得BP的长.
解：（1）APE≌ADE，AP=AD=3.
在RtABP中，AB=2，BP=■=■=■.
（2）APPE，RtABP∽RtPCE.
■=■，即■=■.
y=-■x2+■x.
y=-■x2+■x=-■（x-■）2+■，
当x=■时，y的值最大，最大值是■.
（3）设BP=x， 由（2）得CE=-■x2+■x.
PE∥BD，CPE∽CBD.
■=■， 即■=■.
将上式化简，得3x2-13x+12=0.解得x1=■或x2=3（不合题意，舍去）.
当PE∥BD时， BP=■.
二、求线段积的最值
例3 （2012年江苏苏州）如图3，已知半径为2的O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x（2
（1）当x=■时，求弦PA、PB的长度；
（2）当x为何值时，PD・CD的值最大？最大值是多少？
图3
分析：（1）由直线l与圆相切于点A，且AB为圆的直径，根据切线的性质得到AB垂直于直线l.又PC垂直于直线l，根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到AB与PC平行. 根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两个三角形相似可得出PCA与APB相似.由相似得比例式，将PC及直径AB的长代入比例式求出PA的长.在RtAPB中，由AB及PA的长，利用勾股定理即可求出PB的长.
（2）过O作OE垂直于PD，与PD交于点E，由垂径定理得到E为PD的中点.再由有三个角为直角的四边形为矩形得到四边形OACE为矩形.根据矩形的对边相等，可得出EC=OA=2.用PC-EC的长表示出PE，根据PD=2PE表示出PD，再用PC-PD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到关于x的二次函数，根据自变量x的范围，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值.
解：（1）O与直线l相切于点A，AB为O的直径，ABl.
又PCl，AB∥PC. ∠CPA=∠PAB.
AB为O的直径，∠APB=90°.
∠PCA=∠APB.PCA∽APB.
■=■，即PA2=PC・AB.
PC=x=■，AB=4，PA=■=■.
在RtAPB中，由勾股定理得PB=■=■=■.
（2）过O作OEPD，垂足为E.
PD是O的弦，OEPD，PE=ED.
在矩形OECA中，CE=OA=2，
PE=ED=x-2.
CD=PC-PD= x-2（x-2）=4-x .
PD・CD=2（x-2）（4-x）=-2x2+12x-16=-2（x-3）2+2.
2
当x=3时，PD・CD有最大值，最大值是2.
三、求周长的最值
例4 （2012年四川南充）如图4，在RtPOQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点.把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心旋转三角尺，三角尺的两直角边与POQ的两直角边分别交于点A、B.
（1）求证：MA=MB；
（2）连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，AOB的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.
图4
分析：（1）连接OM，证明PMA和OMB全等即可.
（2） 由（1）可得OP=OA+PA=OA+OB=4，再令OA=x，AB=y，则在RtAOB中，利用勾股定理得y2=x2+（4-x）2=2x2-8x+16=2（x-2）2+8，然后求出最值即可.
解：（1）证明：连接OM .
在RtPOQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点，
PQ=4■，OM=PM=■PQ=2■，∠POM=∠BOM=∠P=45°.
∠PMA+∠AMO=∠OMB+∠AMO，
∠PMA=∠OMB.
PMA≌OMB（ASA）. MA=MB.
（2）AOB的周长存在最小值.理由如下：
PMA≌OMB ， PA=OB.
OA+OB=OA+PA=OP=4.
设OA=x， AB=y，则y2=x2+（4-x）2=2x2-8x+16=2（x-2）2+8≥8.
当x=2时，y2有最小值8，从而 y的最小值为2■.
AOB的周长存在最小值，其最小值是4+2■.
四、求面积的最值
例5 （2012年四川自贡）如图5，正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AMMN，当BM= cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为 cm2.
图5
解析：设BM=xcm，则MC=（1-x）cm.
∠AMN=90°，∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，
∠AMB=90°-∠NMC=∠MNC.
ABM∽MCN，■=■，即■=■，解得CN=x（1-x）.
S四边形ABCN=■×1×[1+x（1-x）]=
-■x2+■x+■=-■（x-■）2+■.
-■
当x=■cm时，S四边形ABCN最大，最大值是■cm2.
例6 （2012湖南株洲）如图6，在ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米.M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒.运动时间为t秒.
（1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？
（2）当t为何值时，AMN的面积最大？并求出这个最大值.
图6
分析：（1）用t表示出AM和AN的值，根据AM=AN，得到关于t的方程，求出t值即可.
（2）作NHAC于H，证明ANH∽ABC，从而得到比例式，然后用t表示出NH，从而计算AMN的面积得到有关t的二次函数，最后求出最值即可.
解：（1）M点从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒，运动时间为t秒，
AM=12-t，AN=2t.
∠AMN=∠ANM，AM=AN，即12-t=2t，解得t=4 秒.
当t为4秒时，∠AMN=∠ANM.
（2）如图6，作NHAC于H，∠NHA=∠C=90°.NH∥BC.
ANH∽ABC.
篇（3）
1.利用几何画板画出f（x）=x2-2x+2的图像，在x轴上绘制好A点（-1，0）和B点（3.2，0），即区间[-1，3.2].在线段AB上构造一个点C，度量出C点的横坐标，记为x，再计算出f（x），绘制好D（x，f（x））；选择C、D【构造】|【轨迹】，得到f（x）=x2-2x+2（x∈[-1，3.2]）的图像.
2.隐藏图像上不要的元素，使图像更加简洁.过D点作y轴的垂线段交y轴于E点.C点在线段AB上移动时，D点的纵坐标与E点的纵坐标一样.通过E点的值的变化可以清晰地反映函数f（x）=x2-2x+2在区间[-1，3.2]上的最大值和最小值.
3.选择点E【编辑】|【操作类按钮】|【动画】，制作好按钮.只要按就可以让F点在图像上运动起来，观察出何时取最大值和最小值，最后将E、F的标签改为x、f（x），如图1.
图1
二、函数f（x）=x2-2x+2在区间[t，t+2]上的最大值和最小值的动态演示
1.利用几何画板画出f（x）=x2-2x+2的图像，在x轴上绘制一点A，度量A的横坐标，记为t，计算t+2；绘制点B（t+2，0），构造线段AB，在线段AB取一点P，度量其横坐标，记为x，计算f（x），绘制点M（x，f（x））；选择P、M【构造】|【轨迹】，得到f（x）=x2-2x+2（x∈[t，t+2]）的图像.
2.隐藏图像上不要的元素，使图像更加简洁.作出函数图像的对称轴，过A、B两点作x轴的垂线段，作出线段PM，再过M作y轴的垂线段（虚线），最后将A、B、P、M的标签改为t，t+2，x，f（x），如图2.
图2
3.拖动点t让函数f（x）=x2-2x+2（x∈[t，t+2]）的图像动起来.观察函数在区间[t，t+2]的最大值和最小值，并从中总结出需要的结论.
4.当t≤-1时，函数的最大值为f（t），最小值为f（t+2）；当-1
三、函数f（x）=x2-2tx+2在区间[-1，1]上的最大值和最小值的动态演示
1.在x轴上构造一点A，过A点构造x轴的垂线，再在垂线上构造一点B，度量其纵坐标，记为t，并将B点标签改为t.
2.绘制函数f（x）=x2-2tx+2图像；绘制点C（-1，0）、D（1，0），构造线段CD，在线段CD上取一点E，度量其横坐标，记为x，计算f（x），绘制点F（x，f（x））；选择E、F【构造】|【轨迹】，得到f（x）=x2-2tx+2（x∈[-1，1]）的图像.
篇（4）
[中图分类号] R73 [文献标识码] A [文章编号] 1674-0742（2013）05（a）-0117-02
寒战是麻醉苏醒期常见并发症，给患者带来不适，影响患者预后。右美托咪啶为新型α2肾上腺素能受体激动剂，具有独特的镇静、镇痛、抗应激、抗寒战等作用而无呼吸抑制，易唤醒的特点，在临床上日益受到重视。右美托咪啶因其良好的镇静、镇痛效果，可明显减少丙泊酚及阿片类药物的用量，从而改善麻醉后的复苏，减少术后躁动、寒战、恶心呕吐的发生[1]。该研究旨在观察右美托咪啶辅助改善肺癌根治术麻醉后寒战的临床效果，以2010年2月―2012年2月期间的68例接受肺癌根治手机治疗的患者为研究对象，现报道如下。
1 资料与方法
1.1 一般资料
选择在该院接受肺癌根治术手术治疗的68例患者作为研究对象，其中男38例，女30例，年龄51～68岁，体重47～78 kg，ASA分级为Ⅰ级和Ⅱ级。有以下情况者不记入观察对象：过敏体质；精神异常不能合作者；严重肾或肝脏疾病者；有心动过缓和缓慢性心律失常者；有长期使用血管活性药，镇静，镇痛药史者；有神经-肌肉系统疾病史者。入选的患者均自愿参加该研究，且与患者签订知情同意书，并获得本院伦理委员会批准。按照随机数字表法将68例患者随机分为研究组（右美托咪啶）和对照组（生理盐水），每组各34例，两组患者的年龄、性别、体重及ASA分级均差异无统计学意义（P>0.05）。
1.2 方法
患者入室后常规监测，开放静脉通道。所有患者均采用静吸复合全麻，依次给予咪唑安定0.05 mg/kg，芬太尼2～4 μg /kg，丙泊酚1～2 mg/kg，顺式阿曲库铵0.2 mg/kg，行快速静脉诱导，气管插管后机械通气。对研究组患者在气管插管之后给予右美托咪啶（国药准字H20090251）负荷量0.5 μg/（kg・h）静脉输注，10 min泵完，以0.3 μg/（kg・h）静脉维持，手术结束前1 h停止用药；对照组组给予生理盐水泵注速度与方法同研究组。麻醉维持：吸入七氟醚0.6～1.0 MAC，静脉持续泵注丙泊酚3～5 μg/（kg・h）、瑞芬太尼0.1～0.3 μg/（kg・h），间断静注顺式阿曲库铵0.1 mg/kg，术毕前45 min不再追加肌松药。维持血流动力学稳定，当心率60次/min时，给予阿托品0.3 mg静注。术中维持呼吸末二氧化碳分压30～40 mmHg、BIS40-60。术毕拔除气管导管后送麻醉恢复室观察。对手术后1 h内的寒战情况进行记录分析。
1.3 观察指标
①记录并比较两组患者术中七氟醚用量、术中输液量、术中使用阿托品和寒战出现后曲马多的补救性使用情况。②记录并比较两组患者术后1 h内寒战的发生情况，寒战的评价标准：0级为手术后没有寒战，1级为面部或颈部轻微肌颤，2级为全身或者一个部位一组肌肉偶有肌颤但是全身没有发生肌颤，3级为全身的任何一组肌群均发生肌颤。寒战≥3级定义为寒战发生，如寒战发生追加曲马多1 mg/kg。
1.4 统计方法
采用SPSS17.0统计学软件进行该研究数据的处理分析，计量资料进行t检验，计数资料进行χ2检验。
2 结果
2.1 两组患者的一般资料和术中情况各项指标对比
由表1可知两组患者的各一般资料、手术时间、术中输液量及拔管时间比较差异无统计学意义；而研究组的七氟醚用量和曲马多使用率均较对照组明显下降，而阿托品使用率则明显上升，且差异有统计学意义（χ2或t=3.02、12.35、13.47，P
2.2 两组患者术后寒战程度比较
由表2可知研究组患者的术后寒战发生率明显低于对照组，且差异有统计学意义（χ2=14.23，P
3 讨论
麻醉后寒战（Postoperative shivering，PAS）发生率通常在5%～65%，是临床麻醉的常见并发症，是指病人在苏醒期骨骼肌不能自主的收缩，会对清醒患者的心理和生理方面都产生不良影响[2]。目前PAS的发生机制尚不清楚，全麻患者寒战多发生在苏醒期，其原因可能是由于全麻药抑制了下丘脑体温调节中枢（PO/AH），干扰了中枢性体温调节，使代谢率降低，产热减少；加之多数麻药有血管扩张作用，致散热增加[3]。PAS的易患因素包括低温、心理因素、年龄、术中大量输血输液、应用挥发性麻醉剂等。严重的寒战反应可增加机体氧耗，加重心肺负担；增加眼内压、颅内压；加重术后切口疼痛；影响麻醉监测效果； Kurz等认为，导致寒战的术后低体温可增加术后切口感染率[4]。因此防止PAS的发生是全麻术后管理的重要一环。
在临床中阿片类药物（哌替啶等）、中枢兴奋药（多莎普伦等）、α2受体激动剂（可乐定等）、曲马多等多种药物均可治疗寒战，但同时可能带来不良反应。右美托咪啶为一种新型高选择性α2肾上腺素能受体激动剂，能作用于脑和脊髓的α2肾上腺素能受体，抑制神经元放电，产生剂量依赖性镇静、镇痛，抑制交感活性作用，但无呼吸抑制、易唤醒。与可乐定相比，具有更强的镇静、镇痛及抗焦虑效应。其α2受体的选择性为α2∶α1为1620∶1，而可乐定α2∶α1为220∶1，分布半衰期为5 min，消除半衰期为2 h，可乐定为6～8 h，效价比可乐定高3倍。右美托咪啶能够降低降低手术反应引起的神经内分泌反应，稳定血流动力学，并通过抑制大脑体温调节中枢，降低寒战阈值，在脊髓水平抑制体温传入信息，从而防止寒战发生[5]。该研究结果显示研究组的七氟醚用量和曲马多使用率均较对照组明显下降，阿托品使用率则明显上升。研究组患者的术后寒战发生率明显低于对照组，提示右美托咪啶在预防全麻术后寒战有良好效果。有相关研究表明，手术结束前静脉注射右美托咪啶可降低腹部或矫形外科手术患者麻醉后寒战的发生率[6]。该研究结果与之相符，不同的是该研究对象为肺癌根治术患者，患者均年龄偏大，开胸手术创伤大，手术时间长。因肺癌根治术的特殊性，为了减少窦性心动过缓的不良反应和降低对术后苏醒和拔管时间影响，该研究将右美托咪啶的维持量设定为0.3 μg/（kg・h）。该研究结果显示研究组的七氟醚用量较对照组明显下降，表明应用右美托咪啶可以减少吸入麻醉剂的用量。另一项对择期手术老年病人的研究表明[7]，右美托咪啶可减少七氟醚用量17%。右美托咪啶能够抑制去甲状腺素释放，抑制交感神经的活性，减少全麻药用量[8]。
综上所述，在肺癌根治术中辅助使用右美托咪啶可以有效降低患者麻醉后寒战的发生率，为防治全麻术后寒战提供一种新的药物选择。
[参考文献]
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[4] Kurz A，Sessler DI，Lemhardt R，et al.Perioperative normothermia to reduce the incidence of surgical-wound infection and shorten hospitalization[J].New Engl J Med，1996，334（19）：1209-1215.
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篇（5）
利用三角函数的有界性求三角函数的最值，关键在于应用三角函数的公式、性质将三角函数式化为复角的单名函数式或某些已知其最值的三角函数，如|sinx|≤1、|cosx|≤1、|ctgx|≥2，…等基本形式。
例1 求函数y=的最值。
解：去分母得，3sinx+2ycosx=1-5y，整理得：sin（x+le）=1-5y。
其中le=arctg，即sin（x+le）=。
|sin（x+le）|≤1，≤1。
整理得，21y2-10y-8≤0。
解得≤y≤，故ymax=，ymin=。
例2 求函数y=（cosx+sinx）（cosx+sinx）。
解：y=sin2x+cos2x+（+1），sinxcosx=sin2x+cos2x+=2sin（2x+le）+。
其中le由cosle=，sinle=决定。
又因为 -1≤sin（2x+le）≤1，所以≤y≤。
即 ymax=，ymin=。
二、用变量代换法求最值
求三角函数的最值时，有时选取适当的变量代替式中的三角函数式，能使问题迎刃而解。但作变量代换时要特别注意式中变量的取值范围。
例3 求函数y=的最值。
解：令t=sinx+cosx，（t≠-1），则sinxcosx=。
t=sin（x+），-2≤t≤， 且（t≠-1）。
又y==（t-1），由此可得，ymax=，ymin=-。
例4 求函数y=-cos2x-4sinx+6的最值。
解：把原函数变形得y=sin2x-4sinx+5。
设sinx=t （-1≤t≤1），
则得，y=t2-4t+5=（t-2）2+1。
又-1≤t≤1，当t=1时，ymin=2。
当t=-1时，ymax=10。
三、应用平均值不等式求最值
应用平均值不等式来求三角函数的最值，关键在于恒等变形，把三角函数式变为能应用平均值不等式的基本形式。
例5 求函数y=+（a>b>0，0
解：y=+=a2（1+tg2x）+b2（1+ctg2x）=a2+b2+（a2 tg2x+b2ctg2x）≥a2+b2+2=a2+b2+2ab=（a+b）2，当且仅当atgx=bctgx，即tg2x=，tgx=时，ymin=（a+b）2。
四、利用几何图形性质求最值
利用几何图形性质求最值的特点是直观、简洁，将最值问题转化为求直线的斜率问题，求形如y=的最值关键在于把F（f（θ），yθ）=0看作一条曲线的方程，那么y=等于曲线上的动点A（f（θ），g（θ））与定点B（-a，-b）的斜率KAB，要求y的最值，只需在曲线上找一点，使KAB最大或最小。
例6 求函数y=的最值。
篇（6）
近几年高考中的最值问题，在考查内容上，涉及的知识点广泛，如求函数的值域，求数列中的最大项或最小项，求数学应用问题中有关用料最省、成本最低、利润最大等问题；在解题方法上，求最值的方法有很多，如判别式法、均值不等式法、变量的有界性法、函数的性质法、数形结合法等.
1.二次函数的最值
求解二次函数的最值一般是先配方，再借助二次函数的图像解答.数学中的很多最值问题最后常转化为二次函数的最值问题来求解.
例1 （2008年高考重庆理科卷）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为
难度系数 0.70
解 选C.
小结 二次函数的最值问题是其他很多最值问题（如三角函数、数列、解析几何、应用性最值问题）的基础.最值问题要特别强调“定义域优先”的原则，本题实质上是求给定区间内的二次函数的值域问题.
2.导数法求最值
导数的引入为函数最值的求解开辟了一条新路，我们通常用导数法求函数的最值要比用初等方法简便得多，因此导数法求最值也是一种不可忽视的方法.
设函数在上连续，在上可导，求的最大值与最小值的步骤如下：
①求函数在内的极值；
②将函数的各极值与， 进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
例2 （2011年高考江西理科卷）设上存在单调递增区间，求a的取值范围；
（2）当在上的最小值为，求在该区间上的最大值.
难度系数 0.60
解 （1）解答过程省略.
（2）令，可得两根所以在和上单调递减，在上单调递增.
当时，有，所以在上的最大值为又即在上的最小值为于是得从而在该区间上的最大值为
小结 本题主要考查函数与导数的基础知识.导数是研究函数单调性及最值的有效工具.
3.均值不等式求最值
均值不等式：若，则当且仅当时等号成立.应用均值不等式要注意“一正、二定、三相等”的要求.
例3 （2012年高考湖南理科卷）已知两条直线 和l1与函数y=|log2 x|的图像从左至右相交于点A，B ，l2与函数y=|log2 x|的图像从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m 变化时，的最小值为
难度系数 0.55
解 由题意得选B.
小结 本题除了考查考生对对数函数图像的理解外，还考查利用基本不等式求最值的方法.考生在解题时应注意将配凑成的形式，再利用基本不等式进行求解.
4.辅助角型三角函数最值
求函数y=asin ωx+bcos ωx的最值可以转化为求y=Asin（ωx+φ）的最值，再利用三角函数的有界性可求.
例4 （2011年高考新课标理科卷）在则AB+2BC的最大值为 .
难度系数 0.65
解 最大值为2
小结 本题考查正弦定理的应用及三角函数的性质和公式的应用，熟练运用化一公式并利用函数的有界性处理是解答问题的关键.
不等式的恒成立问题
不等式的恒成立问题常转化为函数的最值问题来求解.如：恒成立，即恒成立，即例5 （2012年高考天津理科卷）已知函数的最小值为0，其中
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若对任意的有成立，求实数k的最小值；
（Ⅲ）证明难度系数 0.50
解 （Ⅰ）据题意可知函数 的定义域为由当x变化时的变化情况如下表：
因此， f（x）在x=1-a处取得最小值.由题意有f（1-a）=1-a=0，所以a =1.
（Ⅱ），取，有，故不合题意.当时，令，即，于是
令，得
①当时， 在上恒成立，因此在上单调递减.从而对任意的，总有，即在上恒成立.故符合题意.
②当时，对于，故在上单调递增.因此，当取时，，即不成立.故不合题意.
综上可知，k的最小值为.
篇（7）
中图分类号：G633.6 文献标志码：A？摇 文章编号：1674-9324（2014）07-0245-02
数列在高中数学中可以说是“叱咤风云”，具有深刻的内涵与丰富的外延，在应用中显示出独特的魅力和势不可挡的渗透力.从近几年新课标高考来看，数列的考查逐渐趋向于简单化，但是数列求最值，却成了高考命题的热点，也成了联系数列与函数单调性、导数应用、不等式求解等知识交汇题型的纽带.本文主要谈谈数列求最值的几个常规解法，供读者参考.
一、均值定理求数列中项的最值
例1 （2013届闵行区二模）公差为d，各项均为正整数的等差数列{an}中，若a1=1，an=73，则n+d的最小值等于（？摇？摇）.
解：Q a1=1，an=73，d=■，d+n=■+n=■+（n-1）+1，n=9时，n+d取最小值18.
点评：利用式子特征构造均值定理应用环境，适用于所求式子为齐次分式，或分子分母一、二次能分离的，可以构造均值定理的数列求最值问题.
【变式1】设a1，a2，…，a2007均为正实数，且■+■+…+■=■，则a1a2…a2007的最小值是（？摇？摇） .
解：设xi=■，则ai=2・■，且■xi=1，所以a1a2…a2007 =22007・■・（x2+x3+…+x2007）・（x1+x3+…+x2007）…（x1+x2+…+x2006）≥22007・■・2006・■・2006・■…2006・■22007・20062007=40122007
二、函数性质法求解数列最值
例2 （2013江苏理14题）在正项等比数列{an}中，a5=■，a6+a7=3，则满足a1+a2+L+an>a1a2Lan的最大正整数n的值为 .
解：a5=■，a6+a7=3，a5q+a5q2=3，q2+q-6=0，Qq>0， q=2，an=2n-6，Qa1+a2+a3+…+an>a1a2a3…an，2n-5-2-5>
2■，2n-5-2■>2-5>0，n-5>■， ■
解法二：设等比数列{an}的公比q，则q>0，根据题意得a5=a1q4=■a5+a7=a1q4（q+q2）=3，化简得q2+q-6=0，解得q=2或q=-3（舍），a1=2-5，又QSn=■=2-5（2n-1-1）a1・a2・…・an=a1n・q1+2+3+…+n-1=（2-5）n2■，又Qa1+a2+…+an>a1・a2・…・an，所以2n-1-1>2■，将n=1，2，3，…带入验证发现n≥13时上述不等式成立.故n取最大整数12.
点评：数列是特殊的函数，若其通项或前n项和有明确的函数解析式时，一般考虑用函数的单调性质求取最值，但要注意自变量n的取值范围.一般情况下用作差或作商来证明单调性求解，有时也用导数来证明.本题易忽视公比的取值范围而致错，对指数幂的运算性质不熟也会导致错误.
【变式2】已知数列{an}满足an=■-■，数列{an}的最大项为 .
解：（作商法求单调性）an=■，■=■n∈N*，■+■a3>L>an>an+1>L数列{an}有最大项，最大项为第一项a1=■-1.
三、导数法在数列求最值当中的应用
例3 [2013新课标Ⅱ卷（理）]等差数列{an}的前n项和为 Sn，已知S10=0，S15=25，则nSn的最小值为 .
解：由已知得：Sn=■n（n-10），设f（n）=nSn=■（n3-10n2）f '（n）=n（n-■），靠近极小值点n=■的整数为6和7，代入f（n）计算得n=7时f（n）最小，最小值为49.
点评：导数法求数列最值，一般用于所求解析式是高次，或作商和作差不好判断单调性的题型，是利用函数性质求数列最值的一种特况，作为研究数列和函数的桥梁，使问题解决便捷.
【变式3】 （2013年浙江省高中数学竞赛试题解答）数列{■}，n=1，2，L，则数列中最大项的值为（ ？摇）.
解：f（x）=x■=e■？圯f'（x）=■（1-lnx）？圯x=e为极大值点，即数列最大项■.
四、数列特性法求解最值
例4？摇（2011北约13校自主选拔）在等差数列{an}中，a3=-13，a7=3，数列{an}的前n项和为Sn，求数列{Sn}的最小项，并指出其值为何.
解：因为a3=-13，a7=3，所以d=4，所以an=4n-25，
法一：由an=4n-25≤0an+1=4（n+1）-25>0得■
篇（8）
1、配凑法
例1．已知函数 ，求y的最小值
解：因为 ， ，所以 ，当且仅当 即 时取等号。所以，当 时 。
变式1：函数 ，求y的最大值。
解：因为 ，所以 ，则 -4
，当且仅当 即 时，等号成立，故 -6。
变式2. 当 时，求 的最大值。
解：因为 ，所以 ，
，当且仅当 即 时取等号。所以，当 时
评析：当题目中给定的函数形式往往比较简单，但不符合直接使用基本不等式时，就需要对函数式用“拆、拼、凑，合”等方法，创造基本不等式的条件和形式，并且在运用基本不等式后有取等号的条件。以上三个例题的函数式都不能直接利用基本不等式求最值，故需要通过拆或拼来创造运用基本不等式的情境。如（1）中 与 的乘积不是定值，看似无法用基本不等式求解，若将 拆成 即可。（2）可配成 (3)中 与 的和不是定值，若将 拆成 即可。
2、拆项法
例2 已知函数 ， 求y的最小值。
解：因为 ，所以
当且仅当 即 时，等号成立，故 。
评析：本题采用了拆项法将式子进行了变形，然后把分子分母同除以一个含自变量的式子，使分子变为常数，此时可对分母使用基本不等式。
3、换元法
例3 求函数 的最小值。
解：因为 :所以， ，则 ，所以，
，
当且仅当 ，函数的最小值是 。
评析：本题采用了换元法，将原式转化为可以使用基本不等式求最值的形式。
4、常值代换
例4 已知 且 ，求 的最小值。
解：因为
,当且仅当 即 时，等号成立。
所以，当 时，有最小值是16.
变式训练 已知正数 满足 ，求 的最值。
解：将条件 等价转化为 后，常值代换处理即可。
例5 设 ， 为正常数，则函数 的最小值是
解析： 本题考查 及“1”的代换等知识，可将原式写成
当且仅当 ，即 时等号成立。
所以函数 的最小值是
评析：有些代数式含有两个以上的变量，但这些变量又必须同时满足某些条件，在运用基本不等式求其最值时，往往需要结合这些变量所满足的条件和所求最值的代数式的特点进行分析，通过适当的变形来利用基本不等式求最值，这类问题也往往可以通过代换消元转化为某个变量的函数形式来求最值。以上几题均采用了常量1的整体代换，通过这种变形可以转化表达形式，创造出可用基本不等式解答的条件。
5、重复使用基本不等式
例6 已知二次函数 （ ）的值域为 ，求 的最小值是
解：由题意知： 即 ,因为 ，
当且仅当 时等号成立，所以 的最小值是10.
评析：本题连续两次使用基本不等式，等号成立的条件都是 ，原题的等号成立，所以3是最小值，因此，特别注意：在连续使用基本不等式时，等号成立的条件一定要一样。
6、平方后使用基本不等式
例7 已知 为锐角，求函数 的最大值。
解：因为 为锐角，所以 为正数，所以
= 。所以 的最小值是 ，则
7、整体代换
例8 若正数 满足 ，则 的取值范围是
解：由已知 得 ，即
篇（9）
二次函数求最值类的问题千变万化，然而只要掌握一定的技巧，学会多角度分析，定能找到解题思路，以不变应万变，顺利解决难题。本文以二次函数求最值问题的题型为基础，进行了解题模式的探讨。
一、确定区间，结合图象性质
数形结合是解决数学问题的有力武器，在解决二次函数求最值的问题中也不例外，通过结合图象性质，快速准确地确定区间，开辟出解题思路。
1.定轴定区间，直接判断
当二次函数所给的函数区间固定，对称轴固定时，我们可以通过做出函数图形，清晰直观地判断和计算出函数的最值。这类题型比较简单，所以我在教学中，主要教会大家准确地做出函数图形，从而解决问题。
比如，对于定轴定区间函数求最值问题：求函数y=-x2+4x-3在区间[1，4]的最大值及最小值。首先我们分析二次函数的表达式，二次项系数小于零，说明函数图象开口向下，函数的对称轴为x==2。然后我们根据区间范围，函数的对称轴，开口方向可以做出该二次函数的草图。通过观察这一函数的图象，我们可以得出二次函数的最大值应在对称轴处取得，二次函数的最小值在端点x=4处取得，通过将x轴的坐标轴代入函数表达式，即可求出相应的最大值与最小值，从而得解。
讲完例题后我向学生强调了这类题型的易错点。定轴定区间类的二次函数求最值问题相对来说是最简单的求最值问题，然而学生因为粗心大意也会发生错误，比如画错开口方向，大家一定要记住二次项系数大于零开口向上，二次项系数小于零开口向下。然后端点处和对称轴处的函数值只要将对应的x值代入函数表达式，便可准确地求出，进而做出函数图象。
在这部分知识的教学中，我通过强调做函数图象的细节，引导学生在做题时通过直接地观察，准确地得到最值，提高了课堂的效率。
2.定轴动区间，相对位置
定轴动区间类的二次函数其对称轴确定，然而闭区间是不确定的。这类问题考查的是对称轴与函数区间的相对位置关系，当函数区间发生变化时，随着与对称轴的相对位置发生变化，函数的最值也可能会发生变化，所以学生要掌握分类讨论的思想，讨论不同情况下的函数最值。
例如，求函数y=x2+2x-1在区间[t，t+2]上的最大值与最小值。这道题的类型属于定轴动区间类问题，首先我们确定函数的对称轴为x=-1。随着t的取值不同，我们发现可以将这一问题分为三种情况进行讨论，一是当对称轴位于区间[t，t+2]的函数右侧时，二是当对称轴位于区间[t，t+2]的函数内时，三是当对称轴位于区间[t，t+2]的函数的左侧时，进而可以将t的值也划分为三个范围进行讨论。在第一种情况下，t+2
在上述例题的教学中，我通过引导学生进行分类讨论，将问题分为各种情况然后求出最值，思路清晰，条理明确，能够完整准确地确定该类二次函数的最值，取得了很好的教学效果。
3.定区间动轴，考虑变量
对于定区间动轴类的二次函数问题，由于区间固定而对称轴不确定，因此函数的最值也会随着对称轴与区间的相对位置变化而发生变化，因此解决这类问题同样需要进行分类讨论，与定轴动区间类最值问题相似。
例如，求二次函数y=x2-ax+1在区间[0，2]上的最小值。我引导学生依照定轴动区间问题的求解思路，将该问题分成三种情况进行讨论。通过计算，可得到二次函数对称轴为x=，当区间范围内的函数位于对称轴左侧时，即a>4时，函数在区间[0，2]内是单调递减的，因此二次函数在x=2处取得最小值，为5-2a。当对称轴包含在区间范围内的函数时，即0≤a≤4，由于该二次函数开口向上，所以在对称轴处取得最小值，为-+1。分析到这一步的时候我向学生强调了求最大值的做法，这道题仅让求最小值，而恰好对称轴处为最小值，若这道题还要求求出最大值的话，学生也应按照定轴动区间类问题中这种情况下的解题思路再次进行分类讨论。当区间范围内的函数位于对称轴右侧时，即a>0时，函数在区间[0，2]内是单调递增的，因此，二次函数在x=0处求得最小值1。
在上述问题的教学中，我通过引导学生利用定轴动区间类最值问题的求解技巧与思路，顺利地探求出动轴定区间类问题的求解方法，通过这样类比与分类的讨论思想，让学生成功地理解与学会了这部分数学知识，高效地完成了教学目标。
二次函数的对称轴位置、函数区间都会对二次函数的最值造成影响，学生在解题时，一定要看清题目对对称轴和区间的要求，多角度分析问题，采取正确的解题策略。
二、含有系数，字母视为常数
有时求最值问题所给的二次函数的系数是用字母表示的，对于这类问题的求解方法是将字母视为常数，并根据字母所表示的系数的位置不同，可能需要进行分类讨论。
二次函数的表达式可写作y=ax2+bx+c，当所给函数的常数项用字母表示时，自然将其视为常数处理。例如，求二次函数y=x2+2x+a在区间[0，1]上的最大值。二次函数在[0，1]上单调递增，x=1时函数的最大值为3+a。当所给函数的一次项系数用字母表示时，这类问题就是上述所讲的动轴定区间类问题，将字母视为常数，再结合自变量的范围，按照分类讨论的思想进行求解。当所给函数的二次项系数用字母表示时，例如，求二次函数y=ax2+4x-3（a≠0）在区间[1，3]内的最大值。对这一例题进行分析，a的大小首先影响的是开口大小，因此首先分为a>0和a
在上述教学中，我通过教授学生将含有字母的系数视为常数的思想，引导学生攻克了含有参数的二次函数求最值问题，加深了学生对二次函数的理解与运用。
三、实际应用，正确列函数式
二次函数在实际生产生活中也有很广泛的应用，通过利用二次函数求最值的方法，我们能够解决最优化问题。对于二次函数在日常生活中的应用问题进行分析，正确列出函数表达式是非常关键的步骤。
例如，某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台。为了响应国家“家电下乡”政策，商场决定降价。冰箱售价每降低50元，平均每天能多售出4台。那么每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润为多少？求解这道题，我们首先应当确定冰箱的利润y与每台冰箱降价x的函数表达式，y=（2400-x-2000）（×4+8）=-x2+24x+3200。我们可以做出该函数的图象，对称轴为x=150。
然后结合自变量x的取值范围，我们可以求得二次函数在对称轴处取得最大值，也就是说，当冰箱降价150元时，商场的利润最大为5000元。然后我对二次函数应用题进行了总结，这类问题学生首先应该读清题意，确定正确的函数表达式，然后应用定轴定区间二次函数求最值的求解方法，即可求得应用题中的最优结果。
在上述教学中，我对如何将实际生活问题转化为数学二次函数极值问题的处理方法进行了讲解，引导学生学会有效地结合函数图象进行解题，应用二次函数的性质，成功地求解出应用题的正确答案，进一步加深了学生对二次函数知识的掌握。
多角度分析是促进思维、加快解题速度的一种好方法。综上所述，学生只要切实掌握确定函数区间的技巧，把握住含有系数的二次函数与二次函数的实际应用解法，就能成功地克服部分二次函数难题。总之，从多角度分析和解决问题，有助于迅速找到解题思路，提高学生的数学素养。
参考文献：
篇（10）
一、研究函数最值的实际意义
在生产实践及科学实验中，常遇到“最好”，“最省”，“最低”，“最大”和“最小”等问题。例如质量最好，用料最省，效益最高，成本最低，利润最大，投入最小等等，这类问题在数学上常常归结为求函数的最大值或最小值问题。函数最值问题在很多学科领域内有着重要的应用，科学研究、航天航空、计算机编程等，在现代经济领域尤为重要，在市场经营活动中，企业总是千方百计地挖掘生产潜力，希望在生产能力许可的条件下，用最低的生产成本达到最大利润，要想做到这一点，关键是管理。而将数学中最值问题应用到企业管理中，能使管理更具科学性、有效性。
二、怎样由实际问题求最值
（1）建立目标函数。（2）求最值；若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值即为所求的最值。
三、由实际问题求最值应用举例
例1：敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击，速度为2千米/分钟．问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？
解：（1）建立敌我相距函数关系。
设t为我军从B处发起追击至射击的时间（分）。
敌我相距函数s(t) s(t)=■.
（2）求s=s(t)的最小值点。
st(t)=■令st(t)=0
得唯一驻点t=1.5。
故：我军从B处发起追击后15分钟射击最好。
例2：某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去。当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费。试问房租定为多少可获得最大收入？
解：设房租为每月x元，租出去的房子有50-(■)套，每月总R(x)=(x-20)(50-■)，Rt(x)=(68-■)+(x-20)(-■)=70-■，
Rt(x)=0=>x=350（唯一驻点）。故每月每套租金为350元时收入最高。
最高收入为：R(x)=(350-20)(68-■)=10890（元）。
由此，若f(x)在定义域上取到最大（小）值，现给出求f(x)在区间I上的最大（小）值办法：
（i）求出f(x)在Ⅰ上的所有驻点不可导点和端点。
（ii）求出f(x)在这些点上的函数值，再进行比较：最大（小）者即为所求的最大（小）值。
参 考 文 献
篇（11）
在这里先讨论的函数最值，其中a，b，c，d，e都为常数，dx+e>0且不妨设a>0，d>0。
第一种解法为构造基本不等式法。具体的方法是将分子与分母相联系起来，设ax?+bx+c=k1（dx+e）2+k2（dx+e）+k3，通过解出待定参数k1、k2和k3，再将上式代入，把原式化为k1（dx+e）++k2，在k1、k3都为正数的情况，可以用基本不等式算出该式的最小值，即为函数的最小值。以“求的最小值”为例：设x?+4x+8=k1（2x+1）2+k_2（2x+1）+k3，得k1=、k2=和k3=，再将其代入原式，模仿上文的步骤，由基本不等式得原式≥4，当且仅当x=2或者x=3时等号成立，再结合2x+1>0可知当x=2时原式有最小值，最小值为4。
事实上这种解法用到了高中所学习的基本不等式的知识，以及构造基本不等式的方法，将最值与基本不等式联系起来，是一种应用广泛的解题技巧。而且本题在构造基本不等式的过程事实上用到了待定系数法，也是高中数学的一种解题技巧。当然在此过程中要注意一些细节，如等号成立的充要条件等。
第二种解法为根的判别式法。其具体的步骤是：令=k，由于该方程有解，所以进行移项，合并同类项，可知方程ax?+（b-kd）x+c-ke=0也是有解的。根据根的判别式，在这个二次方程中，?≥0，在a，b，c，d给定的情况下，可以解出k的取值范围，进一步知道k的最小值，即为函数的最小值。还是用上文的例子，用根的判别式法来求最小值：设=k，移项，合并同类项，得x?+（4-2k）x+8-k=0。由于这个方程有解，所以?=（4-2k）2-4（8-k）≥0，解得k≤-1或k≥4，由于2x+1>0，x?+4x+8>0，所以k>0，所以k≤-1不合题意，舍去。所以k≥4，即k的最小值为4，所以原式的最小值为4。
这种方法事实上是用到了函数与方程的思想，将函数=k有解转化为二次方程有解，再由二次函数根与系数的判别式可以知道?≥0，再进一步求出k的取值范围。这需要学生将函数与方程有一定的认识，并很好地结合起来应用。
第三种解法为求导法。具体的解题步骤为：对函数进行求导，令导函数等于0求出导函数的零点，再由导函数的图像分析原函数在区间的单挑性，从而分析出y的最小值。例如，令y= ，对y进行求导，可知当x∈（-∞，-3），y'>0，y单调递增；当x∈（-3，2）时，y'
这种方法实际上是导数运用的典型例子。把要求某个函数的最值转化为函数在区间的最低点，通过求导的方式求出函数的单调递增递减性，进而分析出函数的最低点，再求出函数的最值。这种用导数来分析最值的方法，不仅可以应用在这种分式型的最值问题，对于许多函数最值问题都是最基础、应用最广泛的方法，只是求解过程、计算量等方面相对简单或复杂而已。
分析完型的最值问题后，的最值问题也就迎刃而解了。如求后者的最大值，只需要求出前者的最小正值t，就可以得到后者的最大值为1/t。
我们回过头来看一下刚才解决函数最值问题的三种方法――基本不等式法、根的判别式法、求导法。
对于基本不等式法来说，很多学生在学习基本不等式时，只知道基本不等式的公式，但在实际题目的运用中却常常遇到瓶颈，主要表现在不知道如何构造基本不等式的形式。除了上文基本不等式的构造方法外，如“已知a+b=1，求+的最小值”，用到的方法是利用a+b=1，将其与原式相乘，再用乘法分配律即可得到基本不等式的形式。似的关于不等式构造的题目还有很多，学生可以举一反三。
