数学中的反证法大全11篇

绪论：写作既是个人情感的抒发，也是对学术真理的探索，欢迎阅读由发表云整理的11篇数学中的反证法范文，希望它们能为您的写作提供参考和启发。

篇（1）

有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前有个名叫王戎的小孩，一天他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动，王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。”这个故事中王戎用了一种特殊的方法，从反面论述了李子为什么不甜，不好吃.在数学里这种方法叫反证法.

反证法不但在实际生活和初等数学中有着广泛的应用，而且在高等数学中也具有特殊作用.数学中的一些重要结论，从最基本的性质、定理，到某些难度较大的世界名题，往往是用反证法证明的.即：提出假设――推出矛盾――肯定结论.

“反证法”虽然是在平面几何教材中出现的，但对数学的其他各部分内容，如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用.下面通过具体的例子来说明其应用。

一、否定性命题

证明：假设AB，CD不平行，即AB，CD交于点P，则过P点有ABEF，且CDEF，与“过直线外一点，有且只有一条直线垂直于已知直线”矛盾.假设错误，则AB∥CD

否定结论导出矛盾是反证法的任务，但何时出现矛盾，出现什么样的矛盾是不能预测的，也没有一个机械的标准，有的甚至是捉摸不定的.一般总是在命题的相关领域里考虑（例如，平面几何问题往往联系到相关的公理、定义、定理等），这正是反证法推理的特点.因此在推理前不必要也不可能事先规定要得出什么样的矛盾.只需正确否定结论，严格遵守推理规则，进行步步有据的推理，矛盾一经出现，证明即告结束.

篇（2）

一、什么是反证法

反证法也称作归谬法，通常人们是这样定义反证法的：“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果。从而证明了结论的否定不成立，间接地肯定了原命题的结论成立。这种方法就叫做反证法。”在使用反证法的时候，通常通过以下步骤：“否定结论推导出矛盾结论成立。”反证法适合一些正面证明比较困难，但是否定则比较浅显的题目，在高中数学中使用得较为广泛，在解决较难的问题的时候，反证法更能体现其优越性。

二、反证法解决的常见题型

反证法虽然简单方便，但是任何方法的使用都有它成立的条件，都有它适用的范围。如果超越了使用的范围就会出现解题错误，解题方法也就不再适用，同样，也就会影响解题的成功率。因此，我们应该学会正确使用反证法来解题。

1.否定性问题

例题1：如果a，b，c是不全相等的实数，且a，b，c成等差数列，求证：，，不成等差数列。

分析：因为题目所证的结论是一个否定性的结论，如果直接证明的话让人有点无从下手，但是采用反证法就显得容易多了。

证明：假设，，成等差数列，则=+=，

由于a，b，c成等差数利，因此2b=a+c①，那么，==，即b=ac②，由①②得出，a=b=c，与a，b，c是不全相等的实数矛盾。故，，不成等差数列。

点评：在数学学习中，如果出现以下几种情况可以考虑使用反证法来解题：第一，题目是用否定形式叙述的；第二，题目选择使用“至多”、“至少”等文字叙述的；第三，题目成立非常明显，而直接证明时所用的理论较少，且不容易说明白的；第四，题目呈现唯一性命题特征；第五，如果题目的论证从正面较难入手证明，可以选择使用反证法。

2.某些存在性命题

例题2：假设设x，y∈（0，1），求证:对于a，b∈R，必存在满足条件的x、y，使|xy-ax-by|≥成立。

分析：本题主要是探索某些存在性问题，可以尝试用反证法。

证明：假设对于一切x，y∈〔0，1〕使|xy-ax-by|＜恒成立，令x=0，y=1，则|b|＜令x=1，y=0，得|a|＜令x=y=1，得:|1-a-b|＜，但|1-a-b|≥1-|a|-|b|＞1--=产生矛盾，故欲证结论正确。

例题点评：在证明此类存在性命题的时候，使用反证法只要其中一个结论，就可以论证题目当中的结论的合理性，比直接证明省掉了一个证明的步骤，显得更为简单、明了。

3.结论为“至多”、“至少”的命题

虽然反证法是一种很积极的证明方法，用反证法证题还有很多优点：如适用范围广、思想选择的余地大、推理方便等。但是并不是每一道题都能用反证法来解的。比如对以下两个例题的分析。

例题3：若z，y均为正整数，且z+y>2．求证：＜2或＜2中至少有一个成立。

分析：一般而言，如果题目中出现“至少”或者“至多”的字眼，选择使用反证法要简单一些。

证明：假设≥2与≥2同时成立，因此，x＞0，y＞0，所以1+x≥2y，1+y≥2x。

将以上两式相加得z+y≤2，这与已知条件z+y＞2矛盾，因此可以证明这个假设不成立。

因此，可以得出＜2或＜2中至少有一个成立。

例题4：如果对任何正数p，二次方程ax+bx+c+p=0的两个根是正实数，则系数，试证之。

证明：假设a＞0，则二次函数y=ax+bx+c+p的图像是开口向上的抛物线，显然可见，当p增大时，抛物线就沿y轴向上平移，而当p值增大到相当大的正数时，抛物线就上开到与x轴没有交点，则对这样的一些p值，二次方程的实数根就不存在。因此，a＞0，这一假设与已知矛盾。

同理，a＜0，也不合题意。

综上所述，当a＞0和a＜0时均不合题意。因此，a=0。

分析：看了本题的证明过程似乎很合理，但其实第三步，即肯定原结论成立的论证错了。因为，本题的题设条件为对任意正数p，y=0有两个正实数根，结论是a=0，但本题的题设条件与结论是矛盾的。

当a=0时，二次方程就变成了一次方程bx+c+p=0，此一次方程在b≠0时，对于任何正数p，它只有一个根；在b=0时，仅当p=-c＞0的条件下，它有无数个根，否则无根，但总之不会有两个根。题设条件和结论矛盾。

因此，本题不能用反证法来处理。

但是，如果原题改为“如果对于任何正数，只存在正实根，则系数”，就能用反证法证明了。

点评：通过分析例题3、例题4，可以得出对于下列命题，较适用反证法来解决：

第一，对于结论是否定形式的命题；

第二，对于结论是以“至多”，“至少”或“无限”的形式出现的命题；

第三，对于结论是以“唯一”或“必然”的形式出现的命题；

第四，对于可利用的公理定理较少或者较以与已知条件相沟通的命题。

三、结论

牛顿曾说：“反证法是数学家最精当的武器之一。”反证法之所以有效是因为它对结论的否定实际上增加了论证的条件，这对发现正确的解题思路是有帮助的。对于具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。在现代数学中，反证法已成为最常用和最有效的解决问题的方法之一。

参考文献：

［1］赵杰.反证法――化难为易的法宝.中学生数理化（高二版），2010，（3）.

篇（3）

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2015）12-0068-01

数学的证明方法主要分为直接证明和间接证明。反证法是间接证明的一种，在数学证明中有着独特和重要的作用，不管是在初等数学还是在高等数学中，反证法的应用都十分广泛。反证法能将一些正面复杂的问题简单化，即避开问题的正面，从反面寻求解决办法。任何问题都能一分为二，其中一面复杂，另一面自然相对简单。这是反证法的直观理解，下面给出严格的定义。

一 反证法的概念及一般解题步骤

1.定义

反证法指的是从反面的角度，对问题进行思考的一种证明方法。换言之，就是对题设肯定，却对结论否定，在这个过程中推出明显的矛盾（主要包括与题设的矛盾，与已知定理、公理、定义和性质的矛盾），从而得出原命题成立。

2.逻辑依据

反证法的证明方法之所以可靠，其逻辑依据就是逻辑学中的矛盾律和排中律。人们在实践中得出这样的规律：对于任何一个命题，它要么是真命题，要么是假命题，不可能出现既真又假，不真不假的情况，也即是说不可能有第三种情况的存在。这就体现了逻辑学中的矛盾律和排中律。

3.一般的解题步骤

反设：假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立。

归谬：从这个命题出发，经过推理证明得出矛盾。

结论：由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确。

二 实变函数教学中适用反证法的几种问题

证明某些存在性问题，这类问题需要证明存在即可，从正面去证需要一一验证，有时不容易做到，这时可以运用反证法，否定结论得出矛盾会容易一些。

例1，若 的基数为c，证明：存在n0，使得An0的

基数也是c。

证明：由于 =c，我们不妨设 。用反证法，

若

=pi（Ai），i=1，2，…，则 ≤

所以对每个i，存在εi∈R＼ 。于是ε=（ε1，ε2，…，εn，…）

∈E∞。下证 。事实上，若 ，则存在i，使

得ε∈Ai，于是εi=pi（ε）∈pi（Ai）= ，这与εi∈R＼

矛盾，所以 ，这又与ε∈E∞矛盾，所以至少存

在某个i0，使 。

对于存在性的问题，从反面证明比正面证明容易下手，证明过程也比较简单，所以对于这类存在性问题的教学，采用反证法会起到很好的效果。

1.证明某些集合相等或包含命题

这一类命题，当从正面很难推导出集合之间的包含关系时，则考虑从反面运用反证法证明。

例2，证明（AB）′=A′。

证明：因为A?AB，B?AB，故A′?（AB）′，B′?（AB）′，从而A′′?（AB）′。另一方面，假设P?（AB）′，则必有P?A′′。否则，若P ? A′′，那么将有P ? A′且P ? B′，因而有P的某一邻域（P），在（P）内除P外不含A的任何点，同时有P的某一邻域（P），在（P）内除P外不含B的任何点，则由邻域基本性质知，存在（P）?（P）（P），在（P）中除P外不含AB的任何点，这与P?（AB）′ 的假设矛盾。

在这个题目中，如果直接证明，由于P?（AB）′ 不能直接推出P?A′或P?B′，所以直接证明行不通，只能转化为反面才能证明。由此可以看出反证法在证明集合相等方面的重要性。

2.证明某些函数列收敛命题

这类命题的特点是，正面直接推导时，没有相关的定理或性质作为依据，即所给的条件不满足已知的定理。此时，需要从问题的结论出发进行推导，得出与条件的矛盾。

例3，设mE

证明在E上依测度收敛于f（x）。

证明：若在E上，fn（x）不依测度收敛于f（x），则存在

δ0>0，使得 mE[| fn-f |>δ0]≠0，从而可知，存在ε>0以及

子函数列{ fnk }，使得mE[| fn-f |>δ0]>ε>0。又可知，存在{ fnk }

的子函数列{ fnkj }在E上a.e.收敛于f，由于mE

三 结束语

由以上几个简单的小例子可以看出，反证法在实变函数教学中的应用很广泛，应该要求学生掌握这种证明方法。并且，在讲解时，重点是让学生掌握这种证明方法的思想和内部逻辑依据，这样才能真正达到教学效果。

参考文献

篇（4）

通常，人们在做数学论证时，往往习惯于用直接法正向求证，由条件逐步推出结果，然而，有时候对某一些数学问题，根据已知条件很难推出所要求的结论，这就要求我们必须尝试用另一种方式进行间接论证，这就是我们通常所説的反证法。

看下面例子：

例1 把1600颗花生分给100只猴子，证明：不管怎样分法，至少有四只猴子得到的花生一样多。

解法探析：假设至多有三只猴子分得的花生数相同，我们从所需花生最少的情况考虑：

3只猴子各分得0颗花生，

3只猴子各分得1颗花生，

3只猴子各分得2颗花生，

、、、 、、、

3只猴子各分得32颗花生，

最后一只猴子分得33颗花生。

这样，100只猴子共需花生 3×﹙1﹢32﹚×32∕2 ﹢33＝1617（颗）

这与题设只有1600颗花生矛盾，故原命题成立。

通过以上例子，对这类用直接证法难以下手的题目，用反证法求解时则十分简便，那么究竟如何运用反证法呢？

（一）　通常来说，用反证法时有三个步骤：

ⅰ　反设

“反设”就是正确的否定结论。由于它是反证法的出发点，所以如果反设出现错误，将导致全盘皆错。关于“反设”应注意：

1　首先要弄清题目的条件和结论；

2　强调“反设”是对结论的全否定。

例如 求证：若a，b为自然数，且a×b是奇数，则a，b都是奇数。

结论的反面应是：“a，b不都是奇数”。而不是：“a，b都不是奇数”。

ⅱ　归谬

以“反设”为出发点，题设条件为根据，通过正确推理，得出矛盾。这是反证法的核心。

由于反证法推出矛盾的类型很多，出现矛盾的情形又比较复杂，因此在进行归谬时，经常会陷入困境，甚至对自己的正确推理产生疑惑，因此，举例説明推出矛盾的主要类型：

①与客观事实矛盾

例 高一有400名学生，求证：这400名学生中至少有两名学生的生日是相同的。

证明：假设400名学生的生日都不相同，那么一年将有400天，这与客观实际相矛盾，故原命题成立。

②与公理，定理矛盾

例 如果两直线都平行与第三条直线，则这两条直线也相互平行。

证明：假设这两条直线不平行，则必然相交于一点。这样就得出：过直线外一点，能做出两条直线与该直线平行的直线。这与平行公理矛盾。

③与题设矛盾

例如 前面猴子分花生的例子，由假设求出的结果共需花生1617颗，而题设只有1600颗花生，矛盾。

④与反设矛盾

ⅲ　存真

由所得矛盾肯定原命题成立。

（二）反证法的适用范围

什么类型的数学命题可以用反证法证明呢？一般来説，对于“若A则B”一类的数学命题，都能用反证法来证明，但难易程度不同，就多数题来説，直接证法比较简捷。因此在证题时，首先应考虑使用直接证法。当用直接证法无法下手甚至不可能时，可考虑使用反证法。

通常来说，下列情况可以考虑使用反证法：

（1）已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少；

（2）命题的结论以否定形式出现时；

（3）命题的结论以“至多”、“至少”的形式出现时；

（4）命题的结论以“唯一”的形式出现；

（5）命题的结论以“无限”的形式出现时；

（6）关于存在性命题；

（7）某些定理的逆定理．

总之，正难则反，直接的东西较少、较抽象、较困难时，其反面常会较多、较具体、较容易．反证法有时也用于整个命题论证过程的某个局部环节上．

以上简单列出了运用反证法推出矛盾的主要类型，方便我们参考，应该注意的是，一个数学命题，究竟使用那种证明方法更方便一些，要具体问题具体分析，切不可生搬硬套。

参考文献

1 “正难则反”好思路　峰回路转现通途

作者：朱浩； 福建中学数学2009年第05期

反证法完全解读

作者：陈素珍 中学生数理化（高二版）2010年第02期

篇（5）

一、非命题

非命题是高中数学的简易逻辑中出现的概念，而在实际生活中，非命题类的语句也经常用到.“非”是否定的意思，对命题进行否定得出的新命题，我们称之为非命题.所以，当某一个命题为真命题时，将之否定得到的就是假命题，同样，若一个命题为假命题时，将之否定则是一个正确的命题，即真命题.一般情况下的这样两个命题称为一组“互非命题”.

我们来看一句话，为表述方便，把它记为A：“0的倒数是0.”这句话可以判断真假，我们称之为命题，又因为1/0在初等数学中没有意义，所以命题A是假命题，那么，将之否定将得到真命题，也即非A命题：“0的倒数不是0”是真命题.这是数学上的推理，然而在我们的日常口语习惯中，0的倒数既然没有意义，也就是前提不存在，那么结果无论是等于0还是不等于0都是不正确的.数学与逻辑有矛盾吗？

数学是头脑的体操，是逻辑的推演，结论是确定的、可控的，我们说“数学的世界里没有骑墙派”，当然不会产生矛盾.我们把刚才的命题数学化，写成条件命题的标准形式，若p则q形式，改写如下：若x=0则1/0=0；那么非命题为若x=0则1/0≠0，我们将1/0≠0理解成：这个整体可能根本不存在（无意义），也可能取某一个非零的值.换言之，它不仅包括原命题的反面内涵（也即非零值），还包括与之相关联、相和谐的一系列的相关外延.正是这一系列内涵与外延的独立，才使得利用逆否命题可以证明原命题.

二、反证法

反证法可以用来证明任何学科领域的命题.一般的，由证明若p则q形式，转而证明非q推出一系列结论，从而推出一个全新结论t，其中t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定非p为假，推出p为真命题.证明的一般步骤一般有三个：（1）假设命题的结论不成立，即假设结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.下面对这三个步骤详加说明.

步骤一：正确地作出反设.否定结论是正确运用反证法的前提，需注意所作出的反设必须包括与结论相反的所有情况，而提出否定假设相当于增加了一个已知条件.

步骤二：推出矛盾是用反证法证明命题的关键.在证明和推导过程中，已知的一些定义、定理、已知条件都正常应用，提出的反设也作为一个已知条件参与证明和推导.需要注意的是如果否定事项只有一个，我们只要把这个反面驳倒，就能肯定原命题成立，如果否定事项不止一个时，就必须将结论所有否定逐一驳倒，才能肯定原命题成立.

步骤三：矛盾判定.需要针对具体问题看待矛盾，一般情况下，是与已知条件矛盾，特殊情况下，虽与已知条件相符（已知条件可在步骤一中参与推理），但与其他定义、定理、公理、事实等矛盾.

步骤四：既然产生了矛盾，必须推究产生的原因，因为在步骤二中的推演是合乎逻辑的正常推导，所以问题只能出在步骤一上，换言之，其反设有问题，由错误的条件产生的矛盾的结论，从而证明了原命题的正确.

三、逆否命题

在逻辑中的命题除了陈述和判定的语气、结构外，有些是在一定条件下的判断，也即：

在某种条件下成立某一结论，这种情形通俗点说就是“如果怎样则结果如何”，在数学上称为“若则命题”，一般表示为“若p则q”，而与之等价的命题为“若非q则非p”，这种命题将原命题的条件用非命题的形式作为新命题的结论，将结论的非命题作为新命题的条件，我们称之为原命题的逆否命题.

在本质上讲，原命题与逆否命题的等价性是反证法证明的逻辑基础.原命题为“若p则q”，则反证法的第一个步骤寻找反设，也即是认定非q的过程，步骤二的推导，也即“若非q则非p”的过程，步骤三的矛盾判定，实际就是非p的判断，步骤四本质上就是原命题与其逆否命题的等价认定过程.

综合以上，我们知道，逻辑判断过程中的逆向思维是以“非命题”形式作为基础，以“逆否命题”作为桥梁，以“反证法”作为实践手段实现的，而且，在逆向思维的应用中，已知的情况以及使之成立的一切条件和与之相符相伴相和谐的一切都在逆向判断的范畴内，所以逻辑是思维的过程，而数学是思维发展的产物，逻辑与数学是共生共存的关系，并且两者会相互促进、共同发展.

【参考文献】

[1]顾银丽.反证法在高中数学中的应用.数学学习与研究，2011（15）.

篇（6）

在目前的数学教育中，人们普遍认为中国学生善于解决常规问题，而不善于解决非常规、开放性问题，这一观点在国内外多项研究中都得到了验证。顾泠沅教授组织的青浦实验在1990年和2007年分别对八年级学生的数学认知水平进行了大样本的测试。这两次测试的结果表明，学生在“计算”、“概念”、“领会”水平上已经取得了较大的突破，但是在“分析”水平上，不但几乎没有任何进步，反而还有倒退的迹象。解决非常规、开放性问题和顾泠沅教授所划分的“分析”水平，均属于高层次数学认知。因此，什么是高认知层次数学任务，以及如何在课堂教学提高学生高水平数学认知亟待解决。

对此，鲍建生等人根据青浦实验小组的数学认知水平分析框架，认为“分析”水平应包括以下五点高认知层次数学任务：

（1）发现并形成合适的数学问题：从各种情境中发现所包含的数学要素、关系或结构，提出合适的数学问题；

（2）解决非常规的和开放性的数学问题；

（3）提出猜想与构造模型：分析条件和结论间主要关系或重点步骤，形成假设或初步的数学模型；

（4）特殊化与一般化：全面结合已分解的各要素及其关系，按照模型需要对已有的数学概念、程序、性质和命题进行推广或特殊化；

（5）数学推理与证明：用数学语言形成结论并给出严格的证明。

本文将以此为框架，对一节具体的九年级数学课进行课堂实录研究。

1.《反证法》内容及教材分析

本节课是华东师范大学版初中九年级教材下册29.2节《反证法》，在教学中，学生需要体会反证法的含义，掌握反证法的步骤与综合法的根本区别，并且能用反证法证明一些较简单的命题。反证法是一种常用的数学证明方法，但是，对九年级学生来说，反证法需要较高的数学思维水平，且反证法是他们从来没有接触过的证明方法，因此让学生理解反证法的含义和掌握证明步骤成为本节课的教学重点。同时，寻找问题的反面是本节课的难点。

2.教学过程分析

表1 各数学任务用时分布情况表

本节课包括：情境引入、方法形成、反证法证明过程的分解练习、例题、练习、扩展练习、总结7个部分，将每个部分细化，与上述框架对应，笔者发现，本节课教师对其中四点落实较好，但较少涉及解决非常规和开放性的数学问题。具体过程如上表：

2.1形成并发现合适的数学问题。

这节课在情境引入和方法形成的第一步中，教师帮助学生形成并发现合适的数学问题。

首先，引入课题的是两个现实生活中的情境，这两个问题用反证法更容易解释得清楚，但教师直接让学生解释，在学生解释不清的时候，再提示学生从结论的反面入手。这样的做法给了学生充足的思考时间，这就帮助学生发现并形成合适的数学问题，即，什么样的问题需要用反证法证明？反证法的好处是什么？怎么用反证法证明？在方法形成的第一步中，教师同样做到了引导学生发现和形成数学问题，请看第一步的教学实录：

师：我们看一个具体的数学问题。在一个ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且∠C=90°，那么a■+b■+c■.这个命题是真命题吗？

生：是。

师：这是什么？

生：勾股定理。

师：这就是我们熟悉的勾股定理。接下来教师把他改一改我把刚才的∠C=90°改成∠C≠90°，a■+b■改成≠c■，这是真命题吗？

生：是。（回答人数不多，学生有些犹豫。）

师：是。为什么呢？

师：思考一下，这个问题很难直接回答，那我们是不是也可以从它的反面来讲一讲。想想看我们这个命题是要得到a■+b■≠c■，它的反面是什么呢？

生：a■+b■=c■.

师：那么我假设a■+b■=c■，你会得到一个什么结果？

生：∠C=90°.

师：为什么会得到∠C=90°呢？

生：因为勾股定理的逆定理。

师：也就是说因为勾股定理的逆定理知道这是一个直角三角形，因为C是斜边，所以∠C=90°。这与已知条件中∠C≠90°矛盾。一旦出现矛盾，说明假设还成立吗？

生：不成立。

师：那么就是导致了a■+b■=c■这个命题不成立，也就是a■+b■≠c■，这个命题是一个真命题。

这个过程中，教师一直在引导学生，给出提示，让学生自己说出结果。虽然处理方法与情境引入相似，但情境引入是两个生活实例，而这个问题是一个纯粹的数学问题。如果在情境引入中教师能启发学生发现并形成数学问题，那么在这个问题中，教师希望学生自己能发现这个问题与情境引入中问题的相似，从而自己发现问题中包含的数学要素、关系和结构，形成数学问题。

2.2解决非常规和开放性的数学问题。

在本节课的最后，进行完例题与习题的讲解，教师给出了一个有趣的问题，如下：

讨论问题：有A，B，C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A，B都撒谎，则C必定是在撒谎，为什么？

这是一个非常规和开放性的数学问题，在之前的授课中，学生练习的均为常规的程序性数学问题，这道非常规开放性的数学问题有利于拓宽学生思路，同时加深对反证法的理解，让学生感受数学与生活的联系，提高学生学习兴趣。但是可惜由于时间关系，教师仅仅用自己提问然后自己回答的方式，证明了一下C必定撒谎这一结论，整个过程用时很短，从课堂反应上看，学生似乎对此问题的理解不够。

2.3提出猜想与构造模型。

在方法形成的第二步，教师引导学生提出了勾股定理的否命题，便在黑板上板书了反证法的详细证明步骤。值得一提的是，教师并没有自己归纳，而是请一名同学回忆上述问题的证明过程，自己归纳。这便做到了提出猜想与构造数学模型。对具体问题的证明和抽象出一般的证明方法之间有着较大跨度，让学生自己归纳有利于培养学生分析条件和结论之间主要关系或重点步骤，形成初步数学模型的能力。

2.4特殊化与一般化。

在形成一般化的证明方法以后，教师适时地按照证明步骤回顾了情境引入和勾股定理否命题这两个问题的证明。这样的做法正好符合了一般化与特殊化的原则，全面结合已分解的各要素及其关系，按照模型需要对已有的数学概念、程序、性质和命题进行推广或特殊化。回顾例子的过程有利于让学生把程序化的证明方法和证明过程的实际联系起来，深化对反证法证明过程的理解。

接着进行了对反证法证明过程的分解练习，具体做法如下：

第一步：练习如何进行假设。让学生说出“a//b”、“∠A不小于60度”、“线段AB，CD互相平分”、“至少有一个”这四个命题的反面是什么。

第二步：给出证明的大致框架，让学生填空。

在ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C。

分解练习对于初学者来说有一定的必要性，教师由于有较多的教学经验，知道学生对于反证法的薄弱环节在于第一步“假设”。“假设”其实是对结论进行否定，而对于初中学生来说，对“不大于”、“至少有一个”这样的命题进行否定存在比较大的困难，教师第一步进行假设的练习解决了学生普遍存在的这一类问题。在第二步中，给出证明框架，让学生填空的做法，是给予了学生一个对反证法整体思路的熟悉过程。这种循序渐进的教学方法对于学生的接受有积极作用。同时，上述的第四点特殊化与一般化要求：全面结合已分解的各要素及其关系，按照模型需要对已有的数学概念、程序、性质和命题进行推广或特殊化；而这两步分解练习是对模型（反证法的证明步骤）中的各个要素进行分解和详细阐释，为学生进一步进行特殊化做好了铺垫。

分解练习之后，又讲解了两道例题，并请同学在黑板上板书了一道习题。这同样也是对反证法证明模型的进一步运用，通过分解练习和例题的讲解，学生在练习中反应较好。

2.5数学推理与证明。

以上进行例题的讲解和练习的过程同时也是数学推理与证明的过程。教师多次强调证明的格式规范，学生也能够对所给习题进行严格证明。

3.教学建议与反思

综合对本节课以上五个方面的考察，笔者认为，教师在课堂教学中应注意以下方面。

3.1在发现并形成合适的数学问题之初，教师应留给学生足够的思考时间。

就本节课而言，反证法这种证明方法很可能是学生从来没有在数学学习中接触过的，因此，对于情境引入中的实际问题，即使他们明白其中道理，并且发现从正面去解释存在困难，他们也想不到用反证思想。这个时候，教师应适当提示，步步引导，并且在此过程中给予学生充足的思考时间。如果这个时候教师急于说出答案，那么让学生发现和形成合适的数学问题就变成了老师给出合适的数学问题，学生从一开始对该问题中包含的数学要素、关系和结构认识的不够深刻，这会影响学生掌握和运用该知识。

3.2在课堂中，教师应适当增加非常规和开放性数学问题的比例。

篇（7）

既然反证法是间接证法,那么反证法也是通过证明原命题的等价命题从而证明原命题的。反证法是指:“证明某个命题时,先假设它的结论的否定成立,然后从这个假设出发,根据命题的条件和已知的真命题,经过推理,得出与已知事实(条件、公理、定义、定理、法则、公式等)相矛盾的结果。这样,就证明了结论的否定不成立,从而间接地肯定了原命题的结论成立。”这种证明的方法,叫做反证法。运用反证法证题一般分为以下三个步骤。

1.假设命题的结论不成立;

2.从这个结论出发,经过推理论证,得出矛盾;

3.由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确。

即:提出假设―推出矛盾―肯定结论。

反证法在线性代数解题中的应用非常广泛,但什么时候应该使用反证法,证明哪些命题适宜使用反证法,都没有一定的规律可循。原则上说,应该因题而异、以简为宜。首先从正面考虑,当不易证明时,再从反面考虑。当由假定原命题结论的否定成立去推出矛盾比证明原命题更容易时,就应该使用反证法。

二、反证法在解线性代数题时的应用

1.对于结论是否定形式的命题,宜用反证法。

由于定义、定理等一般是以肯定的形式出现,因此用它们直接证明否定形式的命题可能会有困难。但否定的反面是肯定,因而从结论的反面入手,即用反证法来证会比较方便。

例1.设矩阵A的特征值λ≠λ,对应的特征向量分别为α、α,证明:α-α不是A的特征向量。

证明:假设α-α是矩阵A的特征向量,则存在数λ,使A(α-α)=λ(α-α)=λα-λα。又由题设条件可知Aα=λα、Aα=λα,于是A(α-α)=Aα-Aα=λα-λα,则有λα-λα=λα-λα,即(λ-λ)α+(λ-λ)α=0。因α、α是属于不同特征值的特征向量,故α、α线性无关,则λ-λ=λ-λ=0,也即有λ=λ。与题设λ≠λ矛盾,所以α-α不是A的特征向量。

2.对于证明结论是“肯定”或“必然”的命题,宜用反证法。

即命题结论中出现“等于什么”、“必然是什么”、“一定是什么”等形式,而且从反面较易入手解题时,可考虑使用反证法。

例2.若λ不是A的一个特征值,则矩阵λE-A一定是可逆矩阵。

证明:用反证法,即设矩阵λE-A不可逆,则行列式|λE-A|=0,说明λ是特征方程|λE-A|=0的根,也即说明λ是A的一个特征值,与已知矛盾。所以矩阵λE-A一定是可逆矩阵。

例3.设β可由α,α,…,α线性表出,但不能由α,α,…,α线性表出,证明α一定可由β,α,α,…,α线性表出。

证明:用反证法,由题设可知,存在一组常数k,k,…,k,使得β=k,α+kα+…+kα。假设k=0,则存在一组常数k,k,…,k,使得β=kα+kα+…+kα成立,所以β可由α,α,…,α线性表出,这与题设矛盾,即k≠0;所以α=β+(-)α+(-)α+…+(-)α,即α一定可由β,α,α,…,α线性表出。

3.对于证明结论是“惟一”或“必然”的命题,宜用反证法。

即命题结论要求证明某元素是“惟一”或某种表示方式是“惟一”的,而直接去找某个元素或某种表示方式比较困难时,则可考虑从其反面入手。

例4.设向量β可由向量组α,α,…,α线性表出,证明:表示式惟一的充分必要条件是向量组α,α,…,α线性无关。

证明:由题设,存在常数k,k,…,k,使得kα+kα+…+kα=β(1)。

证明充分性:设向量组α,α,…,α线生无关,来证β由α,α,…,α的线性性表示式惟一。

假设β由α,α,…,α的线性表示式不惟一,设还有线性表示式为lα+lα+…+lα=β(2)。则k≠l(i=1,2,…,m),则(1)式与(2)式相减得:

(k-l)α+(k-l)α+…+(k-l)α=0。

由于α,α,…,α线性无关,故得k-l=0,即k=l(i=1,2,m)。这与k≠l(i=1,2,…,m)矛盾,即β由α,α,…,α线性表示式是惟一的。

证明必要性:设线性表示式(1)惟一,来证α,α,…,α线性无关。

假设α,α,…,α线性相关,则存在一组不全为0的数λ,λ,…λ,使得λα+λα+…+λα=0(3)。则(1)式与(3)式相加得:(k+λ)α+(k+λ)α+…+(k+λ)α=β。因为λ,λ,…,λ不全为0,从而存在β的两种不同表示方法,这与β由α,α,…,α的线性表示式惟一矛盾,因此向量组α,α,…,α线性无关。

4.对于证明结论是“至少什么”或“至多什么”的命题,宜用反证法。

例5.试证:向量组α,α,…,α(其中α≠0,s≥2)线性相关的充分必要条件是至少有一个向量α(1≠i≤s)可以被α,α,…,α线性表出。

证明充分性:设有向量α可以由α,α,…,α线性表出,则α,α,…,α线性相关。由于α,α,…,α是α,α,…,α的一个部分组,所以α,α,…,α线性相关。

证明必要性:用反证法,假设每个α(1≠i≤s)都不能由α,α,…,α线性表出。我们接下来来证明α,α,…,α线性无关,设有一组数k,k,…,k,使得kα+kα+…+kα=0(1),

则必有k=0,否则k≠0时,α可由α,α,…,α线性表出,与假设不符。这样(1)式成为kα+kα+…+kα=0。同理可推出k=0,…,k=0,因此(1)式成为kα=0。

又已知α≠0,故得k=0。所以向量组α,α,…,α线性无关,与必要性的题设矛盾,假设不成立。即至少有一个向量α可以由α,α,…,α线性表出。

5.对于某些逆命题的正确性,可用反证法。

当原命题与其逆命题都成立时,其逆命题的正确性可用反证法来证明。

例6.设A是n阶实对称矩阵。试证:r(A)=n的充分必要条件是存在矩阵B,使AB+BA是正定矩阵。

证明必要性:由r(A)=n知A是可逆矩阵,取B=A,则有AB+BA=AA+(A)A=AA+(A)A=2E为正定矩阵。

证明充分性:用反证法,假设r(A)≠n,则n元齐次线性方程组AX=0有非零解,即有X≠0,使AX=0,也就有XA=0。由(AB+BA)=BA+AB=AB+BA,说明AB+BA是实对称矩阵。

上述X≠0时,f=X(AB+BA)X=0,与AB+BA是正定矩阵矛盾,所以r(A)=n。

参考文献:

[1]钱椿林.线性代数(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2005.

[2]王中良.线性代数解题指导[M].北京:北京大学出版社,2004.

篇（8）

        二、克服反证法教学心理障碍

        学生的心理结构的发展过程包括图式—同化—顺应—平衡等四个过程。当一个新知识出现时，学生首先是用旧的认识结构对其进行解释与吸收，将新知识纳入原有的认识结构之中。当原有的认识结构不能解释，不能容纳新知识时，则内部系统及对原有认识结构进行重新改组，扩大。使之足以包摄新知识，达到新的平衡。学生在以往学习的只是直接证明方法，推理中的每一步在感知上和逻辑上都不会与原有的知识系统和认识图形相互矛盾。他们在具体证明某一题目时，只须将题目具体内容“同化”到他们原有的认识结构或演绎体系中去。这种感知上与逻辑上的一致性已经形成了他们进行演绎推理的心理基础，成为他们达到心理平衡的依据。运用直接证明方法时，也有心理障碍存在，但那是由于在错觉影响下，或在下意识作用下的原因所造成的。而学习反证法时，推理过程中出现的是感知与逻辑上矛盾的情形，与错觉或下意识是不同的。要使学生真正掌握反证法。不将学生原有的演绎体系提高到更高的层次，也就是进行“顺应”的过程，是不可能的。反证法的教学，不应拘泥于教材，宜采取分散难点，逐步渗透，不断深化的方法。有步骤、有计划地落实到教学之中，着重培养学生进行形式演绎的能力。

        结果，指导学生练习时，一定要突出两点：一是要将结论的反面当成新的已知条件后，才能由此推出矛盾的结果，否则就不能导致矛盾。二是推理要合乎逻辑，否则即使推出了矛盾后，也不能断言假设不成立。也就是说在“归谬”的过程中其推理应是无懈可击的，其矛盾的产生并非别的原因，只因反设不成立所致。同时，导致矛盾又有如下几种情况：一是与已知条件矛盾。

        二是与已学定义、公理、定理相矛盾。三是与题设相矛盾。

        3、“结论”的练习：“反证法”中的结论是指最后得出所证命题的结论。教学时，一定要严格要求“结论”准确。否则，将前功尽弃。

        （四）比较辨析，恰当运用“反证法”

        “反证法”在几何、代数、三角等方面都能应用。教学时，为了扩展学生的视野，激发学生积极性，可适当补充这方面的练习题。另一方面，学生学了“反证法”之后，企图什么证明题都想用“反证法”来证，结果使一些简单问题复杂化了，以致弄巧成拙。教学时还应强调，什么时候用“直接证明法”，什么时候用“反证法”，应依所证命题的具体情况恰当使用。

原则上是“以简

  （一）浅显事例引入“反证法”的基本思想

学生刚接触“反证法”时，对于此法中根据排中律而“否定反面，肯定正面”的基本思想感到陌生。教学时，可通过学生已有实践体会的浅显的生活方面的事例让学生逐步领会。开始将“反证法”用于解题时候，也宜于用学生已掌握的而且也是最浅显的例子引入。

        （二）精讲例题，找出“反证法”的基本规律

有前面的基础，就要注意讲好每一个具有代表性的例题。特别是重要讲好建立新概念或引出新方法时的第一个例题。教学时，宜于运用具体的几何实例。逐步说明证明的过程，并启发学生沿着思维规律进行思考，得出“反证法”的一般步骤和规律：

        1、反设：将结论的的反面作为假设。

        2、归谬：将“反设”作条件，由此推出和题设或者和公理、定义、已证的定理相矛盾的结果。

        3、结论：说明“反设”不成立，从而肯定结论不得不成立。

        （三）加强练习，培养用“反证法”证题的基本能力

在学生初步领会“反证法”的基本思想，掌握“反证法”的基本方法以后，还应靠足够的练习来逐步培养学生运用“反证法”证题的能力。练习要有针对性，要重点突出，根据“反证法”的特点，练习的着重点应放在“反设”、“归谬”、“结论”三个方面。

        1、“反设”的练习：“反设”即为“否定结论”，它是反证法的第一步，它的正确与否，直接影响着“反证法”的后续部分，学生初学时，往往去否定假设，教学时，应注意纠正。要突出“反设”的含义就是“将结论的反面作为假设”。在思考途径上可指导学生按以下几步进行：第一要弄清所证命题的题设和结论各是什么。第二找出结论的全面相反情况，注意不要漏掉又不要重复。第三否定时用“不”或“不是”加在结论的前面，再把句子化简。

        2、“归谬”的练习：“归谬”即“假定结论的反面成立，而导致矛盾。”就是说将结论的反面作为条件后，经过逻辑推理，导出矛盾的结果，这不但是反证法的主要部分，而且也是核心部分。学生初学时，为宜”。一般来说，用“直接证法”的时候居多，但遇下列情况可考虑用“反证法”。

        1、当直接证明某个命题有困难或不可能时，可考虑使用“反证法”。

        2、否定性问题：在此类问题中，结论的反面即可能就更为具体，常常可以由此去推出矛盾，从而否定可能，而肯定了不可能。

        3、唯一性问题：此类问题中，结论的反面是不唯一的，那么，至少可有两个不同者，由此去推出矛盾，来否定不唯一，从而肯定唯一。

篇（9）

数学离不开解题，掌握数学的一个重要标志是善于解题，在解题过程中的有意识比赛或无意识竞争逐渐形成了现在的数学竞赛。本文将介绍竞赛数学的一些基本解题方法。

一、构造法

解题常在问题的给定系统里由题设推得结论。但对有些问，如存在性问题、条件与结论相对较远的问题等，直接推理不能顺利进行，因此不得不找寻某种中介工具，建立条件与结论的联系。解题的这种中介工具通常隐含在题设之中，需要去发现、解释并构造。通过构造题目所没有的解题中介工具―实例、数学模型或对应关系去解决问题的方法就是构造法。

1.存在性问题的构造性解法

存在性问题，就是指结论中含有“存在”这一词的问题。是研究某一数学对象是否存在，或某种数学对象是否具备某一性质的问题。解决存在性问题的方法有构造性和非构造性两种。非构造性的解决方法是利用排中律（例如反证法）论证。反证法在构造证明中起着非常重要的作用。

例1.证明：一个奇数c为合数的充要条件是存在自然数a≤■-1，使（2a-1）2+8c为平方数。

证充分性较简单，证明略。下面证必要性。必要性为存在性问题，可用构造法。

设c为奇合数，则c能分解为两个大于1的奇数之积，较小的记为2k-1，较大的记为m，即c=（2k-1）m，k≥2，m≥2k-1。令a=m-k+1，则a=■-k+1≤■-1≤■-1，

且（2a-1）2+8c=（2m-2k+1）2+8（2k-1）m=[2m-（2k-1）]2+8m（2k-1）

=[2m-（2k-1）]2

例2.对于任何自然数，在整点平面上是否存在一个圆，使它的内部恰好有个整点？

解讨论型的存在性问题，假设题中的圆存在，只要找出一点使得它到平面上的各个整点的距离都不等。点P（■，■）是符合条件的点。用反证法证明猜想正确。

否则，平面上有两个不同的整点M（a，b）、N（c，d），到P点的距离相等，即（a-■）2+（b-■）2=（c-■）2+（d-■）2

化简整理，得c2+d2-a2-b2+■（b-d）=02（a-c）=0可推出a=c，b=d这与假设矛盾。我们把平面各整点到点P的距离按由近到远排列为P1，P2，…Pn，…，选择r，使■

2.构造数学模型

构造数学模型是指反映特定问题的数学对象及其关系结构的映像系统，是具体的、直观的、典型的模式。构造数学模型是一种创造性的思维，但也离不开对题目结构的深刻认识。

例3.已知a，b，c是ABC的三边，求证

a2（b+c-a）+b2（a+c-b）+c2（a+b-c）≤3abc

分析：将求证式左边变形得

a（b2+c2-a2）+b（a2+c2-b2）+c（a2+b2+c2）（*）

能够联想到余弦定理，并且将（*）式转化为三角问题，利用已知的三角不等式cosA+cosB+cosC≤■可证明结论成立。

二、反证法

数学证明有直接证明法和间接证明法两种。反证法为间接证法的一种，是数学证明的大法。许多历史上著名的命题都是用反证法证明的。反证法被誉为“数学家最精良的一种武器”。

例4.{an}为正数列，满足（ak+1+k）ak=1，k=1，2，…，求证对一切k∈N，ak为无理数。

证假设存在ak=■（p，q为互质自然数），则得ak+1=■，即ak+1也是有理数，令Sk表示ak的分子与分母的和，则Sk=p+q，Sk+1=q-（k-1）p。

因为k≥1，故Sk≥Sk+1，从而Sk>Sk+1>Sk+2>…

因为Sk，Sk+1，Sk+2，…都是整数，故一定存在Sk+1

三、数学归纳法

数学归纳法也是数学中最基本、最重要的方法之一，在数学各分支里都有广泛的应用。需用数学归纳法证明的一般是与自然数有关的命题，但并不是所有的与自然数有关的命题都可以，只有可以递归的命题才可用数学归纳法证明。

例5.m，n∈N求证2mn>mn

证：①显然当m=1，n=1时，不等式成立。

②对任意的自然数k，l，假设2kl>kl与2kl>lk成立，则

2（k+1）l=2kl2l>kl2l=（2k）l≥（k+1）l及2k（l+1）=2kl2k=（2l）k≥（l+1）k

即p（k+1，l）和p（k，l+1）都成立，命题得证。

篇（10）

在当前数学教学中常采用的反证法和公式、定理的逆用等都是运用了逆向思维，以下本文将简单介绍如何在初中数学教学中开发和应用逆向思维。

一、逆向思维在初中数学教学中的应用

逆向思维的重要意义就是要打破学生的思维定式，解除学生固有的思维框架，逆向思维就是在思考问题时思维发生突变和跳跃，从而获得全新的解题思路和方法，逆向思维是建设新理论、发展新科学的重要途径。在数学教学中常应用的假设需求解变量为x，即逆向思维在数学中最常见的应用，其原理就是把原本需求解的未知数假定为x代入算式中，视x为已知，利用关系式反推而最终求出x的值。早在19世纪逆向思维就被应用到数学教学中，从而得出了“非欧几何”，20世纪的“模糊数学”也是逆向思维在数学教学中应用的典型事例。

二、数学教学中逆向思维的开发和锻炼

关于如何在初中数学教学中开发和锻炼学生的逆向思维，笔者有以下两点建议。

1.将逆向教学渗入基础知识的教学中

数学是初中教育的基础学科之一，在重视学生对基础知识熟练掌握和应用的同时，将逆向思维、逆向教学引入，不但可以加深学生对基础知识的了解，还能够开拓学生的思维能力和思考方式。在概念等基础知识的教学上应着重加强逆向思维的教育。例如在概念中存在很多的“互为”关系，如“互为相反数”“互为倒数”等，教师可以利用这样的概念来引导学生从正反两个方面分析和解决问题，培养学生逆向思维的能力，帮助学生建立双向的思维模式。如果教师能够在数学教学中适当、适时地引导学生从命题的反面来思考问题，那么学生的逆向思维能力就会在基础知识的教学中逐渐被开发出来。

2.强化逆向思维在解题方法上的渗透

①分析法。分析法注重由结论倒推需要得出解题答案的条

件，倒推过程中会发现解题需要的充分条件都在已知条件中，分析法可以帮助学生认识到解题过程是可逆的，有助于学生逆向思

维能力的培养。②反证法。反证法就是利用已知条件推理论断来证明命题的相反面不成立，从而证明命题成立，反证法属于间接求证的方法，数学中的很多命题从正面得出结论是非常难的，这时一般都会采用反证法，加强学生对反证法应用的锻炼，有助于开发学生的逆向思维、拓展学生思维的深度和广度。③举反例法。在解决数学问题时，若要证明某个命题是错的，除直接证明外，还可以采用举反例的方式来证明。即找出一个符合命题的条件，但是在该条件下命题结论并不成立的例子，这样就证明这个命题是错误的，举反例法需要学生从逆向来看待问题、解决问题。因此，加强学生举反例的锻炼，也可极大地开发学生的逆向思维能力。

数学作为一门重要的学科之一，学生十分有必要学好数学，

这样学生才能更好地发展自身的学业。在新课程标准的推动下，逆向思维的应用对于初中数学教学来讲尤为重要。学生只有掌握好逆向思维的应用，才能更好地掌握数学基础知识，拓展想象力，进而有效拓展新的解题思路。

参考文献：

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1、配方法。所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

2、换元法。换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

3、判别式法与韦达定理。一元二次方程 （a、b、c属于实数，a≠0）根的判别， ，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程（组），解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。

韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。

4、待定系数法。在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。

5、构造法。在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程（组）、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。

6、反证法。反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法（结论的反面只有一种）与穷举反证法（结论的反面不只一种）。

用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：（1）反设；（2）归谬；（3）结论。

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大（小）于/不大（小）于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有（n一1）个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。

7、面积法。平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。

面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。

8、几何变换法。在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。

几何变换包括：（1）平移；（2）旋转；（3）对称。

9.客观性题的解题方法。选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧，形式灵活，可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷的容量和知识覆盖面。

填空题是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有考查目标明确，知识复盖面广，评卷准确迅速，有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未给出答案，可以防止学生猜估答案的情况。

要想迅速、正确地解选择题、填空题，除了具有准确的计算、严密的推理外，还要有解选择题、填空题的方法与技巧。

（1）直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。

（2）验证法：由题设找出合适的验证条件，再通过验证，找出正确答案，亦可将供选择的答案代入条件中去验证，找出正确答案，此法称为验证法（也称代入法）。当遇到定量命题时，常用此法。

（3）特殊元素法：用合适的特殊元素（如数或图形）代入题设条件或结论中去，从而获得解答。这种方法叫特殊元素法。