高中数学的复数公式大全11篇

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高中数学的构造法是运用数学的基本思想，经过认真的观察、深入的思考，构造出数学的常规模型来解决特殊的数学问题的方法。高中数学的构造法形式多样，内容十分丰富，它把数学中抽象性问题实质化，把普遍性与现实性的问题特殊化，针对具体的问题的特点而采取相应的解决办法，即借用一类问题的性质，来研究另一类问题的思维方法。对一些特殊的题目，在解题过程中，用常规思维方法去探求难以切入时，教师要及时启发学生，展开丰富的联想，拓展思维变化领域，尝试运用构造法来解题，从而培养学生的创造意识和创新思维能力。

1.用构造函数法解题培养学生的函数意识

高中函数是高中数学的重要组成部分，函数思想是整个高中数学思想的主线，学生对函数知识比较重视，所以对函数知识成竹在胸。就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程，以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的。例如在“数列”这一章中，许多地方用到构造函数法，如等差数列的通项公式可构造成一次函数的形式，求和公式可构造成不含常数的二次函数的形式。如一个等差数列的前10项和为100，前100项的和为10，求这个数列的前110项的和，可以用二次函数来解决。等比数列的通项公式及求和公式都可以用指数型函数来处理。又如一些特殊的不等式题都可以构造成特殊的函数来解决。所以，像数列、不等式等一些题目似乎与函数毫不相干，但是根据题目的特点，巧妙地构造出一次函数、二次函数或者指数型函数，利用函数的性质能够得到简捷的证明。因此在解题过程中要不断挖掘学生的潜在意识，使学生的思维不致停滞与解题思路搁浅，在教学过程中真正地启发学生思维多变，从而达到培养学生发散思维能力的目的。

2.用构造方程法解题培养学生的观察能力

方程方法是学生解题中最常用的方法，运用方程方法解题有助于培养学生的直观思维能力。在解决函数问题时常常用构造方程法来解题。因为和函数有必然联系的是方程，方程f（x）=0的解就是函数y=f（x）的图像与x轴的交点的横坐标，函数y=f（x）也可以看作二元方程f（x）-y=0通过方程进行研究，要确定变化过程的某些量，往往要转化为求出这些量满足的方程，通过方程（组）来求得这些量。这就是方程的思想。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。遇到较为复杂的数学题时，要指导学生把难的先简单化，构造出我们很熟悉的方程。通过数学命题的结构，直观地观察出题目中的内在的方程的含义，从而运用方程的思维方法来解题。教师要引导学生在解题的过程中要善于观察、善于发现，在解题过程中不墨守成规，大胆去探求解题的最佳途径，要大胆地发挥学生的创新思维，因为创新思维是整个创新活动的关键，它的基本特征是独特的知识结构及活跃的灵感。

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引言

高中数学是高考重点科目。高中学生学习数学的时候，往往存在当堂掌握数学教师讲解的数学知识，但是做题的时候无法有效应用的问题。面对学生对数学知识掌握不够充分的现象，高中数学教师为了帮助学生巩固数学知识，就会开展复习课教学，使教学内容具有针对性。但是要发挥高中数学复习课教学的时效性，就要采取有效策略以提高学生数学学习质量。

一、高中数学复习课教学中要向学生明确数学复习方向

高中阶段学生面临高考的压力，特别数学复习，不仅信息量大，而且复习项目繁多。为了提高学生高中数学复习质量，就要在数学复习各个阶段明确复习方向，避免学生盲目复习而影响数学学习质量[1]。高中数学教师带领学生进行数学复习，要围绕数学教材展开，主要复习高考大纲规定的基础知识，以历年高考数学真题作为辅助复习内容，指导学生根据自己对数学知识的掌握水平及做题能力制订数学复习计划。比如，教师在单元复习课上可以将主要数学知识连接成为一个脉络，形成一个知识结构。单元内的重点知识学生观之一目了然，还能根据脉络将本单元数学知识进行衔接。基于此，学生就会从自身对本单元数学知识的掌握程度出发制定适合自己的复习计划。数学教师则是将每一个知识点的代订性例题总结出来，让学生从例题角度出发掌握本单元高中数学知识。

二、运用类比思想构建高中数学知识

高中数学各个知识点之间存在逻辑关系。构建数学知识结构有助于学生更好地理解数学知识，需要运用类比思想将数学知识贯穿为知识脉络，形成条理化数学知识。高中数学复习课教学中，采用这种教学策略对学生数学学习加以引导，有助于学生复习数学知识的时候，提升知识迁移能力[2]。比如，复习等比数列的时候，可以将等比数列和等差数列进行对比式复习。在学生复习等差数列相关知识的时候，教师可以在知识结构中插入等比树立，让学生看到等差数列公式的时候，自然会想到等比数列，而且更好地区别两个公式。采用这种知识异同点对比的方式，可以帮助学生更好地理解数列知识。

数学定理是高中学生需要掌握的重点知识。很多高中学生都会以记忆方式学习数学定理，但是对定理的数学涵义并不理解，导致对树立定理不懂得灵活运用。对这部分数学知识进行复习课教学的时候，可以采用类比思想，引导学生发现定理的形成过程，让学生从记忆定理转向理解定理。比如，复习“复数的四则运算加减法”的时候，教师可以让学生对合并同类项的相关内容予以回顾，然后针对复数的求和问题和求差问题进行讨论，让学生以回忆方式深化对复数加减法法则的印象，最后数学教师予以正确引导，进行总结：两个复数相加减，就是实数部分相加减、虚数部分相加减。

三、采用情境教学法将学生参与意识激发起来

高中学生在数学复习课教学中，要积极主动地配合数学教师，才能提高数学学习效率。高考虽然以做题形式考查学生对数学知识的掌握能力，但是，学生除了要掌握数学解题技巧之外，更要对数学概念加以充分了解。数学教师在复习课教学中要注重引入数学概念，以使学生在解题中做到触类旁通。比如，讲解三角函数的时候，数学教师要了解学生对函数概念的理解，采用让学生解答选择题的方式。

假如函数f（x）=x（x≥0），描述正确的是下列哪种？（ ）

A.x值增大，y值随之增大，为增函数；x值增大，y值减小，为减函数；

B.x值增大，y值减小，函数为增函数；

C.x值增大，y值增大，函数为增函数；

D.x

为了让学生对本题考查目的有所明确，数学教师可以运用多媒体课件辅助复习课教学，即将f（x）=x（x≥0）处理为图像用幻灯播放出来。动态的画面使公式表达的涵义更为直观。教师对每一个选项内容都操作一遍，以便学生从直观角度做出判断。这种利用高中学生的形象思维方式解决逻辑问题的方法，对学生数学解题思路具有很好的引导作用。随着高中学生解题欲望被激发起来，会对相关问题进行深入思考，形成积极学习的主动意识，有助于高中学生更好地投入到数学复习中。

结语

高中数学教学中，复习课教学是帮助学生巩固数学知识的重要方式。高中数学教师要提高复习课教学质量以发挥其时效性，就要对提高学生数学学习质量的复习策略加以深入研究，使学生树立主动学习意识，由此提高数学学习质量和效率。

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1 引言

数学作为一门基础学科，在人类教育史起着非常重要的作用。随着新课程改革的不断深人，在《高中数学课程标准》中，数学史在教学中被提到了重要的位置。在高中数学课本中，有很多地方直接介绍数学史，在习题、课文注释和附录中提到数学家、数学名著、数学方法等。《新课标》中对数学史提出了具体的要求，指出：“通过生动、丰富的事例，了解数学发展过程中若干重要事件与重要成果，初步了解数学产生与发展的过程，体会数学对人类文明发展的作用，提高学生学习数学的兴趣，加深对数学的理解，感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神。” 高中数学不仅要有简单的“问题解决”的现实主义的传统，也要有古希腊那种“演绎推理”的理性主义精神。高中数学老师不仅要将新时期的思想反映到教学中去，也要将数学史贯穿到教育教学中去，既要讲推理，也要讲道理。在教学中，通过典型的例题，理解数学的概念和方法，适当的融入一些数学史的知识，将抽象难懂的公式、概念适当的转化成学生易于接受的思想，从而丰富学生对数学发展的整体认识，激发学生学习数学的浓厚兴趣。

2 数学史与高中数学

2.1数学史

数学史是一门独立的学科，是研究数学科学发生及其发展规律的科学，也是研究数学的历史。通过研究数学学科的产生、发展的历史，来追溯数学内容、方法以及思想的演变和发展过程，并且探索影响这些过程的各种因素，来反应历史上数学科学的发展对现代人类文明所带来的影响。数学史是数学的一个分支，也是学科史的一个分支。为了达到高中数学的教学目标，在高中数学教学中，对数学史提出明确的要求：“使学生了解数学史，懂得数学来源于实践又反作用于实践，明白数学知识是相互联系并随着时间不断变化发展的”。

2.2高中数学

高中数学是全国高中生学习的一门学科。高中数学相比初中数学来说，有以下新的特点：①数学语言在抽象程度上突变。高中数学中有很多非常抽象的集合语言、逻辑运算语言、函数语言等。②思维方法向理性层次跃迁，数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。③知识内容的整体数量剧增，在高中数学中知识量变得更大、更难。包括了《集合与函数》《数列》《复数》《排列、组合、二项式定理》《立体几何》等部分内容。④知识的独立性更大。每个章节都有其独立的数学思想。

3 数学史在高中数学教育中的作用

3.1运用数学史，激发学生的学习兴趣

良好的开端是成功的一半，因为好的开头能使学生的注意力集中，激励学生的求知欲，良好的开端关键在于课题的引入方式。 高中数学相比初中数学来说，更难更抽象。通过运用数学史，可以激发学生的学习兴趣，使枯燥的知识变得生动形象，易于理解。比如，在刚开始上课时可以引用与教学内容配合的数学家的故事进行情境导入，会让学生的大脑处于兴奋的状态，使学生一开始就对这堂课产生浓厚的兴趣，让学生集中注意力来听好这节数学课，在不知不觉中学到有用的知识。比如在学习数列时，老师可以引入古代印度国王褒赏国际象棋发明者的故事来吸引学生，并引入数列课题，来激发学生学习数列的热情与兴趣。

3.2引用数学史，有助于帮助学生培养正确的数学思维方式

高中的数学教材是通过反复推敲后编排的课本，其语言十分简洁精炼。在高中数学教材中，将教学内容按定义、定理、证明、推论、例题的顺序编排，对数学知识的推理过程及演变历史的研究很少。这样学生很容易死记硬背这些定理、概念，而本身并没有理解其中的内涵，所以在做题时很容易出现错误。通过数学史的引入，我们可以将抽象的概念、定理形象化、系统化，对这些概念的产生过程有一个比较清晰地的认识，有助于帮组学生培养正确的数学思维方式。例如，微积分不是在传统的欧式几何的演绎体系下产生的，它是莱布尼兹和牛顿在“求抛物线弓形面积”“穷竭法”这两种思想的启发下才产生的。真正学习数学应该是知道这个概念定理产生的过程，使学生体验一种真正的、鲜活的的数学思维过程，而不是仅仅死记住这些概念定理。只有不断地引入数学史，才能使学生在学习数学时有一种不断探索的正确的数学思维方式。

3.3引入数学史，可以拓宽学生的知识面，激发学生的学习动机

高中数学老师在教学时，可以引入数学史中的名人，来拓展学生的知识面，树立学习的榜样，来激发学生的学习动机。比如，高中老师在传授数学知识时，可以引入这些例子：伽罗瓦在18岁的时候创建群论；阿贝尔在22岁证明了一般五次以上代数方程不存在求根公式等等，这些数学史中的例子都可以激发学生学习数学动机 ，增加学生的求知欲。将数学史渗透到高中数学教学中，不仅能扩大学科知识面，还能够激发学生的求知欲望，充分调动学生学习的积极性。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准[S].北京：人民教育出版社，2003.

[2][美]伊夫斯H.数学史概论[M].欧阳绛译.太原：山西人民出版社.

[3]李俨，杜石然.中国古代数学简史[M].北京：中华书局.

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要想展开初高中数学课堂的教学对接，这需要教师充分发挥学生的教学主体性，课堂上要给学生提供更多观察与实践的平台.教师要善于找到有效的知识教学的切入点，要在新知教学前找到相关的知识铺垫，并且透过教学引导，让学生在观察、推理、验证、实践的过程中展开对于新知的有效挖掘.这能够培养学生的自主学习能力，也能够让学生对于学习内容有深刻体会.在教学中，教师应创造条件，让学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流.

例如，在讲“概率”时，教师可以让学生抛硬币、转转盘、摸球；在讲“相似三角形”时，教师可以让学生去测量学校建筑物、旗杆的高度；在讲“统计量”时，教师可以让学生设计调查项目，做统计报告；在讲“圆的有关定理”时，教师可以让学生查找圆中还有哪些重要定理，组织学生交流探究.通过这样的过程，让学生感知数学学习内容是紧密联系的，很多学过的知识都能为新问题的探究提供基础.这样才能充分体现新旧知识间的关联，并且实现初高中数学课堂对接.

二、技巧性地展开教学知识扩展

仅仅只是利用初中学过的知识显然是不够的，教师要能够技巧性地进行教学知识的扩展，要透过有效的教学引导来引入新的教学内容，并且促进学生对于新知的理解与掌握.在初高中数学对接的教学中，知识间的联系有很多体现，很多高中数学中内容都是在初中数学的基础上进行的拓展与延伸.这是一个很好的教学基础，也给学生的知识接受提供了一个平台.在引导学生复习与巩固初中相关内容的同时，教师也要技巧性地进行知识的扩展延伸，要让学生有效地过渡到新知的学习中，并且让学生对于新的教学内容有更好的理解与掌握.

例如，在讲“无理数”时，教师可以提出问题：大家想想，今后还会出现新的数吗？由虚数扩充到复数，还有其他的可能吗？这不仅是一个很好的知识回顾，也能有效地实现教学知识的扩展延伸.实数表示在数轴上的点，是一维数，复数表示平面的点，二维数，还有三维数、四维数……n维数.教师可以适当补充一些介绍，引起学生进一步学习的良好倾向和情感.这个过程也是对初高中知识的适时有效对接.

三、探究性地展开教学素材引申

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关键字：高中数学；经济；重要性；应用分析

 

一、高中数学的重要性

1.提高逻辑思维能力

数学科目与英语、地理等基础性科目相比，不仅要求我们熟练记忆数学公式（例如等差公式、等比公式等），而且重点考察我们的逻辑分析能力和抽象思维能力（例如立体几何、平面解析几何等）。通过高中数学的学习，能够逐渐培养起严谨的分析和推理思维，一切问题用计算结果来解释，这对于我们理性的看待问题也有积极帮助。

2.快速的计算能力

计算是数学学习的一门基础性技能。在数学学习的过程中，计算能力不仅仅是指简单的数字运算，还包括公式的推理、公式的变形等内容。由于数学中所要计算的内容增加、难度增大，因此对我们的快速计算能力提出了更加严格的要求。目前，高考仍然是选拔人才的一种重要方式，而数学则是高考中最容易拉开分数差距的学科。我们掌握了快速计算的能力，才能在有限的考试时间内更快、更准确的答题，从而提高数学考试成绩。总的来说，熟练掌握教材中的公式，对于提升个人计算能力有很大帮助。

3.丰富的想象力

通过高中数学学习，还能够丰富我们的想象力。例如，我们在学习高中数学必修2中有关于三视图这部分内容时，需要我们充分发挥想象力，在脑海中构建物体的立体模型，然后从各个角度观察这个立体模型，从而正确判断该立体模型的正视图、侧视图和俯视图。借助于数学知识的学习，能够帮助我们从多个角度思考和看待问题，养成善于想象、敢于想象的思考习惯，从而实现解题思路的创新。

4.坚韧的忍耐力

学习数学是一个循序渐进的过程，前后知识连接紧密。这就要求我们在进行数学学习时，必须按部就班的完成老师布置的任务，从最基本的公式记忆和例题分析做起，一步步的打好基础，从而实现学习成绩的稳步提升。在这一学习过程中，大多数同学的忍耐力都得到了锻炼，性格也逐渐趋于沉稳。

二、高中数学在经济中的应用

以某企业为例，该企业在进行投资基金项目时需要将一笔资金投资到甲、乙或丙三个不同的项目中，而由于这三种项目的经济环境与本质有所差别，其收入也有所不同。假设外部情况只分为良好、一般及较差三种，而企业则需要计算出两种项目的期望值与方差值来判断如何进行投资。假设这两种基金在三种环境中产生的价值如表所示：

 

P良好=0.2

P一般=0.7

P较差=0.1

基金甲（万元）

30

15

-5

基金乙（万元）

20

14

-4

基金丙（万元）

18

15

-3

通过计算，可知：

1.两个基金的数学期望分别是：

E(甲)=30×0.2+15×0.7+(-5)×0.1=16（万元）

E(乙)=20×0.2+14×0.7+(-4)×0.1=13.4（万元）

E(丙)=18×0.2+15×0.7+(-3)×0.1=13.8（万元）

2.两个基金的方差分别是：

D(甲)=(30-16)2×0.2+(15-16)2×0.7+(-5-16)2×0.1=84（万元）

D(乙)=(20-13.4)2×0.2+(14-13.4)2×0.7+(-4-13.4)2×0.1=42.24（万元）

D(丙)=(18-13.8)2×0.2+(15-13.8)2×0.7+(-3-13.8)2×0.1=32.76（万元）

通过分析以上离散型随机变量的期望和方差之后我们可知，基金甲的投资平均收益最大。但基金甲的投资风险也最大，基金乙的风险次之，同时基金乙的收益最小。基金丙的收益比基金甲低，但是其风险比项目甲低，基金乙的收益比甲低，但是其风险比甲低；根据高中数学知识我们可以知道，如果几个不同投资方案的期望值与方差值不同，则变异系数小者投资风险小。因此，经过比较，我认为作为一个理性的投资人，应该综合比较投资收益与投资风险的匹配度，所以最佳的理性决策应该选择投资基金丙。

三、高中数学对经济运用的弊端

数学这门学科虽然具有较强的实用性，但是对于我们来说，高考仍然是我们现阶段最重要的任务。因此，大部分数学老师在讲课过程中，更加侧重于培养我们的知识理解和解题的能力。而对于同学们来说，也不需要对某个公式的具体推导过程、某一定理的来历进行过多研究，只要会用即可。在这种教学模式下，许多同学只知道埋头苦学，根据教师的教学安排进行学习和习题练习，个人的独立思考能力和思维发散能力都受到了极大的限制。这样一来，虽然能够帮助我们提高应试水平，但是不利于个人今后的全面发展。而在经济活动中，需要根据市场形势变化、企业生产需要，进行复杂多变的数学计算，由于我们缺乏想象力和创造力，数学在经济中的运用也会大打折扣。

四、结论

对于我们来说，学好数学知识，不仅能够在高考中考出好成绩，同时也为今后的学习与工作奠定基础。数学这门学科与我们的日常生活和经济活动息息相关，我们一方面要加强理论学习，打好基础；另一方面也要活学活用，利用数学知识解决生活中的问题，发挥数学知识在经济中的应用优势，从而为提高生活质量、推动经济发展提供动力。

 

参考文献：

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在复习教学中，复习目标作为整个教学的指明灯，它不仅能帮助师生明确学习重点、难点，同时对提高学习效率也有很大作用. 因此，在制定目标时，老师必须结合教材以及教学大纲要求，理解教材难点、重点，同时这也是正确认识教学大纲的过程. 另外，老师还要有目的、有针对性的分析学生已有的认知水平，以便在教学中制定出符合学生实际情况的复习方案与目标. 但是，从教学反馈的信息来看：很多老师并没有严格按照该要求执行，所以满堂灌的现象始终存在.

二、将基础知识作为复习难点

在进行高中数学复习时，为了保障教学有效性，老师不仅要掌握不同学生的认知水平和教学要求，还应该适时为学生制定学习目标与要求；通过将数学基础知识、方法、技能作为高中数学的复习难点、重点，让学生更好的掌握数学公式、概念与定理. 在复习中，数学概念作为连接内涵、知识外延的关键，需要老师的引导性讲解，这样学生才能更好的掌握与理解概念以及各个知识点之间的联系. 因此，在高中数学复习课教学中，老师必须高度重视复习课中的基础知识，在由浅入深的过程中，让学生学以致用，以提高学习水平与效率.

教学作为一门艺术性很强的工作，它不是一成不变的，而课堂教学又比较复杂，特别是高中阶段. 所以怎样分配、设计教学方法，让课堂时间有效利用成了众多高中数学老师关注的问题. 在课堂设计时，要从认知水平着手，在循序渐进的过程中，引导学生发现规律，生成动静结合的教学过程. 如此，学生即能利用例题进行推演，又能把握认知与实践，在研读课程的过程中，对相关内容进行剖析.

三、注重复习教学结构，做好反思总结

新时期，为了更好的迎合时展需求，老师必须转变传统的教学理念，坚持老师主导、学生主体的教学原则，放弃满堂灌、注入式等教法，让他们完全成为学习的主人，在活动中得到突破与创新，以不断提高数学悟性与素养. 而此时老师的任务则是诱导、启发、点拨和调控.

另外，“熟能生巧，巧能升华”也说明了练习对教学有效性的作用. 因此，在高中数学教学中，老师不仅要引导学生做好反思总结工作，还必须给学生足够的练习机会，这样才能巩固已有知识. 在设计练习题时，既不能太难，也不能过于简单，更要保障练习题中蕴含的知识点. 这样学生在做练习题的过程中，既可以得到成就感，又能调动学习主动性与积极性，为今后的复习课夯实基础. 在设计复习习题时，基础题型一般放在章节复习中，而有难度的练习题放在单元练习中，综合性习题放在全面复习中，这样就能让学生拥有一个明确的复习计划.

四、活用多媒体等教学辅助工具

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所谓“情境—问题”教学模式就是指通过给学生创设一定的情境来引出所要学习的知识板块，这一教学模式是学科教学模式的重点，不仅运用在高中数学教学中，实际上运用在学生学习的各个阶段和各个学科当中。通过给学生创设情境，来向学生提问，以此来引导学生对该问题来进行思考，不仅能够调动学生的好奇心，还能够调动学生的积极性。把这种教学模式运用到高中数学教学当中，可以有效改进教学手段，提高教学效果。为了使“情境—问题”教学模式更好地服务于高中数学教学，我们需要思考一个最基本的问题，那就是该种教学模式的设计原则问题。根据自身的高中数学教学经验，以及汲取广大数学教育者的智慧，我们认为“情境—问题”教学模式最起码需要遵循以下原则。

一、“情境—问题”教学模式的设计原则

（一）简单可行性

“情境—问题”教学模式想要发挥其在高中数学教学中的作用，首先需要遵循简单可行性的原则，在简单可行性的基础上还要具有可操作性，只有简单可行和易操作两者结合起来，才能使“情境—问题”教学模式能够让学生直观地明白，不会加重学生学习的负担。如何教师创设的情境在导入时就显得难以理解，那么部分学生从一开始就会丧失兴趣，这违背了“情境—问题”教学模式的最终目标。

（二）趣味性

这一教学模式的创设是本着激发学生学习兴趣而融入到高中数学教学的过程中，如果教师创设的情境具有趣味性，不仅会引起学生的注意，而且会让那些昏昏欲睡的学生通过笑来激发大脑，以此来活跃大脑。同时教师创设的情境具有趣味性，不仅能够在教学过程中拉近与学生的距离，让自身的授课变得更加具有意义。老师与学生之间营造良好的师生关系，这不仅符合教育的要求，也是教育的目标。当教师与学生变得亲近时，学生会突破心理防线，更加积极主动地向老师请教问题，从而提高自身的数学成绩，也使得老师的人格魅力在教学过程中展现的淋漓尽致[1]。

（三）生活性

高中数学虽然具有一定的难度，但是学好了却能给生活带来很多的便利。数学知识的学习，不仅仅是在课本上，学习的最终目标是回归到为生活服务。而且高中数学课本上许多知识点的导入节和作业的设置都是从现实生活中取材，这样使得数学的生活性更加强。据此，教师的“情境—问题”教学模式应该贴近生活，让学生从课本中学习到的知识能够运用到实际的生活当中，解决生活中出现的问题，从中体会学好数学的重要性。

二、“情境—问题”教学模式在高中数学教学中的实际运用分析

（一）创设发现情境，还原再现思考

让学生通过对数学课本中问题的理解，创设出问题所在情境，再引导学生把创设的情境与实际生活情境相联系，进一步发现问题的内在规律，从而使得学生轻松地解决问题。比如在《正弦定理》一节中,有一题大致是:在一座桥A点处有一批物资,因自然灾害原因，急需将A处货物和人员转运到与河岸平行的B点和C点,已知货车速度是45kmh,问:船应该开往B处还是C处?如果教师采用投影的方式，让学生直观地看见桥和货车，学生就会利用公式很快地解答出这道题目。

（二）创设障碍情境，引发认知冲突

在高中数学教学中，教师可以采用相反的认知方式来进行，平常的教学导入教师一般是使用与人类认知相向的即平行的认知方式来进行的，通过相反的方式即创设相反的问题情境来进行教学会给学生留下更深的影响，从而加深学生对该知识板块的记忆。如在《复数》一节中，已知a+1/a=1，求a+1/a-2=?学生看到这道题时，多数的同学会很快得出-1的结果，但仔细思考，a+1/a怎么会小于零呢?通过创设这样与认知相反的问题来引起学生认知上的冲突，从而使得学生能够更加理解所学的知识点[2]。

三、“情境—数学”教学模式的意义

（一）引导学生对数学知识进行重新的认识

上面我们说到“情境—问题”教学模式的创设需要体现生活性，体现数学最终是为了服务生活的潜在目标。通过“情境—问题”教学模式把数学与生活结合起来，能够引导学生对数学价值进行重新的认识，学生一旦在头脑中形成了对数学的正确认识，今后在实际的学习中会更加用功，毕竟他们在意识里产生了“数学是个好东西”的想法。

（二）更新高中数学教学手段，激发学生学习兴趣

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一、数形结合思想的基本内涵

数与形是一件事物的两个方面属性，也是数学中最基本的研究对象。在一定条件的限制下，数与形之间是可以进行相互转化的。在高中阶段，已经对数与形有了较为透彻的研究，通过将二者相互融合，取长补短，发挥出各自的优势，优化数学解题路径，这也就体现出了数学中数形结合的基本理念。在数形结合中，可以通过数字的方式来对形状的属性进行描述和解答，也可以通过几何图形的方式对数字之间的联系进行阐述，通过对数形结合解题思想的合理运用，可以有效的优化高中数学的解题流程，树立解题思路，对于促进高中数学解题能力具有重要的意义。

二、数形结合思想在高中数学解题中的优势

第一，数形结合思想可以使得高中数学题中，一些具有高度抽象性的问题进行具体化，使其能够从抽象思维转变为具象思维，有利于更好的梳理题干，提升对于题型的理解程度。第二，数形结合在解决实数与数轴、图像与函数、曲线与方程、几何条件、三角函数、复数、等式、代数式等内容上，具有特殊的作用。通过数形之间相互转化，可以优化解题流程和思路。第三，数形结合思想在解决一些抽象性问题上，具有其特殊的作用。例如几何中，一些不明确或无法直接使用的条件，通过数学分析的方式，可以使其条件更加具象化，从而运用在解题当中。第四，数形结合思想运用在高中数学解题中，可以更轻松的发现最优的解题思路，从而避免大量计算与推理，优化解题流程，精简解题思路，尤其是在选择题这种不能消耗大量时间的题型上，运用数形结合思想具有其特殊的作用。

三、数形结合思想对高中数学解题思路的优化方式

（一）以图形解数字

数字是一种较为抽象的单位，在许多题型中，单纯用数字进行解答会具有大量的解题流程，既容易出现计算错误，影响最终结果，又会导致解题速度较慢，效率难以得到提高。而图形则具有更加具象的特点，所能够表达出的信息更加直观，将数字转变为形状，可以使解题流程更加具象化，从而利于分析和解答。将数字转变为图形的方法，主要可以应用立体或平面的机和知识，或解析几何的策略来进行，通过从题目中所给出的有效信息出发，通过结合几何中的相关公式和定理，来规划处所能够运用的图形，并将题目中所给出的信息带入到图形中，就可以得出相应的结论。例如：已知实数x、y满足x2+y2=3，(y≥0)，求证m=y+1x+3。根据题意可知，m也就是两点的斜率，而b为直线上的截距。因此，要将m看作圆x2+y2=3，(y≥0)上点M(x，y)和点A(-3，-1)的直线斜率。k1≤m≤k2，其中，k1、k2分别代表两条斜率。k1=13+姨3=3-姨36。由于AM2的方程为k2x-y+3k2-1=0，其中|3k2-1|k22姨+1=姨3，k2=3+姨216，因此3-姨36≤m≤3+姨216，可得坐标系：

（二）以数字解图形

图形虽然较为直观，其中所包含的信息能够更快的挑选出来，在许多不需要步骤的解题上具有特殊的用处。然而，在一些应用类的题目中，由于要求书写解题步骤，许多题目中没有给出的信息，就需要利用数学计算的方式得出。尤其是对于一些较为复杂的图形，不但需要将复杂的图形进行拆分和整理，还要对图形的特点有明确的把握，从而挖掘题干中的隐藏条件，并将其运用到解题中来。在应用上，首先，要仔细审题，提取出其中所给出的条件，以及解题目标，通过对条件和目标进行分析，提出条件对于整个图形所存在的特殊意义，并将其利用公式等数学元素表示出来，并进行相应的运算，也就可以得到具体的结论。在坐标系中画出y=log10π与y=sinx的图像，可知二者有三个焦点，因此正确答案为C。

（三）图形与数字之间互相解决

在许多题目中，单纯的运用图形转变为数字或数字转变为图形的方法，很难进行解答，这也就需要灵活的运用数形结合思想，通过运用图形信息的直观性，以及数字信息的严密性，将数与形进行相互转变，从而进行数学的解题。在解决这种较为复杂的问题上，要对已知条件和结论进行分析，找出图形与数字之间内在的逻辑关系，从而寻求正确的思路进行解决。数与形之间相互转化，其本质就是将数转变为形与形转变为数有机结合的方式。数形结合思想是高中数学教学中的重要组成部分。在数学中，数字具有抽象性和严密性，而图形则具有具象性和直观性。在高中数学解题中，运用数形结合思想可以有效的将抽象问题进行具象化，避免了大量的推理和计算工作，最大限度的降低数学解题出现计算错误的问题产生，并且其应用范围广泛，通过将二者合理融合，可以有效的优化解题思路和流程，对于提升高中数学的解题能力具有重要的意义。

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学生的数学思维的形成是建立在对数学基本概念、定理、公式理解的基础上的；发展高中学生数学思维最有效的方法是通过解决问题来实现的。

然而，在学习高中数学过程中，我们经常听到学生反映上课听老师讲课，听得很"明白"，但到自己解题时，总感到困难重重，无从入手；因此，研究高中学生的数学思维障碍对于增强高中学生数学教学的针对性和实效性有十分重要的意义。

一、学生数学思维障碍的成因

根据布鲁纳的认识发展理论，学习本身是一种认识过程，在这个课程中，个体的学是要通过已知的内部认知结构，对"从外到内"的输入信息进行整理加工，以一种易于掌握的形式加以储存，也就是说学生能从原有的知识结构中提取最有效的旧知识来吸纳新知识，即找到新旧知识的"媒介点"，这样，新旧知识在学生的头脑中发生积极的相互作用和联系，导致原有知识结构的不断分化和重新组合，使学生获得新知识。但是这个过程并非总是一次性成功的。一方面，如果在教学过程中，教师不顾学生的实际情况（即基础）或不能觉察到学生的思维困难之处，而是任由教师按自己的思路或知识逻辑进行灌输式教学，则到学生自己去解决问题时往往会感到无所适从；另一方面，当新的知识与学生原有的知识结构不相符时或者新旧知识中间缺乏必要的"媒介点"时，这些新知识就会被排斥或经"校正"后吸收。

因此，如果教师的教学脱离学生的实际；如果学生在学习高中数学过程中，其新旧数学知识不能顺利"交接"，那么这时就势必会造成学生对所学知识认知上的不足、理解上的偏颇，从而在解决具体问题时就会产生思维障碍，影响学生解题能力的提高。

二、数学思维障碍的表现

由于高中数学思维障碍产生的原因不尽相同，作为主体的学生的思维习惯、方法也都有所区别，所以，高中数学思维障碍的表现各异，具体的可以概括为：

1.数学思维的肤浅性：由于学生在学习数学的过程中，对一些数学概念或数学原理的发生、发展过程没有深刻的去理解，一般的学生仅仅停留在表象的概括水平上，不能脱离具体表象而形成抽象的概念，自然也无法摆脱局部事实的片面性而把握事物的本质。由此而产生的后果：

2.数学思维的差异性：由于每个学生的数学基础不尽相同，其思维方式也各有特点，因此不同的学生对于同一数学问题的认识、感受也不会完全相同，从而导致学生对数学知识理解的偏颇。这样，学生在解决数学问题时，一方面不大注意挖掘所研究问题中的隐含条件，抓不住问题中的确定条件，影响问题的解决。如非负实数x，y满足x+2y=1，求x2+y2的最大、最小值。在解决这个问题时，如对x、y的范围没有足够的认识（0≤x≤1，0≤y≤1/2），那么就容易产生错误。另一方面学生不知道用所学的数学概念、方法为依据进行分析推理，对一些问题中的结论缺乏多角度的分析和判断，缺乏对自我思维进程的调控，从而造成障碍。如函数y=f（x）满足f（2+x）=f（2-x）对任意实数x都成立，证明函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称。对于这个问题，一些基础好的同学都不大会做（主要反映写不清楚），我就动员学生看书，在函数这一章节中找相关的内容看，待看完奇、偶函数、反函数与原函数的图象对称性之后，学生也就能较顺利的解决这一问题了。

3.数学思维定势的消极性：由于高中学生已经有相当丰富的解题经验，因此，有些学生往往对自己的某些想法深信不疑，很难使其放弃一些陈旧的解题经验，思维陷入僵化状态，不能根据新的问题的特点作出灵活的反应，常常阻抑更合理有效的思维甚至造成歪曲的认识。如：z∈c，则复数方程所表示的轨迹是什么？可能会有不少学生不假思索的回答是椭圆，理由是根据椭圆的定义。又如刚学立体几何时，一提到两直线垂直，学生马上意识到这两直线必相交，从而造成错误的认识。

由此可见，学生数学思维障碍的形成，不仅不利于学生数学思维的进一步发展，而且也不利于学生解决数学问题能力的提高。所以，在平时的数学教学中注重突破学生的数学思维障碍就显得尤为重要。

三、学生数学思维障碍的突破

1.在高中数学起始教学中，教师必须着重了解和掌握学生的基础知识状况，尤其在讲解新知识时，要严格遵循学生认知发展的阶段性特点，照顾到学生认知水平的个性差异，强调学生的主体意识，发展学生的主动精神，培养学生良好的意志品质；同时要培养学生学习数学的兴趣。兴趣是最好的老师，学生对数学学习有了兴趣，才能产生数学思维的兴奋灶，也就是更大程度地预防学生思维障碍的产生。教师可以帮助学生进一步明确学习的目的性，针对不同学生的实际情况，因材施教，分别给他们提出新的更高的奋斗目标，使学生有一种"跳一跳，就能摸到桃"的感觉，提高学生学好高中数学的信心。

2.重视数学思想方法的教学，指导学生提高数学意识。数学意识是学生在解决数学问题时对自身行为的选择，它既不是对基础知识的具体应用，也不是对应用能力的评价，数学意识是指学生在面对数学问题时该做什么及怎么做，至于做得好坏，当属技能问题，有时一些技能问题不是学生不懂，而是不知怎么做才合理，有的学生面对数学问题，首先想到的是套那个公式，模仿那道做过的题目求解，对没见过或背景稍微陌生一点的题型便无从下手，无法解决，这是数学意识落后的表现。数学教学中，在强调基础知识的准确性、规范性、熟练程度的同时，我们应该加强数学意识教学，指导学生以意识带动双基，将数学意识渗透到具体问题之中。

当前，素质教育已经向我们传统的高中数学教学提出了更高的要求。但只要我们坚持以学生为主体，以培养学生的思维发展为己任，则势必会提高高中学生数学教学质量，摆脱题海战术，真正减轻学生学习数学的负担，从而为提高高中学生的整体素质作出我们数学教师应有的贡献。

参考文献：

1、布鲁纳《教学论探讨》（1966）

2、田万海著《数学教育学》.浙江教育出版社

3、任樟辉《数学思维论》.1990年，9月版。

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【关键词】类比法；课堂教学；高中数学

【中图分类号】G623.5 【文献标识码】B【文章编号】2095-3089（2012）06-0279-01

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教学中常常会有学生问道如何才能迅速找到解决数学问题的方法？是如何想到用这样的方法求解？其实，问出这样的问题恰恰反映学生还欠缺知识的积累，在他们的知识结构中还没有形成系统认知结构，没能将以往类似题型与待解的题目联系起来，从而不能有效将以往学过的知识综合运用到现实解题中去，也就是缺乏类比数学思想。

1 类比法是重要的思想方法

《普通高中数学课程标准》突出强调高中生的归纳类比等思维能力的培养，提到“高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想像、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断。数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用。”

2 类比法的数学理论基础

在高中数学教学中，运用到类比推理思考问题是很多的。老师在讲授数学时不仅在传授数学理论概念以及具体题目时都要经常给予学生类比法的讲授和引导。

所谓类比推理，是指“由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征”的一种推理方法。也就是说，如果为了解决数学问题B，联想到一个已经会解的与B有某种类似特征的数学问题A，于是，我们据此可以推测A与B的类似点；用会解A问题的方法去解决B问题。这是一种寻求解题思路，猜测和发现问题答案或结论的重要方法。

3 类比法在高中数学中运用

类比法作为新旧知识联系的纽带，在高中教学应用效果十分明显，它可以贯通不同的知识板块，调动学生已掌握的知识，拓展解题思路。这就需要教师在日常的教学活动中要有意识地将类比思想渗透于教学的各个环节中，帮助学生将所学知识条理化，形成系统的知识网络。

3.1 类比法在概念教学中的运用。 概念是对象本质属性的一种抽象，数学概念教学就是通过揭示概念的本质特征，使学生更好地理解新概念的内涵与外延。数学教学中，每当提出新概念、讲授新知识时便可以运用类比的方法，使学生较容易的从新旧内容的对比中接受新知识，掌握新概念。如函数极限的概念，初学者会比较陌生很难短时间内了解掌握，但教师可以在利用学生对数列极限概念的熟悉来将二者对比讲授。教师在讲函数f（x）的极限（x+∞）概念时，可用与数列极限定义相类比的方法来启迪学生。首先讲解二者的相似性，即都是描述自变量无限增大时，函数值无限接近于一个定数的变化状态。根据这一特点，可类比于数列极限定义来定义函数（x+∞）的极限。

3.2类比法在解题教学中的运用。在教学实践中，经常会出现“学生对老师的课能听懂，对书本也看懂，但就是一遇到题目就不会解”。其实，这也反映出学生并没有从根本上掌握住知识，还做不到融会贯通。此时，如果采取类比法就会使所学知识系统化，问题便可以迎刃而解。如：复数的四则运算加减法一节中，可这样设问：类比已学过的合并同类项，两个复数a+bi与c+di的和或差应该是什么？让学生先讨论，通过讨论很容易得出复数的加减法法则：“两个复数相加（减），把实部和虚部分别相加（减），虚部保留虚数单位即可。”然后再深入一步，复数乘法也可和整式乘法类比进行类似处理。然后“在做根式除法如5+55-2时，分子分母都乘以分母的‘有理化因式3+2’，从而使分母有理化。那么在进行复数除法如3+i2-3i时，如何使分母实数化？在了解了共轭复数概念后，学生知道了一对共轭复数之积是一个实数，学生自然而然想到把分子分母都乘以分母的实数化因式，也就是共轭复数2+3i，就可以使分母实数化了。

4 运用类比法应注意的问题

4.1 讲解要少而精。 由于面临升学压力，在高中数学教学中许多老师由于求胜心切，搞题海战术，题目讲得多而广，满堂灌，但都是为讲解而讲解，往往收效甚微。虽然类比法对学生新知识和新的解题思路的讲解都有着事半功倍的效果，但在数学解题中多用类比法，讲解题目的时候要少而精，切忌不可以泛泛的为了让学生掌握该类方法而大量的运用，因为数学中除了类比外，还有归纳等许多好的方法在有些题目中往往会起到更好的效果，这就需要根据不同情形来传递给学生掌握不同的数学方法，培养学生的数学思维能力。

4.2 针对且注意反馈。 类比教学中类比材料要有针对性，要从学生作业或试卷中的常见错误及缺漏中取得信息并寻求类比的典型材料。另外，课文的许多有内在联系，貌似实异，似是而非的知识都特别注意加以类比，寻求并分析各自的特点，掌握各知识在解题中的正确运用，避免张冠李戴，达到教与学的最佳效果。此外，在类比教学中还应充分利用反馈效应。运用反馈效应要注意反馈的完整性，及时性和边疆性。教师要多了解学生，多方面掌握信息，发现问题，解决问题。

4.3 掌握多种类比法。 类比法在高中数学教学中比较常见，其本身又可以根据不同标准进一步细分为：因果类比法、结构类比法、简化类比法和降元类比法等等。教师在具体的教学实践中可以根据所要传递的知识特点采用不同的类比方法。

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1、知识差异

由于实行九年制义务教育和倡导全面提高学生素质，现行初中数学教材在内容上进行了较大幅度的调整，难度、深度和广度大大降低了，那些在高中学习中经常应用到的知识，如：十字相乘法、根与系数的关系、实系数一元二次方程根的各种情况等都不作要求或要求较低。高中数学从知识内容上整体数量较初中剧增，高考中对学生的能力提出了更高的要求。新课改的教材内容容量大，高中数学课程分为必修和选修，其中必修课程由5 个模块组成，选修课程有4 个系列，必修课程是每个学生都必须学习的数学内容，选修课程可根据自身的兴趣、志向来选择不同的组合。

这样，相比之下，初中数学教学内容少，课堂容量小，而到了高中，知识点增多，课堂容量大，将对初中的数学知识推广和引申，也是对初中数学知识的完善。如：①三个人排成一行，有几种排队方法；②四人进行乒乓球双打比赛，有几种比赛场次？高中还将学习统计这些排列的数学方法。在初中数学中，对一个负数开平方无意义，但高中数学却把数的概念进行推广，使数的概念扩大到复数范围等。这些知识同学们在以后的学习中将逐渐学习到。

2、学习方法的差异

初中数学教学内容少，知识难度不大，教学要求较低，且课时较充足。因而课容量小，教学进度较慢，对于某些重点、难点，教师可以有充裕的时间反复讲解、多次演练，争取让同学们全面理解知识点和解题方法，课后老师布置作业，然后通过大量的课堂内、外练习、课外指导达到对知识的反反复复理解，直到学生掌握。而高中以来，教学教材内涵丰富，教学要求高，教学进度快，知识信息广泛，题目难度加深，知识的重点和难点也不可能象初中那样通过反复强调来排难释疑；高中课程开设多，每天上八节课，自习时间四节课，这样各科学习时间将大大减少，而教师布置课外题量相对初中减少，这样集中数学学习的时间相对比初中少，如果数学教师能像初中那样监督每个学生的作业和课外练习，就能达到像初中那样把知识让每个学生掌握后再学习新课。

3、学生自学能力的差异

初中三年的学习使得学生形成了习惯于围着教师转，满足于你讲我听、你放我录，缺乏学习主动性，缺乏积极思维，不会自我科学地安排时间，缺乏自学、看书的能力，碰到问题寄希望于老师的讲解，依赖性较强。大凡考试中所用的解题方法和数学思想，教师基本上已反复训练，老师把要学生自己高度深刻理解的问题，都集中表现在他的耐心的讲解和大量的训练中，而且学生的听课只需要熟记结论就可以做题，学生不需自学。考试时，学生只要记忆概念、公式、及例题类型，一般都可以取得好成绩。但高中的知识面广，要教师训练完高考中的习题类型是不可能的，只有通过较少的、较典型的一两道例题讲解去融会贯通这一类型习题，如果不自学、不靠大量的阅读理解，将会使学生失去这一类型习题的解法。另外，科学在不断地发展，考试在不断地改革，高考也随着全面的改革不断地深入，数学题型的开发在不断地多样化，近年来提出了应用型题、探索型题和开放型题，只有靠学生勤于思考，善于归纳总结规律，掌握数学思想方法，做到举一反三，触类旁通。

4、思维习惯上的差异

初中学生由于学习数学知识的范围小，知识层次低，知识面窄，对实际问题的思维受到了局限，就几何来说，接触的是现实生活中三维空间，但初中只学了平面几何，那么就不能对三维空间进行严格的逻辑思维和判断。代数中数的范围只限定在实数中思维，就不能深刻地解决方程根的类型等。高中数学知识的多元化和广泛性，将会使学生全面、细致、深刻、严密地分析和解决问题。也将培养学生高素质思维，提高学生的思维递进性。

二、搞好初中数学知识衔接教学

知识是相互联系的，高中的数学知识与初中的内容也紧密相联。可以说高中数学知识是初中数学知识的延伸和提高，但并不是简单的重复，所以在高一的教学中，若能深入研究两者之间潜在的联系和区别，正确处理好新旧知识的串连和沟通，便能顺利地进行初中数学与高中数学的教学衔接，使学生较快地适应高中数学的学习。

教学中，若能帮助学生先复习初中旧知识，恰当地进行铺垫，便能分散教学难点，减缓坡度，让学生在已有的水平上，通过努力，更好地理解和掌握新知识。如：必修1 中第三章“函数的零点”“用二分法求方程的近似解”，可先复习初中九年级下册第二章中“二次函数的图象”“二次函数与一元二次方程”；必修2 中第四章“直线、圆的位置关系”，可先复习初中所学的运用距离与半径的大小关系来判定的方法、圆中弦心距、半径、弦长之间的关系、配方法等。

三、学法指导，培养良好学习习惯

由于高中课程内容的增加，教师教法的改变，学生学习方法也应随着及时有效地进行自我调节。在初中，课程内容少，教师讲得详细，类型归纳得全面，学生惯于跟着教师转；而到了高中，课堂容量大，教学进度快，要求学生必须勤于思考，善于归纳总结，掌握思想方法，所以教师在指导学生学习方法时应以培养学生学习能力为重点，狠抓学习基本环节，包括：

（1）引导学生养成课前预习的习惯。