高中数学导数的概念及意义大全11篇

绪论：写作既是个人情感的抒发，也是对学术真理的探索，欢迎阅读由发表云整理的11篇高中数学导数的概念及意义范文，希望它们能为您的写作提供参考和启发。

篇（1）

明确的教学目标是开展高中数学教学的前提．莉莱说:“赢得好射手美名，并非由于他的弓箭，而是由于他的目标．”纪伯伦说:“人的意义不在于他所达到的，而在于他所希望达到的(目标)．”由此可见，目标的存在有着重要的意义．随着教育模式的创新和变革，当前教育界越来越注重学生的素质教育．在高中数学教学中，教师制定教学目标需要考虑素质教育的影响．在设计教学方案时，为了迎合学生的素质发展，教师往往将教学目标设置为三个领域目标，知识技能领域、过程方法领域以及情感态度领域．针对这三个领域分别设定教学目标，并在教学中采取合适的教学方式完成目标，是培养学生的综合能力的有效策略．例如，在讲“导数计算”时，为了培养学生基本的数学能力，提高学生的运用能力，我设计了三方面的教学目标．知识与技能目标:能够用定义求四个常用函数的导数，熟悉求导数的三个步骤，使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y=c、y=x、y=x2、y=1x的导数公式，并能运用这四个公式正确求函数的导数．过程与方法目标:通过本节的学习，掌握利用导数的定义求导数的方法．情感态度目标:通过课堂学习，体会导数与数学知识之间的联系，培养应用意识，提高对问题的分析能力，明白数学在研究整个自然科学中的重要位置．教学目标设定之后，一切教学活动就要围绕着教学目标进行．这样一来，整节课就有了主心骨，让学生知道自己该干什么，该学什么，提高学生的学习能力．

二、突出教学重点

教学重点是整节课堂中重要的内容．在高中数学教学中，教师要对教材内容进行详细分析，尤其是教学重点和难点．一节课的主要教学内容就是重难点部分．在教学过程中，教师要将本节课的重点内容列在黑板上，时刻提醒学生，引起学生的重视．教师还要利用丰富的教学工具，强化学生的记忆，刺激学生的大脑．例如，在讲“互斥事件”时，我将教学重点设置为互斥事件的概念及其概率的求法．我以探究为主导策略，为学生的探究活动精心创设问题情境，调动学生的积极性和参与性，并对学生的探究结果给出客观性的评价．此外，我留出部分时间供学生理解和消化所学知识．我提出一个案例问题:在一个盒子内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球，2个绿球，1个黄球，若从盒中摸出1个红球记为事件A，从盒中摸出1个绿球记为事件B，从盒中摸出1个黄球记为事件C，则事件A、B、C之间存在怎样的关系?引导学生对这个案例进行分析，使学生在分析的过程中领悟本节课的学习重点———互斥事件的概念及其概率的求法．经过学生的思考和探究，再加上我在课堂上的讲解和引导，学生最终明白事件A与B不可能同时发生．这种不可能同时发生的两个事件叫作互斥事件．突出教学重点，能够帮助学生提高学习效率，培养学生的综合能力．

篇（2）

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2015）120037

在实际的学习中，很多高中学生坦言，“数学是难以逾越的鸿沟。”其原因除了高中数学本身的逻辑性、抽象性和复杂性之外，还与高中数学教师的授课方式有关。一般意义上来讲，多数高中数学教师都是从认知的角度出发，将教学重点放在数学公式、数学概念、数学定理的推导与运用等方面，很少去关注学生的知识需求、内心情感等。并且“一刀切”的统一授课方式也导致很多数学基础差的学生力不从心，他们内心被尊重、被宽容、被理解的愿望难以达成，课堂学习效率必然不高。而赏识教育承认了个体之间的差异性，满足了学生渴望得到尊重和理解的愿望，这能够增强学生的自信心，激发起学生内心的积极性和主动性，使其以饱满的热情投入数学学习中，提高课堂学习效率。

一、差异赏识，尊重学生的个体差异

赏识教育是建立在尊重基础之上的，高中数学教师应该认识到不同学生的理解能力、思维能力以及数学基础等各方面存在一定的差异性，这是进行赏识教育的前提。

比如，人教版高中数学教材中“平面向量”这一章共涉及五个模块的问题，分别是平面向量的实际背景及基本概念、平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量的应用举例。在数学课堂上，则可进行差异赏识：数学基础较差的学生通过自己的努力掌握了平面向量的基本概念及简单的运算，就可适当进行肯定，“你的学习态度非常好，继续保持下去，数学成绩一定会有很大提高的”；数学成绩中等的学生通过一定的练习题掌握一些简单的综合题型做法，即可表示鼓励，“你的理解能力和接受能力不错，继续努力下去，会取得更好的成绩”；而数学成绩好、逻辑能力强的学生的创新性解题思路，应得到教师的赞扬，“这是一个不错的解题思路，老师都没想到呢！”如此，对不同学生采取不同的赏识策略，既尊重了学生的个体差异性，又可发挥出每个学生的最大潜能。

二、及时赏识，增强学生的自信心

对于每一个高中生而言，教师和同学们的肯定是非常重要的，尤其是教师肯定的言语、赞美的眼神都会大大增加学生的自信心。教师的每一句赞美都会被学生无限放大，从而产生积极向上的情绪情感，因此，对学生进行及时赏识，有利于激励学生奋发向上。

只有及时的表扬，才是最有价值的表扬。高中数学教师要有敏锐的洞察力，要善于发现学生每一个细小的进步，并及时给予肯定和鼓励，以增强学生的自信心，激发学生积极向上的学习状态。比如，在数学课堂上，学生甲的课堂纪律明显好转，就可在其表现较好的时候，及时给予肯定；学生乙回答的问题比较有创意，就可在其回答完之后进行赞美性点评；学生丙在全校体育运动会上为班级争得了荣誉，就可在运动会结束后及时给予表扬……因此，在对学生进行赏识性评价时，本着公开、及时的原则，会起到事半功倍的效果。

三、理性赏识，提高学生的辨识力

万物皆有度。有的教师陷入了赏识教育的误区，认为赏识教育就是无限的尊重学生、宽容学生、赞美学生，实则不然，只赏不罚容易演变成为不负责任的教育，容易降低学生的辨识力，甚至引发更加严重的后果。基于此，高中数学教师在进行赏识教育时，必须本着理性赏识的原则，掌握赏罚的尺度，注意赏罚的艺术。

在实际的数学课堂中，我始终坚持以赏识教育为主，但赏罚分明。只要发现学生有错误，就找机会指出来，帮助学生分析错误的原因，以提高学生的辨识能力。比如，在一次数学测验中，我发现一位学生的试卷上关于“导数”相关问题错得比较多，于是，我利用课间操时间将该生叫到办公室，首先指出了试卷上的错误，并帮其分析失分原因，还专门为其讲解变化率与导数、导数的计算、导数在研究函数中的应用、生活中的优化问题等与导数相关的系列问题。如此，该生明白了自己的错误，在不伤害其自尊心的前提下，我帮助该生补习了功课。

总之，赏识教育尊重学生的个体差异性，运用赞美的眼光看待每一位学生，有利于增强学生的自信心，是值得每一位教育工作者深入研究的新教学方法。我们相信，赏识教育的理性运用，必然能够提高高中学生的数学课堂效率。

[ 参 考 文 献 ]

篇（3）

现下高中学生的学习资料太多，以至于没时间认真研读数学教材，部分老师也将就学生在书山题海中完成教学任务，这样做学生一时半刻不会受影响，长此以往便会给学生自身带来许多困惑，因为长期只知其然而不知其所以然。数学教材是数学专家们历经几代人几十年的智慧成果，是开展数学学习的根本依据，下面简要谈谈教材在高中笛Ы萄е械闹匾性。

一、教材就是典型的导学案

教材内容饱满，符合学生认知状态，是其他任何辅导书讲义等不可比拟的。在高中数学教学中，把教材当作学生学习的导学案，依托数学教材开展数学教学能取得意想不到的效果。例如在导数及其应用部分的教学中，师生容易轻视导数的概念及对导数的推导过程而重视记忆各类函数的导数公式，这样会阻碍学生今后解决数学问题。教材中导数是由变化率到瞬时变化率（瞬时速度）来刻画的，接着再学习导数的几何意义。若能重视对教材的研读，就能深刻理解导数，灵学活用，更容易解决函数增减、最值问题、直线与曲线的交点问题等。

二、教材题目的设置具有代表性

教材例题或习题是命题者的重要素材来源，熟悉教材题目具有重要意义。比如：

例1：（2013，全国Ⅱ）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知a=bcosC+csinB.求角B。

例2：（2014，广东）在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c。已知bcosC+ccosB=2b，则 =_____。

例3：（2016，全国）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=C.求角C。

篇（4）

长期以来,由于受应试教育的影响,不少教师重解题、轻概念,造成数学概念与解题脱节的现象。有些教师仅仅把数学概念看作一个名词,概念教学就是对概念作解释,要求学生记忆。而没有看到像函数、向量这样的概念,本质是一种数学观念,是一种处理问题的数学方法。一节“概念课”教完了,也就完成了它的历史使命,剩下的是赶紧解题,造成学生对概念含糊不清,一知半解,不能很好地理解和运用概念,严重影响了学生的解题质量。如何搞好新课标下的数学概念课教学?

一、概念教学中,要根据阶段教学要求,准确把握教学尺度

高中数学新课程标准对每个年级、每个阶段的教学都提出了明确的教学要求,教师一定要根据教材的编排意图和阶段教学要求,准确把握教学尺度,帮助学生形成正确、清晰的概念。

二、在挖掘新概念的内涵与外延的基础上理解概念

新概念的引入,是对已有概念的继承、发展和完善。有些概念由于其内涵丰富、外延广泛等原因,很难一步到位,需要分成若干个层次,逐步加深提高。教师通过新旧概念比较分析,能使学生发现、理解新旧概念间的联系,从而掌握概念的方式叫概念同化。因此,在概念教学中教师不能忽视“概念同化”这一获取概念的主要形式。随着学生年级的升高,已学知识的积累,“概念同化”应逐步成为学生获取概念的主要形式。

三、概念教学不能忽视联系实际

高中生学习数学,常常要通过形象、具体、直观的感性材料,逐步抽象概括出数学概念,因此教师不能忽视联系实际这一环节。如在起始概念教学中,教师可联系学生日常生活实际,通过列举学生熟悉的具体事物引入概念;在教学过程中,重视挖掘与生活实际联系的因素,使学生掌握概念,并能够应用概念解决生活中的数学问题。

四、对不同的概念,要采取不同的方法

有时教师只需在例题教学中实施概念教学。比如:相关关系的概念是描述性的,不必追求形式化上的严格,建议采用案例教学法。对比函数关系,重点突出相关关系的两个本质特征在:关联性和不确定性。关联性是指当一个变量变化时,伴随另一个变量有一定的变化趋势;不确定性是指当一个变量取定值时,与之相关的变量的取值仍具有随机性。因为有关联性,才有研究的必要性。因为其不确定性,从少量的变量观测值,很难估计误差的大小,所以我们必须对变量进行大量的观测。但每个观测值都有一定误差,为了消除误差的影响,揭示变量间的本质联系,我们就必须用统计分析方法。

教师可先介绍概念产生的背景,然后通过与概念有明显联系、直观性强的例子,使学生在对具体问题的体验中感知概念,提炼出本质属性。如:“异面直线”概念的教学,教师可以在长方体模型或图形中(或现有的教室中),引导学生找到既不相交又不平行的两条直线,直接给出像这样的两条直线叫“异面直线”。然后教师画出一些看起来是异面直线其实不是异面直线的图,以完善异面直线的概念,再给出简明、准确、严谨的定义。最后教师可让学生在各种模型中找出、找准所有的异面直线,以体验概念的发生发展过程。

有时教师可联系其它概念,借助多媒体等一些辅助设施进行直观教学。比如:导数是微积分的一个核心概念,它有着极其丰富的背景和广泛的应用。在高等数学里,导数定义为自变量的改变量趋于零时,函数的改变量和相应的自变量的改变量之比的极限(倘若存在),涉及有限到无限的辩证思想,这样的数学概念是比较抽象的,这与初等数学在知识内容、思想方法等方面有较大的跨度,学生刚接触导数概念,往往把导数作为一种运算规则来记忆,却没有理解导数概念的内涵和基本思想。教师可在导数教学前要加强变化率的实例分析;利用多媒体的直观性,帮助学生理解动态无限趋近的思想;利用APOS理论指导导数概念教学。

有时教师可在情景设计、意义建构、例题讲解、课堂小结整个教学环节中实施。比如“函数”一课。我们知道函数是一个核心概念,函数思想是一种核心的数学思想方法。一位教师用三个实例(以解析式、图像、表格三种形式给出)设计情景,以小组讨论的形式让学生自己归纳出函数概念及三要素,又用四个例题层层深入地加深对概念的理解。整堂课紧紧围绕函数概念和思想方法进行教学,有“简约”而“深刻”的效果。

概念是人们对客观事物在感性认识的基础上经过比较、分析、综合、概括、判断、抽象等一系列思维活动,逐步认识到它的本质属性以后才形成的,数学概念也不例外。因此,数学概念的产生和发展,人们对数学概念的认识都要经历由实践、认识、再实践、再认识的不断深化的过程。学生要形成、理解和掌握基本的数学概念也是一个十分复杂的认识过程,这就决定了对较难理解的数学概念的教学不能一步到位,而是要分阶段进行。

五、新概念的巩固与运用

教师应用精选实例、设计巧题、加强练习等方法巩固和运用概念,使学生通过概念的掌握与运用,最终掌握数学思想方法。学生认识和形成概念,理解和掌握之后,巩固概念是一个不可缺少的环节。

篇（5）

【分类号】G633.6

数学教学是高中学科教学的重要组成部分，但受各种因素的影响，尤其是受高考指挥棒的影响，大多数的数学教学常常存在着只重知识、结论，而忽视推理过程、数学思想等情况。在这种思想指导下，在教学过程中就出现了只注重向学生传授知识、掌握概念、记住公式等情况。可想而知，学生面对这些枯燥晦涩，知其然而不知其所以然的所谓“知识”，想学好高中数学将面临多大困难。这不仅会使学生对学习高中数学失去兴趣，而且也会使得他们产生厌学情绪，最终导数学成绩滑坡。此外，数学中蕴含的人文精神以及数学之美，也就难以体会到了。所以，广大高中数学教师在教学过程中，很有必要渗透数学文化的相关内容，让学生不仅知其然，而且可以知其所以然；不仅可以学到数学知识，而且还能明白这一知识是谁发现的，是在什么情况下发现的，其中有什么故事，等等。这样学生就可以了解到自己所学知识的来龙去脉，可以充分感受数学的学科价值（科学价值、应用价值、人文价值），从而提高课堂教学效果，提升学生素质。

一、数学文化的含义

数学是人类知识、意识、经验积累的成果，在其产生、传播、发展的过程中，蕴含在深厚的文化内涵。从学科角度看，数学可以从广义和狭义两个角度来看。通常来说，广义的数学包括数学知识、数学观点、数学方法、数学家、数学史、数学美、数学教育、数学与其他学科的融合等。狭义的数学则仅指以各类数学学科为代表的数学知识。

在现代社会中，随着社会的发展和科学技术的进步，数学学科的内容也发生了很大的变化。数学思路、数学文化的因子在数学中已经逐渐引起了人们的重视。那到底什么是数学文化呢？虽然对此，仁者见仁，智者见智，但大多数人认为，所谓数学文化，是指在数学知识的产生、传播、发展过程中，在与数学相关的组织内形成的对人的发展具有重要促进作用和启迪价值的笛思考方法、数学思想观念及数学精神品格等。在这其中，核心是数学的观念和思维方式。可见，数学文化作为人类文化体系中的瑰宝，由于其具有独特的魅力，，所以，数学文化已形成了一中与众不同的文化系。

二、将数学文化融入高中数学课堂的必要性

从数学的学科特色看，它既是一门基础性学科，也是一门工具性学科，可以说几乎所有的学科都与其有着千丝万缕的联系。相应地，数学作为一种文化，与其他文化也有着密不可分的联系。这就决定了对数学的认识，不能仅仅作为一门工具来看待，而要要让学生从本质上视其为一种文化，一种提升自身素质必须要体验的文化。著名学者米山国藏认为：“在学校学的数学知识， 毕业后若没什么机会去用， 不到一两年， 很快就忘掉了。然而， 不管他们从事什么工作， 唯有深深铭刻在头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等， 却随时随地发生作用， 使他们终身受益。”所以，“从文化的角度理解数学教学”，将数学文化渗透与高中教师的日常教学中无疑将不仅仅对学生掌握数学知识产生积极作用，而且将对学生的终审素质的培养打下良好的根基。

数学文化不仅有助于提升学生的自身素质，而且对于教师提升自己文化修养，增强课堂教学效果也有着良好的作用。教师苏轼提高了，才能更加有效地设计课堂教学，特别是将好像与高中课堂教学的无关的数学文化润物细无声地传递给学生，为学生消息数学创造良好氛围。从而使学生爱上数学，而不至于对学习数学产生畏难情绪。

此外，对于现代教学提倡的培养学生的创新精神，数学文化也发挥着积极的启迪作用。从数学学科特点来看，它与很多学科都有交叉，在交叉中，就意味着交流，就意味着智慧的碰撞，碰撞的结果就是创新的成果。

因此，在高中数学教学中，教师不仅要教授数学知识，而且要更加重视数学文中数序思维、数序观念的培养。这样，才能培养学生的创新精神，才能真正培养出符合新时代需要的人才。

三、将数学文化融入高中数学教学的方法

在课堂教学过程中介绍与所授知识相关的数学史。数学史是数学发展的历程，其中有数学家的精彩故事，有每一个知识产生的来龙去脉，有数学文化发展的熠熠生辉的事迹。从中，学生可以体会到，知识产生的过程，学人勤奋刻苦的钻研精神，以及他们的创新思维。从而让学生觉得，数学不是冷冰冰的符号、公式、数字，而是蕴含鲜活故事、数学家闪光只会的人类文明的结晶。

在课堂教学中改进教学方式。在很多高中教学实践中，不少老师还在“填鸭”，其效果是可想而知的。如果换一种方式，比如在讲某一数学知识时，讲一讲心形线、笛卡尔叶形线、三叶玫瑰线，让学生领略一下数学之美估计更有助于学生理解相关知识，并且能激发学生进一步学习的兴趣。

此外，在课堂教学中，要要注重理论知识与实践应用相结。换句话说，就是将抽象的理论具体化，从而让学生觉得数序不是看不见摸不着的虚无缥缈的理论，而是可见的，与我们生活密切相关的。从而提高学生学习的兴趣和数学文化素养。从另一个角度说，数学以及数学文化来源于实践，将数学知识与实践应用结合，更有助于学生感受数学文化。

因此，在高中数学教学中，非常有必要融人数学文化的内容，这对于提高课堂教学效果，提升学生素质，具有非常重要的意义。

参考文献

1. 齐民友.数学与文化[M].大连：大连理工大学出版社2008.

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点评：函数定义域是高考的常考内容之一，一般情况下，函数的定义域就是指使函数解析式有意义的所有实数x的集合，但实际问题的定义域必须具有实际意义，对含参数的函数定义域必须对字母参数分类讨论.在一些具体函数综合问题中，函数定义域往往具有隐蔽性，所以在研究这些问题时，必须遵循“定义域优先”的原则.

二、函数图象问题

点评：由于近年来高考试题加强了数形结合思想的考查，最明显的是高考试卷中函数图象考题的增多.要掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的图象和性质，在此基础上，理解掌握常见的图象平移、对称及伸缩变换，通过对图象的识别来考查函数的性质.

三、函数求值问题

点评：函数求值问题一直是高考常考不衰的题型，它在高考中的突出地位应引起高度重视，有关函数求值问题大多是通过利用函数的奇偶性或周期性，将未知值转化为已知值问题.

四、函数单调性问题

（1）当01；

（2）是否存在实数a、b（a

（3）若存在实数a、b（a

（2）不存在满足条件的实数a、b.

若存在满足条件的实数a、b，使得函数f（x）的定义域、值域都是[a，b]，

与a

②当a、b∈[1，+∞）时，f（x）=1-1x在[1，+∞）上为增函数，

故此时不存在适合条件的实数a、b.

③当a∈（0，1），b∈[1，+∞）时，由于1∈[a，b]，而f（1）=0[a，b]，

故此时不存在适合条件的实数a、b.

综上可知，不存在满足条件的实数a、b.

（3）若存在实数a、b（a0，m>0.

①当a、b∈（0，1）时，f（x）=1x-1在（0，1）上为减函数，值域为[ma，mb]，

与a

②当a∈（0，1），b∈[1，+∞）时，由于1∈[a，b]，而f（1）=0[ma，mb]，

故此时不存在适合条件的实数a、b.

③当a、b∈[1，+∞）时，f（x）=1-1x在[1，+∞）上为增函数，

点评：函数单调性是高考热点问题之一，在历年的高考试题中，考查利用函数单调性的试题屡见不鲜，既可以考查用定义判断函数的单调性，用反例说明函数不是单调函数，求单调区间等问题，又可以考查利用函数的单调性求应用题中的最值问题.函数的单调性是探索函数值域或最值的常用工具，是函数思想在解题中的具体体现，应当引起重视.解存在性问题的常用方法是先对结论做肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行探索，由探索结果是否出现矛盾来作出正确判断.

五、三个二次问题

例5 已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，且|AB|=4，它在y轴上的截距为-3.又对任意的x都有f（x+1）=f（1-x）.

（1）求二次函数的表达式；

（2）若二次函数的图象都在直线l：y=x+m的上方，求实数m的取值范围.

（2）由条件知，x2-2x-3>x+m，即x2-3x-3-m>0对于x∈R恒成立，

点评：二次函数、二次不等式、二次方程是高中数学的重要内容，它把中学数学各个分支紧紧地联系在一起.以“三个二次”为载体，综合二次函数、二次不等式、二次方程交叉汇合处为主干，构筑成知识网络型代数推理题，在高考试题出现的频率相当高，占据着令人瞩目的地位.

六、函数应用问题

例6 某公司是一家专做产品A销售的企业，第一批产品A上市销售40天内全部售完.该公司对第一批产品A上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图一、二、三所示，其中图一中的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图二中的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图三中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系（国内外市场相同）.

篇（7）

高中阶段物理学习中涉及很多抽象的物理概念及物理量，其中有很多是由导数定义的，这些物理量一般反映某物理量关于时间或位置坐标变化的快慢即变化率，它往往具有瞬时性，属于状态量.学生因为不能直观地定义它们，所以对概念和物理量的记忆、理解、运用产生了障碍.如果弄清了导数，理解和求解这些反映变化率的物理量就变得简单多了.例如：速度可理解为位置坐标对时间的变化率及V=ΔxΔt=x′（t）；加速度可理解为速度对时间的变化率a=ΔVΔt=V′（t）；感应电动势可理解为磁通量对时间的变化率E=ΔΦΔt=Φ′（t）；力可理解为动量对时间的变化率F=ΔpΔt=p′（t）；另外还有线速度大小V=ΔlΔt=l′（t）、角速度ω=ΔφΔt=φ′（t）、电流强度i=ΔyΔt=q′（t）等等.

二、运用导数几何意义讨论物理中极值问题

中学物理问题中经常出现极值问题，处理方法很多，常见的有三角函数法、配方法、不等式法、判别式法、求导法等等.其中求导是一种最通用的方法，因为求导法可以适用于各类函数.如：三角函数、指数函数、幂函数等.运用导数求极值首先要搞清导数的几何意义.导数的几何意义：函数f（x）在x0处可导，其导数值f ′（x0）表示曲线y=f（x）在（x0，y0）切线的斜率.若f ′（x0）=0，函数f（x）在x0处取极值.运用求导讨论物理学中极值问题就是根据导数的几何意义来求.先写出物理量变化的函数关系，然后图1求导，令导函数为零得到极值条件，最后代入原函数求出极值.

下面通过常见实例介绍这种方法.

例我们经常讨论真空中两固定的等量同种点电荷中垂线上各点电场强度随位置变化的规律，虽然通过电场线分布可以得到定性结论，但不够严谨具体.可以利用导数来做简单的分析.设它们电荷量均为q，相距为r，沿任意一条中垂线建立x轴，中点O为坐标原点，如图1所示.则x轴上各点电场强度

E=2kqx（x2+r24）3，求导得E′（x）=2kq（r2/4-2x2）（x2+r24）5

令E′（x）=0，得到极值条件x=±24r和x=±∞，再将条件代入即可以求极值.这里应注意，讨论电场强度大小时o点也取极值，讨论时要撇除负号对问题的影响，因为电场强度的正负只表示方向不表示大小.

三、运用导数和高阶导数拟合物理量变化函数图像

导数几何意义中指出，一阶导数能反映函数图像的单调性，二阶导数能反映函数图像的“凹凸”性.一阶导数为正值表示递增、负值表示递减；二阶导数为正值表示图像“凸起”，负值表示图像“凹陷”.这一特点在拟合常见的物理量变化函数图像中运用的十分广泛.中学物理中关于一阶导数运用例子较多，但拟合物理量变化函数图像时很多师生没有深入去讨论，导致图像不能反映客观规律.下面就列举一个典型的例子.

例如讨论纯电阻电路时，闭合电路电源输出功率P随外电阻R的变化关系通过不等式或求导的方法很容易得到大致的变化关系，并求出最值.若要拟合P-R的函数图像就不太容易了.首先P随R增大先增大后减小，会得到如下可能图像.这几个图像在一些教学杂志和教辅资料上都出现过，哪个图像客观反映P-R的变化规律呢？

篇（8）

一、问题的提出

在新课程改革中，教材在必修与选修中都引入了向量，其目的很明确，即为研究平面几何、空间几何问题提供新的研究手段，充分体现向量的工具性.向量这个既有大小又有方向的量，不仅从“数”的方面可以运算，也可以从“形”的方面巧妙呈现，所以高中数学中向量的问题，往往比较灵活，而其中数量积问题（也称内积），既考查数量积概念及几何意义的灵活运用，又考查几何图形性质的应用，学生往往无从下手.究其原因，发现不少学生只是粗浅地记忆数量积公式，没有站在向量整个模块的高度来审视数量积.

向量数量积不同于向量的线性运算，因为它的结果是数量，不是向量.向量数量积与距离、夹角等紧密联系，用它可以解决一些涉及距离、夹角的几何问题.但是作为工具性的章节，向量的考查往往又与三角函数、解三角形、圆、函数与导数等交汇，综合强度大，学生往往困于破解的突破口，本文将追根溯源，探求数量积概念的本源，揭示处理数量积问题常用的几种角度.

二、数量积的定义及其意义

三、平面向量基本定理与数量积的坐标表示

平面向量基本定理是向量坐标表示的理论基础.直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的单位向量是它的一组正交基底，平面内任何一个向量都可由一对有序实数（x，y）表示.这样建立了向量的坐标表示与点的坐标表示的对应关系，把向量（以原点为始点的有向线段）与点对应起来.

由此可见，合理选择基底，把所求向量都用基底转化，再进行数量积运算，则可以有效计算出数量积.这是从选择基底的角度转化表示数量积，体现了化归与转化的思想.

用坐标法解决几何问题的基本过程就是：合理建系，坐标表示，向量运算，化简结果，最后再把向量运算结果翻译成几何结论.

若能方便建系，表示所求点的坐标，则可快速表示数量积.这是从坐标化的角度表示数量积.这两个角度可以说是从教材中数量积这一节与前后两节知识联系而挖掘出来的.

评析：由单位圆出发，建系，使用三角函数定义设点，表示所求向量坐标，数量积一运算，貌似复杂，但继续算下去经三角变换，发现可以合并成一个三角函数，利用三角函数有界性可快速求出最值.真是“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”！而还可以求出最小值或范围.相比于前两种角度，第三种角度思维量小，计算量也不大，抓住三角函数定义这个本质，较彻底地认识・的变化情况.

篇（9）

一、注重导数的几何意义

导数的几何意义是高考涉及导数知识时经常考查的一个知识点，如求切线的斜率、求切线的方程等，难点在于对其几何意义的正确理解.

例1 （2008江苏8）直线y=1[]2x+b是曲线y=lnx(x>0)的一条切线，则实数b＝.

解析 求曲线的切线（包括给出的点在或不在已知曲线上两类情况）为主要内容，求切线方程的难点在于分清“过点(x0,y0)的切线”与“点(x0,y0)处的切线”的差异.突破这个难点的关键是理解这两种切线的不同之处在哪里：在过点(x0,y0)的切线中，点(x0,y0)不一定是切点，点(x0,y0)也不一定不在切线上；而点(x0,y0)处的切线，必以点(x0,y0)为切点，则此时切线的方程才是y-y0=f′(x0)(x-x0).求切线方程的常见方法有：①数形结合.②将直线方程代入曲线方程利用判别式.③利用导数的几何意义.

二、强化导数的基本运算及简单应用

导数的基本运算是导数应用（单调性、极值、最值）的基础，是高考重点考查的对象，考查的方式以填空题为主.

例2 （2009江苏3）函数f(x)=x3-15x2-33x+6的单调减区间为.

解析 对于导数的复习，应该立足基础知识和基本方法，应注意以下几点：

（1）在求导过程中要紧扣求导法则，联系基本函数求导公式，对于不具备求导法则结构形式的要注意适当恒等变形.（2）用导数法研究函数的单调性、极值及最值时要特别注意函数的定义域，因为一个函数的导数的定义域可能和这个函数的定义域不相同.（3）近年高考中经常出现以三次函数为背景的问题，复习中应加以重视.

三、加强利用导数研究函数性质问题的研究

运用导数的有关知识，研究函数的性质是历年高考的热点问题.高考试题常以解答题形式出现，主要考查利用导数为工具解决函数、方程及不等式有关的综合问题，题目较难.

例3 （2011江苏19）已知a，b是实数，函数f(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx,f′(x)和g′(x)分别是f(x),g(x)的导函数，若f′(x)g′(x)≥0在区间Ⅰ上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间Ⅰ上单调性一致.

（1）设a>0，若函数f(x)和g(x)在区间［-1,+∞)上单调性一致,求实数b的取值范围；

（2）设a

解析 这类问题常常涉及求函数解析式、求参数值或取值范围问题.解决极值、极值点问题转化为研究函数的单调性，参数的取值范围转化为解不等式的问题，有时须要借助于方程的理论来解决，从而达到考查函数与方程、分类与整合的数学思想.

四、运用导数解决实际问题

近几年，高考越来越注重对实际问题的考查，因此要学会应用导数解决有关最优化的问题及即时速度、边际成本等问题，学生要有运用导数知识解决实际问题的意识、思想方法以及能力.实际应用问题的考查将是高考的又一热点.

例4 （2010江苏）将边长为1 m的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=(梯形的周长）2[]梯形的面积,则S的最小值是.

解析 解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数.把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题，再化归为常规问题，选择合适的教学方法求解（尤其要注意使用导数解决最优化的问题）.

通过以上考点回顾和热点分析，我们在导数的复习备考中须要注意以下几个问题：

1.要把导数的复习放在函数大背景下来复习.同时注意定义域优先、函数方程的思想、数形结合思想、分类讨论思想、恒不等式问题常见处理方法，等等.

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（一）聚焦导数高考

1.导数考纲解读

了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义. 能用给出的初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.能求复合函数（仅形如f（ax+b））的导数.理解函数单调性和导数的关系，能用导数研究函数的单调性.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求（不超过三次）函数的单调区间和极值，会求闭区间上函数的最值.掌握用导数解决实际生活中的优化问题的方法和步骤，如用料最少、费用最低、消耗最省、利润最大、效率最高等.掌握导数与不等式、几何等综合问题的解题方法.

2.纵观近年导数高考

利用导数处理函数、方程和不等式问题是高考必考的内容，常以大题的形式出现，并有一定的难度，往往放在解答题的后两题中的一个.试题考查丰富的数学思想，如函数与方程思想常用于解决函数与方程的相关问题，等价转化思想常用于不等式恒成立问题和不等式证明问题，分类讨论思想常用于判断含有参数的函数的单调性、最值等问题，同时要求考生有较强的计算能力和综合问题的分析能力.纵观近几年各地的高考题，对于导数知识常见的考点有，导数几何意义的应用，导数运算和解不等式相联系，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，研究不等式的综合问题和实际问题的最优解问题.

3.2014年导数命题趋向

伴随教育教学改革的深入开展，提高学生能力的问题越来越引起重视.由高考命题原则，每年试题追求“能力立意”，但基本平稳.纵观近年高考分析，求导公式和法则及导数几何意义是高考热点，题型既有选择、填空，又有解答，难度中档左右，在考查导数概念及运算的基础上，又注重与解析几何知识的交汇命题. 以导数的几何意义为背景设置成导数与解析几何的综合题为主要考点，重点考查运算及数形结合能力 .利用导数研究函数的单调性和极值一直是热点，有小题和解答题，小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，解答题主要考查导数与函数单调性、导数与方程和不等式的综合应用.利用导数来研究函数的最值及生活优化问题成为高考的热点，试题大多有难度，多与函数的单调性、极值结合命题为考向，考生学会做综合题的能力.微积分基本定理是高中数学的新增内容，考查的频率较低，难度较小，且均以客观题出现，重在基础知识、基本方法的考查.

（二）重视一题多解，鼓励创造性

随着高中课程改革的不断深入，新课标的不断推进，《考试大纲》强化主干知识，从学科整体意义上设计试题，强调数学思想和方法，深化以能力立意，突出考查能力与素质的导向，坚持数学应用，考查应用意识.开放探索，考查探究精神，开拓展现创新意识的空间，适当增加开放型的试题，鼓励有创造性的解答.笔者结合这一高考要求，选择了一道以导数方法为工具的函数问题“2010年高考新课标全国卷文科数学试题的21题（Ⅱ）小题”，并以一题多解的形式作出了如下探究，其目的在于引领我们的学生不要拘泥于标准答案，要大胆放手自我尝试与探究，充分挖掘自己的创造能力，逐步培养自己采集信息、推演信息、验证和计算信息的能力.

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1.1 集合模块

1.1.1 考试内容与要求:主要考察集合、子集、交集、并集、补集。要求理解它们的概念;了解空集和全集的意义;了解属于、包含、相等关系的意义;掌握有关术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合。

1.1.2 命题趋势:①集合是中学数学基本概念之一,有关集合的高考题往往体现集合的概念、运算、语言及简单的运用,经常作为工具广泛运用于函数、方程、不等式、三角及曲线轨迹等知识中,在高考中占有重要地位。②考点是集合与集合之间的关系,近年高考试题加强了对集合的计算、化简的考查,并向无限集发展,考查抽象思维能力。一般以选择题形式出现,难度为易。

1.1.3 应试对策:①掌握术语、符号,加强集合之间关系题目的训练,注意利用几何直观性研究问题(文氏图、数轴);②注重数学思想的掌握,以数形结合(文氏图、数轴)、分类讨论思想为主;③注意特殊题型的解法。

1.2函数模块

1.2.1 考试内容与要求:主要涉及函数、映射、函数单调性、奇偶性、函数图象的性质。了解映射的概念,理解函数概念,掌握对应法则、图象等有关性质。高考对于对应关系、定义域、值域的考查要高于课本题目水平,对于函数单调性、奇偶性的考查需结合定义及图象辅助进行解题。近5年,高考试题经常在函数与方程、不等式、数列、解析几何等知识的交汇点编制试题,其特点体现在三个方面:问法新颖;背景新颖;与其他知识结合巧妙。

1.2.2 命题趋势:在整个高考中单纯的函数本身的综合,客观题中每年必考,以考查运用函数思想解题为目的的新题经常出现,而解答题中,近年纯粹函数考题很少,与导数、不等式等相结合的题目几乎每年必考,而且分值较大。

1.2.3 应试对策:①建立良好的知识体系是前提;②审清题意,把握本质,展开联系,运用由一般到特殊、转化化归、分类讨论等数学思想把较为复杂的问题简单化;③注意加强函数与其他知识交汇点的题型的剖析和训练。

2必修2模块分“立体几何”与“直线和圆”两个章节

2.1 立体几何模块

2.1.1 考试内容与要求:主要考察三视图、平面及其基本性质,平面图形的斜二侧画法,平行直线,直线和平面平行的判定与性质,直线和平面垂直的判定与性质,平面间平行与垂直的判定与性质。

2.1.2 命题趋势:直线与平面的位置关系是研究立体几何的核心,其中既有单独考查直线与平面位置关系的试题,也有以空间角、距离、或简单几何体的计算为载体考查直线与平面位置关系的试题。各种题型均有,考查逻辑思维能力。

2.3应试对策:①熟练掌握定义、判定与性质定理,并能够进行三种语言的相互转换;②综合法、分析法相结合,适当添加辅助线寻找证明思路;③充分利用身边的物体,提高空间观念,如教室是长方体,纸是平面,对折可看成二面角等;④平行、垂直是考核重点可将有关定义、定理包括习题中的一些结论,按照三种语言归纳整理成表格形式,便于理解记忆。

3解析几何模块“直线和圆”

1. 考试内容与要求:理解直线的倾斜角和斜率的概念及关系,掌握斜率公式,掌握直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式及其使用条件;掌握圆的标准方程和一般式方程,熟练掌握直线与直线、圆的位置关系。