高等函数的概念大全11篇

绪论：写作既是个人情感的抒发，也是对学术真理的探索，欢迎阅读由发表云整理的11篇高等函数的概念范文，希望它们能为您的写作提供参考和启发。

篇（1）

【中图分类号】O13

引 言

高等数学是所有数学分支的基础，可以当作整个数学的树干.但是，大部分学生觉得此课程枯燥，难以理解，尤其是一些基本概念容易引起混淆.本文就高等数学中函数可积与存在原函数这两个概念进行探讨，希望给学生有益的启示.

一、函数可积与原函数存在没有必然的联系

本节首先给出与函数可积及原函数存在这两个概念相关的三个定理.

定理1 （Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[a，b]上连续，则y=f（x）在区间[a，b]上可积；

（Ⅱ）若有界函数y=f（x）在区间[a，b]上仅有有限个间断点，则y=f（x）在[a，b]

上可积；

（Ⅲ）若函数y=f（x）在区间[a，b]上单调，则y=f（x）在区间[a，b]上可积.

定理2 若函数y=f（x）在区间[a，b]上连续，则y=f（x）在区间[a，b]上原函数存在.

定理3 （Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[a，b]上含有第一类间断点，则y=f（x）在区间[a，b]上

不存在原函数；

（Ⅱ）若函数y=f（x）在区间[a，b]上有无穷间断点，则y=f（x）在[a，b]

上不存在原函数.

二、通过反例揭示函数可积与存在原函数两者互不蕴含

本节将通过反例揭示函数可积与存在原函数这两个概念互不蕴含.

1.可积不一定存在原函数

2.存在原函数不一定可积

三、小 结

本文通过比较函数可积与存在原函数这两个概念，给出两个经典反例，揭示了二者互不蕴含的关系.希望通过本文的探讨，给学生有益的启示，提升学习高等数学的兴趣.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2008.

篇（2）

高等数学极限思想的历史悠久，它可以追溯到我国先秦时期著名的哲学家、思想家、道家主要创始人之一的庄子，其著名著作《天下篇》有云：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，体现了我国最早的极限思想。西方有约公元前490-425古希腊芝诺的阿基里斯追龟悖论和约公元前480-410的古希腊安蒂丰的用内接正多边形逼近圆的面积的极限思想等，这些极限思想只是哲学上的思想，如今，人们已经把极限从理论运用到实际中。而且，作为高等数学教学的重要组成部分，极限的教学普遍受到人们的关注。

一、高等数学极限求解的若干方法的思考

极限是高等数学的重要组成部分，数列和函数的极限又是高等数学极限的两个最重要的组成部分。目前，数列和函数的极限在计算机、经济、通信和自动化等许多领域有着普遍的应用。关于高等数学极限求解的方法在基础数学教材或者高等数学基础教材中只做了简单介绍，经过参考各类高等数学极限求解的文献，文章总结归纳了以下几种方法。

（一） 利用连续函数的性质求解高等数学极限的方法思考

连续函数的性质是连续函数在某一点处的极限值等于该点函数的函数值。例如：如果f（x）=x+1，那么

这种极限求解法完全是利用f（x）中x在2处的极限值直接带入求解的，这种方法简单明了，可以一眼看出该函数求解的过程和极限求解的结果。当然这只是正对简单函数的求解，对于复杂的函数极限求解，利用连续函数的性质求解极限这一方法就行不通了。例如：如果f（x）=x+1，求复杂函数 的极限值，这样的复杂函数如果也用上述连续函数的性质求解，那么分母是零，而列数求解中分母是不能为零没有意义的，所以基础数学或者高等数学基础中分数的分母不能为零。所以，运用连续函数的性质在该函数的某一点的极限值等于该点的函数值这个方法来求解 这个复杂函数是行不通的。但是可以先运用通分法再运用分子分母约分法，最后用连续函数的性质求解这个复杂函数的极限。例如： = ，到这里运用分子分母式子相同约分法，那么这个复杂函数就被简单化了，这个复杂函数简化为 ，然后运用连续函数性质求解函数极限，例如： = =2+3=5

（二）利用有界函数与无穷小的乘积仍然为无穷小来求解极限的方法思考

虽然运用通分法、约分法和连续函数的性质法的结合可以求解许多复杂函数的极限，但是还是有许多函数是以上方法所不能解的，例如： 对于这个函数的极限，以上方法是不能求出它的极限的。那么，可以运用有界函数与无穷小的乘积仍然为无穷小来求解这个函数的极限。

三角函数是高等数学函数极限求解最常见的函数极限求解，而常用的有界函数就是三角函数，如f（x）=x+1和f（x）= 都属于有界函数。例如： 这个极限函数中的x为x到0时的无穷小，xsin 为x到0的有界函数，按照方法有界函数与无穷小的乘积仍然为无穷小来求解这个函数的极限，xsin 仍是x到0的极限，所以这个极限求解出来就是0。

（三）利用极限的运算法则和恒等变换来求解极限的方法思考

极限的运算法则主要是四则运算法、无穷小的性质等法则，而恒等变换则包括通分、约分、比较最高次幂、变量替换等等法。

1、无穷小的性质

无穷小的性质是有限个无穷小的和，乘积仍然为无穷小。例如： a（x+x2+x3）的极限值仍然为0。

2、极限的四则运算法则

极限的四则运算法则的公式是如果 =A， =B，那么 [f（x）+g（x）]= + =A+B。用具体数字举例说明是 f（x）=3， g（x）=4，那么 [f（x）+g（x）]= f（x）+ g（x）=3+4=7。

3、约分法和通分法

约分法和通分法通常是结合起来运用的，约分法是约去式子中等于0的因子，通分法是通过通分把函数化简为连续函数进行求解。约分法试用于分子是0分母也为0型的极限的求解，而通分法则试用于∞±∞的极限求解。例如： 这个函数在极限求解过程中同时运用了约分法和通分法两种方法。

4、分子分母有理化

分子分母有理化比较适合分子、分母中存在根号的情况，它是通过分子分母有理化分解后，运用约分法约去0因子的方法求极限的。例如： = = = = = 2

5、比较最高幂法和拆项消去法

比较最高幂法和拆项消去法一般比较适用于数列求极限。比较最高幂法是通过比较分子分母的最高次幂来求解极限的，在求解极限运用中一般是分子的最高次幂高就是无穷大，如果是分母的次幂高就为0，如果两者的最高次幂相同，那么该式子的极限为最高次幂的系数之比。拆向消去法一般结合分析通项约除中间项来求式子极限，这种极限求解法常运用在数列无穷项求和的问题中。

例如：（1） ， = ， （比较最高次幂法）

（2） = （拆向消除法）

（四）金蝉脱壳法

金蝉脱壳在孙子兵法书上是指通过布置障眼法先稳住敌人，在敌人的视野内留一小部分老弱病残的军队，把自家的主力悄悄抽走，使之脱离敌人设计的陷阱。而在高等数学极限求解中金蝉脱壳主要是运用两个重要极限的过程中，保留式子的形式达到相同因子约去的方法来求解极限的。例如：

（1）如果 =1，那么 = =

（五）夹逼法则

夹逼法则主要用来求解分母按递增或者递减次序排列的无穷数列求和的极限求解。

例如：（1）求极限 （夹逼法则求解）

因为 ，且 = =0所以这个极限的值就是0。

在以上几种高等数学极限求解的方法，是依据基础数学和高等数学教材和其它资料总结归纳出来的，在高等数学极限求解中往往需要几种方法联合起来才能进行极限求解，要想在极限求解中得心应手多加练习方为上策。

二、高等数学极限求解的教学方法

极限思想是人们探索有限、无限问题不断深化过程中取得的，从无限思想萌芽到现在的完善，历经了将近2000年的时间，可以称的上是数学史上一次跨千年漫长的旅途。对于现在职业学院的学生来说，学好高等数学，对学生的各方面都有好处甚至有利于学生的心理健康发展。而极限求解作为高等数学至关重要的组成部分，又是一个比较难的部分，如果学生学会了这部分，对学生的高等数学的学习会起很大帮助，如果学生不能把握这部分，会对高等数学失去学习的兴趣。作为高等数学的教师如何教学生学好极限求解这部分内容至关重要。由于高等数学的枯燥乏味，很多学生不喜欢数学这门学科，其中女生占大多数。对此，职业学院的教师引进极限求解兴趣教学法对学生学习极限求解这部分会大有助益。

（一）数学史极限概念

学生往往比较喜欢听故事，数学教师可以在讲解极限教学之前翻阅一些资料，把数学史的极限概念的形成过程编成一个接一个的小故事，在课堂上讲给学生听，在故事中参杂极限求解的概念和极限求解的方法。多讲历史故事，少讲定义，是一种比较吸引学生的教学方法，教师利用学生的这个兴趣点，展开自己的教学，在极限求解这部分中，能帮助学生尽快的掌握这部分知识。这种教学方法，正是验证了我国春秋时期伟大的教育家、儒家学派创始人孔子的“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”的名言。比如：教师可以从战国时期的庄子一直讲到现代极限求解的现实运用。让学生了解历史的同时还了解到极限在日常生活中的实际应用，这样学生就可以在趣味中不知不觉学习数学史极限的概念了。

（二）用极限简洁、严格精美的语言描述

极限的概念一般的人会认为是维尔斯特拉给出的。1717-1783年，法国数学家达朗贝尔明确的提出极限就是微积分的基本概念。到了19世纪，一些数学家根据以前的研究，重建了微积分的基础，如极限、函数的连续性等都被重新构建。但是，这种构建并不完善，因而引来了许多数学家的质疑，后来18i5-1897年，德国数学家维尔特拉斯完善了极限的概念，成功实现极限概念的代数化。有了极限概念后，无穷小量的问题才得到解决。

（三）用极限概念蕴藏的人生哲理启示学生

很多东西学精之后，发现世界的万事万物都是相通的，高等数学极限概念中也蕴含了深刻的人生哲理。从极限的概念可以看出很多哲理，比如：不要小看每天一点点的改变，时长日久，水滴也可以穿石，每天小的积累一直坚持下去会有大的收获。数学教师可以告诉学生极限教大家的哲理就是做任何事情一定要坚持，如果感觉学极限求解比较难，那么每天坚持进步一点点，永不放弃，最终会学会高等数学的极限部分。在哲学上的量变质变规律揭示了事物发展变化形式上具有的特点，从量变开始，质变是量变的终结。这是极限概念所表达的最高境界，也是教师教书育人的最高境界。

三、结束语

极限求解作为高等数学的重要组成部分，先后受到多层人士的重视，作为高等数学的教学，也须对极限求解这部分高度重视。文章先详细阐述了利用连续函数的性质求解高等数学极限、利用有界函数与无穷小的乘积仍然为无穷小来求解极限、利用极限的运算法则和恒等变换来求解极限、金蝉脱壳法四个求解高等数学极限的方法，结尾简单阐述了几个其它方法，最后又从三部分探讨了极限兴趣教学法。

参考文献：

[1]同济大学数学系，高等数学[M].高等教育出版社.2007.

[2]陆子芬，李重华.高等数学解析大全[M].辽宁科学技术出版社，1991.

[3]齐民友.数学的教育的改革要遵循数学科学的发展[J].数学通报，2006，49（9）.

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经过调研了解到，2003年3月教育部颁发的《普通高级中学数学课程标准》出台之后，新出版的高中教材与以前的教材相比，一个重要的特点是新教材进一步加强了高中数学与大学数学的联系，高中教材中安排了大学数学课程里的一些基本概念、基础知识和思维方法。试图从教学内容方面解决高中数学与大学数学的衔接问题。但是，大学数学与高中数学教材内容的衔接上还存在不少问题。这些问题影响了大学数学课程的教学质量，对大学新生尽快适应大学数学学习形成了障碍。高等数学与初等数学教材内容的有效衔接亟待解决。

1 “函数与极限”的衔接

函数，是高中数学的重点内容，高考要求较高，学生掌握也比较牢固。高等数学教材中的这部分内容基本相同，但内涵更丰富，难度也提高了。

（1）函数概念：在原有内容中，增加了几个在高等数学中经常用到的实例，如取整函数、狄利克雷函数、黎曼函数、符号函数等。因此，在学习中，函数概念部分可以简略，重点学习这几个特殊函数即可。

（2）初等函数：反三角函数要求提高，新增加了“双曲函数”和“反双曲函数”等内容。反三角函数的概念在高中已学过，但高中对此内容要求较低，只要求学生会用反三角函数表示“非特殊角”即可。而高等函数中要求较高，此处在学习中应补充有关内容：在复习概念的基础上，要求学生熟悉其图像和性质，以达到灵活应用的目的。新增加的“双曲函数”和“反双曲函数”在高等数学中经常用到，故应特别注意。

（3）函数极限：“数列极限的定义”，高中教材用的是描述性定义，而高等数学重用的是“”定义，此处是学生在高等数学的学习中遇到的第一个比较难理解的概念，因此在教学中应注意加强引导，避免影响函数极限后面内容的学习。新增内容“收敛数列的性质”虽是新增内容，但比较容易理解和掌握，教学正常安排即可。“极限四则运算”处增加了“两个重要极限”，要加强有关内容的学习。

2 “导数与微分” 的衔接

高中新教材中的一元函数微积分的部分内容，是根据高等数学内容学习需要所添加，目的是加强高中数学与高等数学的联系，让中学生初步了解微积分的思想。

（1）导数的定义：高中数学和高等数学教材中，这一内容是相同的，不同的是学习要求。高中数学要求：了解导数概念的某些实际背景（例如瞬时速度，加速度，光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的概念和导数的几何意义；理解导函数的概念。也就是说，尽管极限与导数在高中已经学过，但主要是介绍概念和求法，对概念的深入理解不作要求。到了大学，概念上似懂非懂、不会灵活运用，成了夹生饭。但高等数学要求学生掌握并熟练应用，这是高等数学的一个重要内容，在此处应用举例增加了利用“两个重要极限”解题的例题，在教学中应给与足够的重视。

（2）导数的运算：高中新课标教材要求较低：根据导数的定义会求简单函数的导数；能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，会求简单的复合函数导数。重点考察利用导数的几何意义分析问题、解决问题的综合能力。

高等数学教学大纲对这部分内容要求：掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法；掌握初等函数的一、二阶导数的求法，会求分段函数、隐函数、参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数；了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数；了解微分的概念与四则运算。

建议：高中学过的仅仅是该内容的基础，因此需重新学习已学过的内容，为本节后面更深更难的内容打好基础。

（3）导数的应用：高中新教材中仅是借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系，并通过实际的背景和具体应用事例引导学生经历由函数增长到函数减少的过程，使学生了解函数的单调性，极值与导数的关系，要求结合函数图像，知道函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求不超过三次的多项式函数的最大最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性；通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的应用。

高等数学对这部分内容的处理是：先介绍三个微分中值定理、洛必达法则、泰勒公式，然后严格证明函数的单调性和曲线的凹凸性，给出函数的极值、最值的严格定义，及函数在一点取得极值的必要条件和充分条件。在此基础上，讨论求最大最小值的应用问题，以及用导数描绘函数图形的方法步骤。

建议：由以上分析比较可知，高中数学所涉及的一元微分学虽然内容差别不大，但内容体系框架有很大差异，高等数学知识更系统，逻辑更严谨。学习要求上，对于导数的几何意义，导数的四则运算法则及简单函数的一阶导数，利用导数判断函数单调性和求函数极值都是高中数学课程标准中要求的重点，是重点强化训练的知识点。而在高等数学教学中建议一点而过，教学重点应放在用微分中值定理证明函数单调性的判定定理、函数极值点的第一、二充分条件定理以及曲线的凹凸性、拐点等内容上。

以上主要分析比较了高中数学与高等数学的重复知识点。除此之外，二者之间以及高等数学与后继课程之间还存在着知识“断裂带”。

3 高中数学与高等数学知识的“断裂带”

高考对平面解析几何中的极坐标内容不做要求，鉴于此这部分知识在高中大多是不讲的；而在大学教材中，极坐标知识是作为已知知识直接应用的，如在一元函数微分学的应用中求曲率，以及定积分的应用中求平面图形的面积等。建议在相应的地方补充讲解极坐标知识。

初等数学与高等数学除了在教材内容上的衔接外，在学习思想和方法等方面的衔接也都是值得研究的课题。学生刚开始学习高等数学，不能很好地衔接，教师在教学中要注意放慢速度，帮助学生熟悉高等数学教与学的方法，搞好接轨。首先要正确处理新与旧的关系，在备课时，了解中学有关知识的地位与作用及与高等数学知识内在的密切联系，对教材做恰当的处理；上课时教师要经常注意联旧引新，运用类比，使学生在旧知识的基础上获得新知识。

总之，努力探索搞好初等数学和高等数学学习衔接问题，是学好高等数学的关键之一。

篇（4）

高等数学的很多概念是中学数学的延续，命题者往往以高等数学中的基本概念为切入点，命制一些高中数学教材中涉及到而未给出具体定义的，或是直接给出高等数学中的新概念的试题。学生需阅读题目中所包含的信息，并将高等数学的信息与初等数学知识灵活地结合来解决问题。

例1 （2004年复旦大学）若存在M，使任意 为函数 的定义域），都有 ，则称函数 有界，问函数 在 上是否有界。

解析：否。取 ，则 当 趋向于正无穷时，趋向于正无穷。

评析：本题是以高等数学中的有界函数概念作为背景，来判断函数是否为有界函数的一类试题。从所给的信息知道，判断f(x)是D上的有界函数，是否存在M（M＞0且对任意x∈D），求|f(x)|的值域，要求学生有较强的知识转化能力。此题是通过取特殊值，确定函数 在 上可以趋向于无穷大，从而确定其不是有界的。

例2 (2010年复旦大学)设集合 是实数集 的子集，如果点 满足：对任意 ，都存在 ，使得 ，则称 为集合 的聚点。用 表示整数集，则在下列集合： (1) ； (2)；(3) ；(4)整数集 中，以0为聚点的集合有()

A. (2) (3)B. (1) (4) C. (1)(3)D. (1)(2)(4)

解析：“聚点”这个概念根据定义，应理解为以任意无穷小为半径，以 为圆心的圆内都至少有 的一个元素（不包括 ）。对集合（1） ，若取 ，则不存在 满足 。显然（2）、（3）是以0为聚点。对（4），若令 （不是唯一的取法，也可取 ，只要 均可），则也不存在 使得 ，综上，应选A。

评析：直接定义高等数学中“聚点”的概念，解此类新定义型题时应在仔细阅读分析材料的同时，要认真领会定义的实质，尤其是定义中隐含的或特殊情形，结合所学的数学知识和方法，通过对定义的仔细推敲和概念的全面认识使问题获解。

二、性质型

以高等数学有关性质为背景的自主招生试题经常出现，例如函数图像的凹凸性、拉格

朗日中值定理以及极限思想等。

例3 （2010年华中师范大学）已知当 时，函数 的图像如图1所示。

（1） 设 ，试用 的图像说明

当 时，不等式 ①成立。

（2） 利用（1）中不等式证明：若 ，则

对于任意的正数 ，不等式 ②成立。

（3）当 ，且 时，求 的最小值。

解析：对于（1）要求利用图像解释不等式①成立，这就需要将代数语言转化成几何语言。在 的图像中解析 的几何意义，再利用这些几何意义说明不等式①成立，从而有如下解法：

设 ，由图2可知，当 时，有

即

对于（2）要求用不等式①证明不等式②，此时要求

学生明确不等式①成立的条件，并将不等式②与不等式①

作比较分析，选择适当的代数变形方法。由于不等式①成立的条件是 ，将②式两边 次幂，则不等式②等价于 ③

由于 ，由①易得③。

对于（3），可由不等式①求解，

将 做适当的代数变形即有：

所以 等号当且仅当 时成立。

还可由不等式②求解：

因为 故有 ，从而 等号当且仅当 时成立。

评析：所谓“高等背景，初等解法”，没有现成解法或套路可模仿，要灵活运用所学知识。

三、结论型

在高等数学中很多结论与中学数学比较靠近，这些既是中学数学的重要知识，也是高等数学中的基础知识，其中某些结论只要稍加叙述和改造，就可以以中学数学的形式出现，这样的试题既可以考察学生能力，又有利于高等数学与中学数学的紧密结合。

例4(2010年南开大学)求证：

解析：令

单调递增。

又 ，

则 单调递增。

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[中图分类号]G420[文献标识码]A[文章编号]2095-3437（2014）16-0071-02

一、训诂学与高等理工教学的联系

高等理工教育中的文化教育的重要性已得到了社会的普遍认同和接受，我国著名教育学家杨叔子先生[1-2]多次提出“教育的宗旨是素质教育，教育的方式是文化教育”的观点，尤其强调了民族文化的重要性，提出了“民族文化就是民族的基因”的真知灼见，对于“大学有无民族文化，有无民族精神，即有无真正的中国特色”进行了深入的剖析。

如今，深入挖掘中国传统文化，将中国特色的文化底蕴与现工高等教育教学过程相结合是一项具有深远意义的工作。高等理工教学中，包括大量的名词概念，很多概念艰涩而抽象，名词的定义往往占据较大篇幅，并辅以大量的练习加深对概念的理解和记忆。而训诂学是我国传统文化的瑰宝，是文字学的重要研究内容，将古代的话加以解释，使之明白可晓，谓之训诂[3]，即指疏通解释古代典籍文献和研究古代语言文字的意义。严格的说，只有训释古语古字的用义才能称为“训诂”，而随着时代的发展，训诂学应不断更新观念，运用科学方法，走多向的现代化发展之路[4]，训诂学要从“经学附庸”的旧框子里解放出来，密切联系今天大、中学校的教学[5]，使这一古奥艰深的学问成为服务于现代教学的利器。

基于此，本文引入训诂学的方法论，提出在高等理工教学过程中对名词概念——以数据拟合为例——的思想渊源及与之密切联系的概念进行分析，使之达到望文生义的效果，易于理解和记忆，为相关的研究和教学提供参考。

二、训诂学释义示例

（一）数据“拟合”的训诂学释义

数据拟合是数值分析教学中的重要概念，也是教学难点。为了绕开复杂的理论推证过程，形象、直观的对这一概念的含义进行理解，从概念的字面含义入手，探求其字面背后蕴含的意义。

从训诂学的角度讲，“拟”（繁体为“擬”），为形声字，从手，以声，本义为揣度，猜测，后又有类比，效仿，打算，起草、初步确定等意。其中，拟人是一种文学作品中常见的修辞手法。“合”，会意字，从亼，三面合闭，从口，本义：闭合，合拢。

基于上述，“数值拟合”可以解释为：初步确定或草拟（拟）某一函数，调整此函数的参数，使得该函数与已知数据（实验数据）的分布趋势最大限度的重合（合）。如此，通过对“拟合”这一名词概念的训诂学解释，建立名词概念的内涵与字面含义的联系，达到望文生义的效果，将较大程度的有助于对概念内涵的理解和记忆。

（二）“拟合”训诂释义的联系与拓展

训诂学释义可以简单直观的解释名词概念的内涵，还可以根据释义的表述，推断和界定概念的特征与概念之间的联系，从而进一步有助于对概念的理解和记忆。在本文所给的示例中，通过对“拟合”的训诂学解释的表述，可以归纳和引申出如下两点数据拟合计算的基本特征：

1.拟合函数需根据数据的分布趋势“拟”定，并非完全精确的函数或真实函数本身；

2.所求拟合函数与已知数据最大限度的“合”拢，但不会完全重合。

通过对上述“拟合”概念的训诂学解释，并结合数据拟合计算的基本过程，可知对初步拟定的函数，需要代入已知点，形成方程组，将本属于方程变量的参数替换成已知量，求解各个参数，从而确定出拟合函数的具体形式。求解方程系数的过程，其实质是待定系数法。

利用已知点形成含待定系数的方程或方程组，通过解方程或方程组求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。[6]一般用法是，设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用两个多项式恒等时同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数，从而得到待求的值。[7]可见，待定系数法的基本思想是将本属于方程变量的参数替换成已知量，从而建立成只包含未知系数的方程组，使得未知系数成为方程组的未知数，从而求解方程组得出未知系数。

虽然拟合函数中多项式系数的确定需通过待定系数法，但与传统意义的待定系数法也存在着差别。首先，根据上述拟合的训诂学解释可知拟合需要假定函数形式，与已事先给定函数形式的待定系数法不同。

拟合算法通常设拟合函数由一些简单的“基函数”（例如幂函数，三角函数等等）φ0（x），φ1（x），…，φm（x）的线性组合来表示[8]：

f（x）=c0φ0（x）+c1φ1（x）+…+cmφm（x）

通常取基函数为1，x，x2，x3，…，xm，要确定出系数c0，c1，…，cm，从而确定函数的具体形式，其方法是代入m组实验数据，（x1，y1），（x2，y2），…（xm，ym）组成m个方程的方程组：

求解上述m个方程中的个未知数c1、c2、…、cm即可确定函数形式。

其次，由于函数的基本形式并不是理论上精确的，而是通过c1、c2、…、cm系数值的调整从而尽可能的逼近真实函数（与真实函数“合”拢），加之拟合函数多为非线性多项式，所以方程组的系数c1、c2、…、cm理论上很难求取精确解，其求解精度一般在最小二乘的约束下取得，即使得min[f（xi-yi）]2达到最小。

（三）相关概念的比较

通过上述基于训诂学示例的释义及由其释义引申出的概念特征与联系，可见训诂学能够更加深入的揭示概念的内涵与外延，更容易甄别概念内涵的共性与差别。本文给出的示例中，待定系数法与数据拟合的最基本思想都是利用已知点确定函数中的系数，从而实现函数形式的精确确定，因此存在基本思想的共性。但二者之间也存在差异，为了简明，将上述对二者的特性讨论总结成表1的形式如下：

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中图分类号：G642 文献标识码：A DOI：10.16400/ki.kjdkz.2015.01.021

同济六版《高等数学》是一部经典的工科类本科数学基础课程教学的教材，适合当前我国各类高校工科类本科专业根据不同的教学要求分层次教学的需要。但是，再完美的教材鉴于作者的认知方式也有不尽如人意的地方。概念、符号、解题方法对于高等数学来说是精髓，是灵魂，本文就同济六版《高等数学》的几个问题做了注记，以资借鉴和提高。

1 几个基本概念、符号的说明

对高等数学课而言，学生要想把它学好、学精，离不开对一些基本概念的理解和一些符号的准确掌握，尤其对于初学者。所以，作为教师就要在授课时对学生正确引导，注意区分，多加强调。

1.1 单侧极限、单侧导数及导数的单侧极限的符号

同济六版《高等数学》第一章第三节（P34）给了单侧极限概念，把左、右极限分别记作 （） = （）、 （） = （）；第二章第一节（P83）给了单侧导数概念，把左、右导数分别记作（） = 、（） = ；按照上面这两种记法，不难想象（）、（）分别表示的就应该是函数 （）的导函数 （）在点处的左、右极限，也就说有（） = （）、（） = （）。

这里以为例说明这些符号的不同。 （）、（）、（）分别代表的就是函数 （）在处的右极限、右导数及导数的右极限，其中（）还蕴含函数 （）在的右邻域（， + ）内每一点可导。虽然其符号极其相似，但这三个是完全不同的概念，不能混为一谈，尤其要引导学生正确书写和理解不同符号的含义，特别是对于后两者，很多高等数学的初学者在解题的时候误认为（） = （） = （），求分段函数在其分支界点处的导数时，用这种方法可能会导致计算结果的错误。比如下面这一问题，设，则（0）= = = 0，当≠0时，（） = 2，而（2）不存在，就是（）没有意义，所以说（）与 （）之间一般不存在相互关系，不要错误利用来解题。

同济六版《高等数学》第二章第一节（P87）给了这样一道习题：

设函数，为了使函数 （）在 = 1处连续且可导，、应取什么值？

常规的解法应该是： （）在 = 1处连续，有 （） = （），即1 = ； （）在 = 1处可导有 （1） = （1），即 = = ，从而 = 2， = 。

值得一提的是，很多学生在做作业的时候关于 （）在 = 1处的可导性条件是这么用的：当≤1时， （） = ，当>1时， （） = ，由条件知 （） = （），而 （） = （） = 2， （） = = ，从而 = 2， = 。很多老师在批改作业的时候就认为学生的这种做法是错误的，事实上王金金，任春丽在文献[3]中已经证明：设函数 （）在[， + ]上连续，在（， + ）内可导，且 （） = 存在，则函数 （）在点处的右导数（）存在，且有（） = （） = （）。

所以，尽管（）与 （）是不同的概念，但是在一定条件下它们之间有联系，既要引导学生正确区别，同时不要不假思索地给学生的作业判错，要引以为戒。

1.2 函数微分学的一些符号

同济六版《高等数学》第二章第三节（P99）给了高阶导数的概念，以二阶导数为例：

一般的，函数 = （）的导数 = （）仍然是的函数。我们把 = （）的导数叫做函数 = （）的二阶导数，记作或，即 = 或 = （）。

其中符号 = = ；表示的二阶微分，即是对微分两次（ = 0）；表示对微分一次，即 = 。三者表示的是不同的含义，不能混淆，尤其是 = 与≠。比如像有的教材上给出如下的习题：

设 = ，求，，，。

像上述例题中的表达式，就不准确，误认为 = 与 = 。

1.3 最值与极值的定义

同济六版《高等数学》第一章第十节（P70）给了函数最值的概念：

对于在区间上有定义的函数 （），如果有，使得对于任一都有 （）≤ （）（（ （）≥ （）），则称 （）是函数 （）在区间上的最大值（最小值）。

第三章第五节（P154）给出了函数极值的概念：

设函数 （）在点的某邻域（）内有定义，如果对于去心邻域内的任一，有 （）< （）（或 （）> （）），那么就称 （）是函数 （）的一个极大值（或极小值）。

上述两个概念是有很大不同的。首先，最值是定义在函数有意义的某个区间上，是一个全局性的概念，而极值是定义在函数有意义的某点的某邻域范围内，是一个局部性的概念；其次，最值的定义中“对于任一都有 （）≤ （）（ （）≥ （））”，可以取， （）也可以等于 （），而极值的定义中“对于去心邻域内的任一，有 （）< （）（或 （）> （））”，≠， （）也是严格大于或者小于 （）；比如定义在区间[0，2]的常数函数 = 1，在区间[0，2]上能取到最值，区间[0，2]上的每个点都是最值点，但是此函数在区间[0，2]上取不到极值；第三，极值一定是局部的最值，最值却不一定是极值，极值只能在区间内部取到，而最值可以在区间端点取到。

2 函数的极限的讲解方法

从数列极限到函数极限，同济六版《高等数学》是先介绍自变量趋于有限值时函数的极限，而后介绍自变量趋于无穷大时函数的极限。为了增强对比学习的效果，比照 = 0让学生讨论，从数列极限过渡到时函数极限，接着引出、时函数极限的概念，比如可以从 （） = 的图像出发，启发学生类似时函数极限讨论时函数极限，以具体实例引出单侧极限的概念，从而实现从数列极限到函数极限的自然过渡。

3 常系数非齐次线性微分方程求特解

同济六版《高等数学》第七章第八节（P341）给出了二阶常系数非齐次线性微分方程 + + = （），当 （） = 时不用积分就可求出方程特解的待定系数法。

设 = （），带入方程得（） + （2 + ）（） + （ + + ）（） = 。当是特征方程 + + = 0的单根，即 + + = 0，但2 + ≠0，此时（）必须是次多项式，教材上说“可令（） = （）”。很明显，（）与（）是不同的，二者相差一个常数，不影响最终的结果吗？事实上，当是特征方程 + + = 0的单根时，在（） + （2 + ）（） + （ + + ）（） = 中 + + = 0，方程左端最后一项（ + + ）（）不起作用，同时（）比（）多出来的那个常数在求导的过程中不影响导数的结果，也就是说令（） = （）或者令（） = （）都能满足方程（） + （2 + ）（） + （ + + ）（） = ，而且令（） = （）在待定系数时还少求解一个系数，何乐而不为？当是特征方程 + + = 0的重根时，可令（） = （），是一样的道理。这一点作为教师必须得清楚。

4 高斯公式的应用中一道例题的解法

同济六版《高等数学》第十一章第六节（P231）例1：

利用高斯公式计算曲面积分（） + （），其中为柱面 + = 1及平面 = 0， = 3所围成的空间闭区域 的整个边界曲面的外侧（如图1）。

教材上利用高斯公式把曲面积分（） + （）转化成了（），接下来的计算完全可以发散开来让学生去想怎么求，因为三重积分的计算他们已经学过并且很熟悉。按照惯常的思维，最直接的解法是把上面的三重积分化成直角坐标下的三次积分，不过不难发现积分区域 在坐标平面上的投影是圆域，所以也可以按照书上把其化成柱面坐标下的三次积分（），同时这个三重积分的计算还可以进一步延伸利用对称性和截面法转化为 = = 。

数学被誉为锻炼思维的体操和人类智慧之冠上最明亮的宝石，高等数学更是很多理工科学科进一步学习的基础，所以在备课的时候做充分的准备，而授课时尽可能以一种比较易于为学生接受的思维和方式来展开是很有必要的。同济六版《高等数学》虽然很经典，但是在一些细节处理上还是可以改进的，其中一些没有点明，被作者略去的内容还是需要教师在授课的时候讲到的，最起码是自己备课的时候应该用心想过的。当然，仁者见仁智者见智，毕竟从学生的实际出发、切合不同专业的需要才是最根本的。

参考文献

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《复变函数与积分变换》课程是大学本科理工科类专业的一门基础课。复变函数论主要是在研究流体力学、电力学、空气动力学、热力学以及理论物理学中发展起来的，为解决这些学科的一些实际问题起了相当大的作用。复变函数与积分变换理论和数学的其他分支也有密切联系。复变函数是高等数学的拓展和延伸，其中的保形映射在偏微分方程中有着重要的应用；积分变换中的傅立叶变换在微分方程、积分方程、概率与数理统计论、泛函分析学以及数论等学科中都是重要的工具。即使是最简单的函数，比如多项式函数、对数函数、指数函数、三角函数等，也只有在复变函数中才能体现其本质。另外，作为一种特别有用的工具，复变函数当中的留数理论可以用来解决很多高等数学中难以解决的问题。因此，复变函数与积分变换以它的完美的理论与精湛的技巧成为大学数学的一个重要组成部分。

虽然《复变函数与积分变换》这门课程有着重要的作用，不过大部分高校对此课程设置的课时都比较少，基本上都是三十二学时或者四十八学时，相对于《高等数学》来说，这些课时是非常有限的。在有限的时间内，如何能让学生充分利用每周的少量课时，理解和掌握这门课程的精髓，并为以后的各门专业课打下坚实的基础，这一点对于每一位授课老师以及学生来说都是极其重要的。以下根据我任教十几年来对该门课程的理解，简单谈谈我对复变函数与积分变换教学的几点看法。

1 总结同一概念和性质在复变函数和高等数学中的相似与不同，加强理解和记忆

《复变函数与积分变换》这门课程的内容主要有两部分，前半部分是复变函数，后半部分是积分变换。其中复变函数以理论为主，积分变换以应用为主。复变函数是以高等数学为基础，同时也是高等数学中实数域向复数域的扩展，因此复变函数中的大部分概念都是和高等数学的概念类似，性质也基本上都是相同的。其中第一章复变函数的概念中，区域的概念，复变函数的概念，复变函数的极限的概念，复变函数的连续性以及闭区间上连续函数的性质等和实数域中相似；第三章复变函数的积分中，积分的概念和实数域的定积分，重积分的概念一致，都是通过对所求变量按照“分割，近似替代，求和，取极限”这四个过程来定义的；第四章级数中，复变函数的幂级数，泰勒级数也与高等数学中函数的级数，泰勒级数的概念一致。在讲授这些内容的时候，任课老师可以先和同学们一起简单的回忆《高等数学》中的概念和性质，与复变函数结论有区别的地方可以重点说明，接着讲解新内容，相似点可以直接类比，对于不同的地方需要重点强调，而且可以启发学生去思考不同之处的根源。复变函数中的正弦函数和余弦函数是无界函数，指数函数是周期函数，对数函数是多值函数等，这些内容如果任课教师在讲台上只是一味的照本宣科，学生会觉得这是内容的重复，听起课来肯定兴趣不高；如果老师能充分调动学生的积极性，让他们自己去带着问题思考，带着问题听课，让他们自己找到相似点和区别，不仅师生之间可以有良好的互动性，学生也会对自己总结的这些知识加深印象。

2 把握侧重点，强调课程的特色

《复变函数与积分变换》这门课的课时一般不多，但是它包含的内容却很多，因此要想在比较少的时间内将所有的内容都详细的介绍，那肯定是不可能的。授课老师在上课之前应该掌握该课程的侧重点，合理的安排好每个章节的授课时间。在第一章复变函数中，复数的辐角和复数的模，复数的三角表示和几何表示以及复数的运算是以后各章内容的基础，这部分内容只有讲透，学生才能在以后的学习中有个扎实的基础。复数域中的无穷远点是唯一的一个点，很多课时少的学校将这部分内容作为选讲内容，但我个人认为这是个基础知识，无穷远点可以在很多时候简化计算量，是个很有用的工具，而且在积分变换的内容中也会涉及到这方面的知识，这个知识点需要强调一下；第二章解析函数中，解析函数以及解析函数的充要条件是重点，也是研究复变函数在孤立奇点处留数的前提；第三章复变函数的积分，这部分内容可以简单介绍原理，为以后介绍洛朗级数和留数做前提；至于用柯西积分公式，柯西古萨定理和高阶导数公式去计算封闭曲线的积分可以简单让学生理解；第四章级数，洛朗级数是重点，任课老师要让学生理解洛朗级数和泰勒级数的联系和区别，并学会如何将同一复变函数在不同点，不同的圆环域内，展开成洛朗级数；第五章留数是个新的概念，也是复变函数的核心，对学生来说是个全新的知识，任课老师在讲授这部分内容时可以适当放慢速度，利用解析函数和洛朗级数的相关理论让学生理解核心概念-留数的定义，掌握利用留数和洛朗级数去解决积分问题的方法。留数是复变函数理论当中一个重要知识点，留数理论也可以用来解决一些高等数学中很难求解的积分问题。这样学生可以感受到复变函数除了是实数域中理论的拓展，还可以反过来解决实数域中的很多难题。

3 积分变换是一个工具，侧重于应用

积分变换中主要有两个积分变换-傅立叶变换和拉普拉斯变换。这两个变换是相互联系又有区别。傅立叶变换是由周期函数的傅立叶级数推广得到的，拉普拉斯变换是在傅立叶变换的基础上优化得来的，这一部分的概念可以简单讲解。积分变换部分关键是要让学生学会利用这两个工具解决一些实际问题，比如在现代信号处理的应用等等；也可以增加一些时尚的和生活实际的应用问题，提高学生的学习兴趣。当然这也对授课老师提出了较高的要求，要求教师能够对积分变换的可能的应用领域以及在其他实际中的用途等多方面的知识都有了解，以方便在教学中随时可以调动学生的学习积极性。

4 结合多媒体，缩短板书时间；缩短上课的周期，提高效率

复变函数中有部分概念需要很强的空间想象能力，例如基本初等函数的实部与虚部、复数的模与辐角、复球面的概念，函数在孤立奇点处的留数等；积分变换部分，工程上经常出现的单位脉冲函数，这些对于刚刚接触到这门课程的学生来说，都是是非常抽象的。如果可以通过多媒体软件展示这些概念，就会直观的多，学生也容易理解。对工科的大部分学生来说，复变函数与积分变换只是一个解决问题的工具，很多结论没有必要要求学生去掌握具体原因，只需要学会并熟练运用结论就可以了。比如第三章的柯西-古萨定理，复合闭路定理，柯西积分公式，高阶导数公式等这些结论，学生只要能会运用就可以了。但是这几个结论相对来说都很长，如果授课老师板书到黑板上需要浪费很多时间，如果只是照着课本念一下，学生又没有什么印象。利用电子ppt，在每次需要用的时候可以直接拿出来，而且可以针对每个结论，对应的举例说明，那样就可以节省不少的时间。

最后对于小学时的课程，希望能够缩短上课的周期，变成前半学期或者后半学期教学。这一点部分高校已经开始实行，一周一次的课程教学效果远远有一周两三次的效果好。

当然授课老师在课堂上为了增加学生的学习兴趣，可以适当渗透一些现代的数学思想，为学生进一步学习现代数学知识提供一些接口；联系其他相关课程的知识和工程实际应用，以加强学生的综合应用能力。比如利用留数计算积分是复变函数理论中一个重要知识点，课堂上除了详细介绍这些之外也可以介绍一下留数计算的物理应用，如在数字滤波器性能分析和形状设计中的应用等，这对于部分同学来说也是激起他们学习兴趣的一些理由。

【参考文献】

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随着高等职业教育的发展，高等数学教学内容的稳定性是相对的，它也在随着科学、技术的进步而发展，随着教学体系与观念的更新而发展，因此高等数学的教学也一定要改革和发展.高职教育主要培养高等技术应用性人才，突出人才培养对当前社会需求的针对性，是我们的毕业生在人才市场上竞争的特色和优势所在；但由于社会需求具有多变性，要求学生具备一定的适应社会需求变化的可持续发展的能力，这就要求我们高等数学课的教学也要在原来的基础上不断更新和发展.

从高职以高等技术应用性人才为培养目标出发，高等数学教学要以应用为目的，以必须够用为度，把培养学生应用高等数学解决实际问题的能力与素养放在首位.为此，我们就需要对我国传统的高等数学教学模式进行适当的取舍与更新.

我国传统的高等数学教学重视演绎及推理，重视定理的严格论证，这对培养学生的数学素养确有好处.但从应用的角度讲，需要的往往不是论证的过程，而是它的结论.因此我们主张对于高职而言，在高等数学教学中，应淡化严格的数学论证，强化几何说明，重视直观、形象的理解，把学生从烦琐的数学推导和不具一般性的数学技巧中解脱出来.这样做符合“必须够用为度”.我仅对经管类的高等数学教学的思考与大家商榷.

一、在教材的取舍上，尽量保持高等数学的系统性

系统性的保持可以让学生对高等数学这门课程的思想和主题有个概念，这对如何应用高等数学这个工具解决实际问题取得主动性.我们的学生在碰到实际问题时，如何找到有效的方法解决问题很茫然，中学很少有要求解这类题型.所以，我们在教学中经常有意识引导学生，让学生在潜移默化中学会选择有效的方法解决实际问题的能力.在介绍函数时，重点介绍分段函数的应用，在生活中，我们都一直在使用分段函数，个人所得税的缴纳、话费套餐、出租汽车收费、产品销售等等问题，都是用分段函数来描述的；在上第二重要极限的内容时，我们会讨论复利和连续复利的问题，还可以讨论理财产品的收益如何计算、基金的收益等等问题；在讲解导数的几何意义时，学生不仅要理解函数在某个点的导数是曲线在该点处切线的斜率，还要了解其经济意义，成本函数对产量的导数是边际成本，它的经济含义是多生产一个单位的产品所增加的成本；收入函数的导数是边际收入，它的经济含义是多销售一件产品所增加的收入，利润函数的导数是边际利润，它的经济含义是多生产一个单位的产品所增加的利润.在讲解定积分的几何意义时，使同学们了解到平面的面积通过积分一定可以求得到.同学们以前只晓得圆的面积是πr2，但是，不知道是怎么来的，∫r-rr2-x2dx=12πr2.

二、在概念引入时，先交代其背景知识，使学生在接受新知识的时候感觉不会太抽象数学的概念是从实际问题中抽象出来的，也就是说，数学是站在一定的高度的概括，我们要活学活用，把抽象出来的精华应用于不断产生的问题中，解决问题.例如：极限的概念的引入，我们先介绍数列的极限，求圆的面积，圆的面积有公式可以用，圆的面积是正多边形面积的极限值.这样一来，极限的概念就容易接受啦.例如：导数的概念，求函数的变化率的极限，可以先介绍求瞬时速度，求曲线在某个点的切线的斜率.例如：定积分的概念的引入，求曲边梯形的面积，然后所有平面图形的面积都可以求.了解了微元法的思想，可以解决许多问题.例如：已知总产量的变化率求总产量，由边际成本求成本函数，由边际利润求利润函数，由边际收益求收益函数，资本现值与投资问题等等.用微元法的思想还可以求旋转体的体积，还可以求平行截面面积为已知的立体的体积等等.

三、在例题的选择上，由易到难，尽量与实际问题接近

例如：函数的表示法有解析法、表格法和图像法.解析法学生接触了很多，表格法好像用得就少，实质上，在实际中，表格法我们应用非常广泛，只是许多学生没想到它就是函数.其实，数学来源于生活，广泛应用于生活，我们不知不觉一直在应用.图像法也是.工程的进度、产量、股票等等大量应用图像来表示.例如：导数的意义，几何学上是求曲线在某点处的切线的斜率；在经济学中，成本函数对产量的导数是边际成本，利润函数对产量的导数是边际利润，收益函数对产量的导数是边际收益等等.例如：高阶导数的应用，我们可以描绘函数的图像，可以很快求出函数的极值，可以应用于近似计算.

四、我们在教学中介绍了Mathematica工具软件

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数列、函数极限的概念是高等数学中最基本、最重要的概念之一.导数、微分、不定积分等基本概念都建立在这一概念的基础上.函数极限的概念是学习高等数学首先遇到的较难理解的概念，正确理解、掌握函数极限的一系列概念是学好高等数学的关键.新疆、籍学生，受母语影响较大，因此对极限概念的理解难度也较大.认真研究、深入探讨函数极限概念的教学良策是确保高等数学教学质量的前提.本文在分析教学难点的基础上，从引导学生正确理解函数极限定义入手，给出突破难点的一些教学方法.

1.数列极限概念的教学难点

（1）给出一批有极限的数列，考察这些具体的数列的变化趋势，分析归纳出它们的共同本质――通项无限接近某个常数A（尽管方式不同），再给出一些没有极限的发散数列，它们不具有上述特性，即不能与任一实数无限接近，从中得出用普通语言叙述的收敛概念:给定数列{u}，如果当n充分大时，u无限接近某个常数A，则称A为数列{u}的极限，称{u}为收敛数列，否则，称{u}为发散数列.

（2）启发学生考虑如何用数学语言精确地描述“充分大”，“接近”，“无限接近”等变化过程，尤其是“无限接近”这一动态变化的数学描述，可充分利用数轴、绝对值，距离等工具，在此基础上提出用“ε-N极限”语方来精确描述极限过程和收敛概念:对于任意给定的正数ε（不管它多么小），总存在一个正整数N，当n＞N时，恒有|u-A|＜ε，则常数A叫做数列{u}当n趋向于无穷时的极限.或说数列收敛于A.记作：u=A，或uA（n∞）.此时，称数列{u}为收敛数列，否则称{u}为发散数列.

在这一阶段中，主要是通过记忆和模仿以代偿思维能力的不足，达到对极限概念的初步认识.

2.函数极限概念的教学难点

（1）基本概念.

定义1：如果对于?坌ε＞0，总?埚M＞0，当x＞M时，有|f（x）-A|＜ε，

则常数A为函数f（x）当x+∞的极限.记作：f（x）=A.

定义2：如果对于?坌ε＞0，总?埚M＞0，当x＜-M时，有|f（x）-A|＜ε，

则常数A为函数f（x）当x-∞的极限.记作：f（x）=A.

定义3：如果对于?坌ε＞0，总总?埚N＞0，当|x|＞N时，有|f（x）-A|＜ε，

则常数A为函数f（x）当x∞的极限.记作：f（x）=A.

定义4：函数f（x）在x点附近（但可能除掉x点本身）有定义，若对于?坌ε＞0，一定存在δ＞0，当0＜|x-x|＜δ（x∈U（x，δ））时，有|f（x）-A|＜ε，则称A是函数f（x）当xx的极限，

记作：f（x）=A.

定义5：函数f（x）在［x，x+δ）（也有可能要除掉x点本身）有定义，若对于?坌ε＞0，一定存在δ＞0，当0＜x-x＜δ时，有|f（x）-A|＜ε，则称A是函数f（x）当xx的右极限，

记作：f（x）=A或f（x+0）=A（当xx）或f（x）A（当xx）.

定义6：函数f（x）在（x-δ，x］（也有可能要除掉点x本身）有定义，若对于?坌ε＞0，一定存在δ＞0，当-δ＜x-x＜0时，有|f（x）-A|＜ε，则称A是函数f（x）当xx的左极限，

记作：f（x）=A或f（x-0）=A（当xx）或f（x）A（当xx）.

f（x）=A的几何意义如下:

对于?坌ε＞0，作两条直线y=A+ε，y=A-ε，总存在x的一个δ邻域（除x外），在此邻域内函数y=f（x）的图形落在这两条直线之间.

f（x）=A的几何意义如下：

对于?坌ε＞0，作两条直线y=A，y=A+ε，总存在x的一个δ邻域（x，x+δ）（除x外），在此邻域内函数y=f（x）的图形落在这两条直线之间.

f（x）=A的几何意义如下:

对于?坌ε＞0，作两条直线y=A-ε，y=A，总存在x的一个δ邻域（x-δ，x）（除x外），在此邻域内函数y=f（x）的图形落在这两条直线之间.

f（x）=A的几何意义如下：

对于?坌ε＞0，作两条直线y=A+ε，y=A-ε，总存在一个区间［-M，M］，在此区间内函数y=f（x）的图形落在这两条直线之间.

（2）在极限概念教学过程中，应把握从具体到一般原则.

极限定义难以理解、掌握的原因在于:定义中涉及“任意”、“给定”、“无限接近”、“存在”、“趋向”等比较抽象的术语.定义的叙述繁长、文字符号很多，如ε、δ、M等，且它们之间的数量关系错综复杂，学生难以掌握.对ε的作用和任意性、给定性，以及ε和N、M、δ间的依赖性，学生不易搞清，对“ε-δ”、“ε-M”极限语言容易混淆.

抽象性思维能力是分析问题和解决问题能力中最重要的部分，是数学本身“高度抽象性与应用广泛性”辩证统一的必然结果.抽象思维能力的培养是发展创造性思维的前提.由具体到抽象是人们认识事物比较普遍的思维过程，而具体如何飞跃到抽象呢?一般步骤是，提出问题，诱发思考，让学生逐步领会把实际问题抽象为数学问题的思路和方法，引导学生把问题的特征、本质抽象出来，加以综合概括.

3.克服教学难点的方法

为了克服以上教学难点，我们可从以下几点入手.

（1）正确运用“ε-N”“ε-X”“ε-δ”三种语言.对于这三种语言，有的同学提出什么时候应用哪种语言搞不清，其实搞明白以下两个问题，这个难点就会迎刃而解.

①“ε-N”语言用于数列极限，求解过程是对于任意给定的ε，通过不等式|μn-A|＜ε找到正整数N;而“ε-X”或“ε-δ”适用于函数极限，对于任意给定的ε＞0，通过不等式|f（x）-A|＜ε找到正数δ或X.

②“ε-X”和“ε-δ”语言的区别在于自变量x的变化趋势不同.前者适用于x∞时的函数极限情形，后者适用于xx时的函数极限情形.

（2）讲清极限定义中“ε”的任意性、给定性及其对N、X、δ的依赖性，从而刻画ε的作用，在极限定义中有“如果对于任意给定的正数ε”这一句话，很多学生不理解，为什么ε是任意的而同时又是给定的呢?因为只有ε是任意的，不等式|f（x）-A|＜ε才能刻画出函数f（x）与常数A无限接近的意思;而ε又是给定的，如果ε不是给定的就无法确定δ（或N或X）的存在性.其实，给定一个ε就存在一个δ（或N或X），它们是对应的关系.δ（或N或X）是依赖ε而存在的，它们之间具有依赖性.另外，要交代清楚“ε”是任意小的正数，即定义中的“无论ε多么小”，意思就是:ε是“要多小就有多小，想多小就多小”的正数.

注重直观教学、启发式教学、渐进式教学及实践教学有机结合的方式.如我们在高等数学中讲授新内容时，一定要用直观，易懂的实例进行解释说明.每一个概念和结论，再从一个概念或结论得到启发，引导学生思考更广而深入的问题，从而对数学概念和结论有深刻的理解（我们称这种教学为抓点）；讲授新内容之前回忆复习上节的主要内容，课堂结束前，总结该节的内容，并预示下一节的内容；一段内容结束（如一章内容）之后，整体上再总结归纳这一大段中的主要内容，突出重点，加强影响，将前后内容连贯起来.这种往复式（循序渐进式）的有效总结和归纳对学生培养良好学习习惯是非常重要的（我们称这一过程为提串），这一过程应贯穿教学整个过程.理论总结的同时针对每一个概念、结论和针对作业中存在的问题，做大量的具体题目的讲解，及时解决问题和给予提醒.再加强学生的作业质量，要求学生独立，足量完成.这部分工作主要在习题课上和作业中完成.一些主要概念和方法可以通过做实验的方式进行：整个高等数学课结束之后，再进行一次总复习，这部分主要用课堂教学，完成综合性比较好的数学实验题目的结合进行（这两部分是实践教学）.这样学生不仅能巩固已学过的高等数学内容，提高高等数学水平，还能锻炼科学思维方式，提高用数学和计算机解决实际问题的能力，养成良好的学习方法等，进行有益的实践锻炼。教学经验显示，以上谈到的逐步、多层次重叠式（循序渐进式）教学和学习（我们称抓点提串循序渐进再实践的学习方法），对增强预科高等数学教学效果有很好的作用，成效显著.

总之，函数极限概念是所有学习高等数学的学生接触的第一个最基本的概念，也是高等数学中一个较难理解的概念.在极限概念的教学过程中，应注意由直观到抽象，由特殊到一般，由旧引新，进而有效地分散难点，以便突破难点.

参考文献：

［1］华东师范大学数学系.数学分析［M］.北京:高等教育出版社，1991.

［2］李英.浅析数学教育中应培养的数学概念［J］.数学通报，1988，（1）.

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摘要:为了让大一新生尽快适应高等数学的学习,本人认为加强高等数学中的概念教学是一个起关键作用的环节。

 

对于刚迈进大学的理工科的学生来说，高等数学是首当其冲的一门重要的基础课。很多新生一时还难以适应，常常产生各种各样的问题。如何帮助学生度过这一“非常时期”，使之尽快适应大学的学习生活学好高等数学这门主要的基础课？笔者认为，加强高等数学中的概念教学是一个起关键作用的环节。

一、正确理解数学概念是学好高等数学的前提

无论是初等数学还是高等数学总是从繁杂纷纭的客观世界中抽象出一系列的数学概念，然后以这些概念为基础，进行合理的判断和推理，引出一些定理和公式，形成一个理论体系，然后把“这些符合论理的结论”应用到新的应用领域或实际问题中，因此可以说，概念是数学的基础，概念教学应成为高等数学教学的核心与重点，它是教师教好与学生学好高等数学的关键。只有当教师深刻全面地理解了概念的内涵与本质之后，才能透彻地讲解给出来，学生才能很好的接受，才能以此为基础进行推理、判断、分析等思维活动，理解数学理论体系的来龙去脉，掌握运算的技能技巧。从而获得应用数学方法去分析问题与解决问题的能力。

在初等数学中，大多数概念都比教具体直观，学生容易接受，再加上课时较多，进度较慢，教师由浅入深，亦步亦趋，使一般学生都不会对接受新概念感到很困难。即使有一些学生不重视概念学习只注意计算方法与技巧，但在长期与大量的练习中，由于反复接触，潜移默化，不知不觉地对概念由知之不多过度到知之较多，逐步掌握了概念。但在学习高等数学时，情况发生了很大的改变，高等数学是研究变量的数学，常常需要用运动的观点来讨论，因此更显得抽象、复杂。例如极限、导数、积分等概念都是初学者所不能透彻理解的，加上大学里的教学进度快，反复练习的机会少。难免会使一些新生感到不适应，概念掌握不好，以致于以概念为基础的理论及计算方法当然也就很难学好。因此能不能用有限的时间加强概念教学就成为提高教学质量的关键。

二、注重概念的引入是学习概念的先导

众所周知，数学概念都是由客观实际或客观规律抽象出来的。很多概念都可以在实际中找到它的“原型”。例如：从曲线切线的斜率、变速直线运动的速度的计算等问题抽象出导数概念。从求曲边梯形的面积、变速直线运动的路程等问题抽象出定积分的概念，这种方法符合学生的认识规律，学生只有透彻地理解解决这些问题的思路，才能真正地理解概念的实质及价值。因此，教师不能认为花费一定时间讲解这些背景是没有价值的、是在浪费有限的时间，因而便三言两语草草了事或者根本不讲背景，直接拿出定义，接着便是计算，一个例题接着一个例题，这是不妥当的。再者从客观实例引进概念，也为以后应用这些概念及有关理论去解决应用问题作了一定的准备。

值得注意的是并非每一个概念都要求由实例引入，教师可灵活掌握。对于一些较易理解的概念也可以从已知的概念引出新的概念。例如：无穷小量可由极限概念中当极限值为零时来得到，连续概念也可由极限概念中极限值等于函数值来得到。而原函数的概念自然而然的可由导数的逆运算引出。这些概念对于学生来说都是不难接受的。

总之，不论是由实例抽象出概念还是由旧知识直接引出新概念，教师的主要目的应该放在使学生理解概念的形成，掌握概念的内涵上，所以所用的例子都不宜太复杂或者专业性太强，否则会造成喧宾夺主，反而影响概念的形成与引出。

三、数学概念的定义是概念属性的体现

高等数学中的概念的具体内涵通常用定义的形式给出，有的概念还同时规定了所采用的符号。当教师以实际问题或学生的原有知识为基础抽象出概念以后，就应引导学生理解定义所指出概念的本质属性，从正面和反面等不通角度去反复领会，并利用自己的语言正确地叙述概念。

 以导数的定义为例，教师应该使学生层层深入，理解以下各点：

第一、由于函数 在点 处的导数是函数增量 与自变量增量 之比当 时的极限，所以该函数必须在 处及其一个领域内有定义，否则就不可导，比如： 与 在 处就不可导。

第二、函数增量与自变量的增量有不同的表示法。因此导数定义式也有不同的表示法。如： 在 处的导数可以分别表示为 与 等。当极限不存在时此函数在该点不可导。

第三、定义同时给出了求导数的三个步骤：①求函数增量 ②求函数增量与自变量增量之比 ③求极限 ，告诉学生按照这三步就可以求出一些简单函数的导数。

    高等数学中有不少概念的定义都明确指出了计算的方法与步骤，除上述导数外，连续概念、定积分概念、级数收敛性概念等都是如此。教师在进行这类概念教学时应该花费一些力气按定义指明的方法与步骤进行有关的计算，以加强学生对这一概念的理解。同时教师也应向学生指出按定义直接进行计算一般是很困难的，因此有必要研究其性质及别的计算法则，这样做就可以唤起学生强烈的求知欲望。

    当然高等数学中并非所有的概念都是如此，有些概念的定义只是明确了概念的内涵，而并没有给出计算方法与步骤，如极限的精确定义、原函数与不定积分等等。教师在这类概念的教学中，为了加深学生的理解，一般都要按定义作一些验证工作，如：证明 ，证明 和 都是 的原函数。

学生在学习高等数学时往往有一个不良习惯，轻概念重计算，以为学习高等数学无非就是要会计算、会做题。常常有这样的事情发生，有的学生学完了高等数学也知道 却说不清楚符号 所表示的确切含义，更有甚者学完了高等数学却不知道微商是什么。因此从始至终抓紧概念的教学是很重要的，这不仅要熟记定义的条文、定理的条件和结论，更重要的是透彻地掌握其本质。

四、在概念系统中学习概念

教师经常会遇到这样的情况，有的学生学习一个概念时，以为明白了定义的本质，但是若把这个概念与其它有关概念放在一起时，就糊涂了，比如极限、连续、可导、可微之间的关系，教师都会给学生讲清楚，但学生一碰到下面的问题就举棋不定，不知道从何写起:

设    

1)             取何值时， 在 处连续？

2)             取何值时， 在 处可导？

3)             取何值时， 的导数在 处连续？

为什么会出现这种情况呢？一方面是学生还没有真正领会概念的本质，有的学生当时弄清楚了但缺乏巩固措施，不久就忘了。另一方面是学生习惯孤立地学习概念，不善于把相关概念相比教，找出它们之间的联系与区别。因此，在进行概念思维时就会出现“断线”现象，无从下笔，或者写不清楚。要解决这个问题，教师必须在概念系统中教会概念，学生必须在概念系统中学会概念。数学是由概念与命题等内容按一定的逻辑关系组成的知识体系。概念与概念之间总有一定的内在联系，特别是一些相近的概念，其联系更为突出，学生最易混淆。因此，教师在进行概念教学时要不时的将这些概念与前面所学过的相近概念相比教，找出它们的联系与区别，前面说的极限、连续、导数、可微是如此，在此之后的四个中值定理更是如此。

总之，把概念放在概念系统中教学是教师应当把握的教学规律。教师每讲一个新概念，首先必须对这一概念的地位、作用以及与其它概念的联系做到心中有数，使学生对已学过的概念能做到融会贯通，同时，又为今后要学的新概念埋下“伏”笔。

最后要说明的是，对于工科高等数学中的概念的教学，教师必须掌握分寸。工科数学毕竟不同于数学专业的数学，应该着重于应用，而不宜在纯数学理论推导上花费过多的精力，另外专业之间也应该有所区别，这些都是我们从事工科数学教学工作的教师应该注意的。

篇（11）

    首先是初等函数相关问题分析:

    1.绝对值函数的概念及性质

    绝对值函数是个很广的概念,可分为两大部分,一部分是绝对值施加在X上的,另一部分是绝对值号施加在Y上的,如y=|x| |y|=x 就记住绝对值号在谁上头就把原图像根据哪一个轴做轴对称变换,记住这一点,不管多复杂的解析式都可以照此办理.绝对值函数可以看作初等函数。

    1.1绝对值函数的定义域,值域,单调性

    例如f(x)=a|x|+b是

    定义域:即x的取值集合,为全体实数;

    值域: 不小于b的全体实数

    单调性:当x<0,a>0时,单调减函数;

    > > 增 ;

    < < 增 ;

    < < 减 ;

    1.2绝对值函数图象规律:

    |f(x)|将f(x)在y轴负半轴的图像关于x轴翻折一下即可,在y轴正半轴的图像不变。

    f(|x|)将f(x)在x轴负半轴的图像关于y轴翻折一下即可,在x轴正半轴的图像不变。。

    1.3带绝对值的函数求导,即将函数分段。

    2.取整函数的概念与性质

    2.1取整函数是:设x∈R , 用 [x]或int(x)表示不超过x 的最大整数,并用"{x}"表示x的非负纯小数,则 y= [x] 称为取整函数,也叫高斯函数。任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和,即:x= [x] + {x},其中{x}∈[0,+∞)称为小数部分函数。

    2.2取整函数的性质:a 对任意x∈R,均有x-1<[x]≤x<[x]+1.b对任意x∈R,函数y={x}的值域为[0,1).c 取整函数(高斯函数)是一个不减函数,即对任意x1,x2∈R,若x1≤x2,则[x1]≤[x2].d 若n∈Z,x∈R,则有[x+n]=n+[x],{n+x}={x}.后一式子表明y={x}是一个以1为周期的函数.e若x,y∈R,则[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1.f 若n∈N+,x∈R,则[nx]≥n[x]. g 若n∈N+,x∈R+,则在区间[1,x]内,恰好有[x/n]个整数是n的倍数.h 设p为质数,n∈N+,则p在n!的质因数分解式中的幂次为p(n!)=[n/p]+[n/p^2]+…

    3.导数的概念与性质

    3.1导数,是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时,因变量的增量与自变量的增量之商的极限。。在一个函数存在导数时,称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程,导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。导数另一个定义:当x=x0时,f‘(x0)是一个确定的数。这样,当x变化时,f'(x)便是x的一个函数,我们称他为f(x)的导函数(简称导数)。

    3.2求导数的方法

    (1)求函数y=f(x)在x0处导数的步骤:① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);② 求平均变化率;③ 取极限,得导数.

    (2)几种常见函数的导数公式: ① C'=0(C为常数函数);② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q); ③ (sinx)' = cosx;④ (cosx)' = - sinx;⑤ (e^x)' = e^x;⑥ (a^x)' = a^xlna (ln为自然对数);⑦ (Inx)' = 1/x(ln为自然对数;⑧ (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1).

    补充:上面的公式是不可以代常数进去的,只能代函数,新学导数的人往往忽略这一点,造成歧义,要多加注意。

    (3)导数的四则运算法则: ①(u±v)'=u'±v'; ②(uv)'=u'v+uv'; ③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2.

    (4)复合函数的导数

    复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。

    4.高等函数的概念以及含义问题

    4.1一元微分

    1)一元微分是设函数y = f(x)在x.的邻域内有定义,x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) ?f(x0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)(其中A是不依赖于Δx的常数),而o(Δx0)是比Δx高阶的无穷小,那么称函数f(x)在点x0是可微的,且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分,记作dy,即dy = AΔx。

    通常把自变量x的增量 Δ   x称为自变量的微分,记作dx,即dx = x。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此,导数也叫做微商。 当自变量X改变为X+X时,相应地函数值由f(X)改变为f(X+X),如果存在一个与X无关的常数A,使f(X+X)-f(X)和AX之差是X0关于X

    的高阶无穷小量,则称A·X是f(X)在X的微分,记为dy,并称f(X)在X可微。一元微积分中,可微可导等价。记A·X=dy,则dy=f′(X)dX。例如:d(sinX)=cosXdX。

    2)其几何意义为:设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量,Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时,|Δy-dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小),因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。

    4.2多元微分

    1)多元微分的概念:与一元微分同理,当自变量为多个时,可得出多元微分的定义。

    2)多元微分的运算法则

    dy=f'(x)dx

    d(u+v)=du+dv

    d(u-v)=du-dv

    d(uv)=du·v+dv·u

    d(u/v)=(du·v-dv·u)/v^2

    3)微分表

    d(x^3/3)=x^2dx

    d(-1/x)=1/x^2dx

    d(lnx)=1/xdx

    d(-cosx)=sinxdx

    d(e^(x^2)/2)=xe^(x^2)dx

    高等函数中还有值定理与导数应用、泰勒中值定理、曲率、方程的近似解、不定积分、定积分、平面曲线的弧长、、可降阶的高阶微分方程、二阶常系数非齐次线性微分方程、向量代数与空间解析几何、重积分及曲线积分以及无穷级数等,本文就简单的函数问题做一总结。

    【参考资料】

    1.复变函数论.高等教育出版社,2004,01.