数学除与除以的区别大全11篇

绪论：写作既是个人情感的抒发，也是对学术真理的探索，欢迎阅读由发表云整理的11篇数学除与除以的区别范文，希望它们能为您的写作提供参考和启发。

篇（1）

在数学教学中，不少教师和学生把名数与单位名称等同起来，其实它们是有区别的。对于列式解决应用题后在计算结果后面需要写上“单位名称”，是在二年级上册教材“加和减”这个单元出现的。“不要忘了写单位”是数学教师经常挂在嘴边的一句话，目的在于提醒学生在列式解决实际问题时，不要忘了写得数后面的单位名称。但细细一想，“单位”是“单位名称”的缩写吗？“不要忘了写单位”这句话在阐述上对吗？说到这里，就不得不提提“单位”、“单位名称”和“名数”这三个概念的含义以及它们之间的关系。

数学中的“单位”一词，是指测量某个物理量时用来进行比较的标准量。比如，测量长度用1米做为单位，计量质量用1千克做为单位，计算时间用1秒做为单位，测量液体的多少用升或毫升为单位。1米、1千克、1秒、1升这些都是“带有名称的单位”，它们的“单位名称”分别是米、千克、秒、升等。

“名数”，是指带有单位名称的数，即量数和单位名称合起来叫做名数。如5升、7千克、6米、13吨20千克等。“名数”有“单名数”和“复名数”之分。“单名数”是只含有一个单位名称的名数，如5升、7千克、6米等；“复名数”是含有两个或两个以上的同类单位名称的名数，如13吨20千克、5小时30分17秒等。

知道什么是“单位”“单位名称”和“名数”，就可以弄清它们之间的联系和区别。有“单位”的数，不一定都有“单位名称”，也不一定都是“名数”。“名数”一定具有相应的“数”和“单位名称”。

因此，在实际应用中要防止混淆概念，不能把忘记写“单位名称”，说成是忘记写“名数”或忘记写“单位”。

误区二：“因数”“约数”的概念不清

小学四年级上册第七单元是“因数和倍数”，这里的“因数”就是指原来的“约数”，新教材中不再出现“约数”这两个字。

其实，在“数的整除性”中，约数和因数是两个重要的概念。在小学数学中，接触因数是在整数乘法时，所有的乘数对于积来说，都是因数。约数是在“数的整除性”中出现的，它与倍数是在“整除”概念的前提下，同时建立起来的概念。以6÷3=2为例，6能够被3整除，也能被2整除，因此，对6来说，3和2都是它的约数。如果换成乘法算式：3×2=6，对于乘积（6）来说，3和2都是它的因数。由此可见，只有在“整除”的范畴内，才能谈得上约数，而在乘法中，因数早已经存在了。

约数与因数的另一个区别，还在于各自的应用范围上。约数的应用范围是有限的，它只存在于“数的整除性”这部分知识当中。因数的应用范围则比较广泛，无论整数、小数、分数、百分数，以及到中学后所接触到的负数，只要出现了乘法，就存在着因数的概念。

例如：在小数中2.4×0.8=1.92，2.4与0.8都是1.92的因数。

为了减少学生不必要的名词记忆，很多新教材中不出现约数这个名词。虽然新教材中不出现“约数”了，但由于一些老教师或家长还是按以前的说法来辅导学生，一些练习册中也要经常出现“约数”，学生还是会混着说的。我们应该尽量去规范学生的说法，但也告诉他们，在遇到“约数”时，应该知道指的是“因数”。

误区三：综合算式的读法不规范

篇（2）

教师出示“整理与复习”中的第2题。

147÷20= 312÷50= 720÷70=

147÷21= 312÷53= 720÷72=

147÷29= 312÷58= 720÷68=

师：请同学们观察一下这些题目，有什么共同特点？

生：都是三位数除以两位数。

师：你们会算吗？请大家先算一算第一组的三道题。

学生计算后，集体校验每道题的结果。教师统计全班学生的练习情况，剖析练习中的错误，并板书：

①147÷20=7……7

②147÷21=7

③147÷29=5……2

师：第一组题中，你可以帮这三道题分分类吗？

小组同学之间相互讨论、反馈。

生：我想把第①②题归为一类，第③题为另一类。

师：你们知道他这样分类的理由吗？

生：因为第①②题可以直接试商，而第③题需要调商。

师板书：调商。

生：我想把第①③题归为一类，第②题另为一类，因为①③两题都有余数，而第②题没有余数。

师：没有余数的除法怎么验算？有余数的除法呢？请你从中各选一题验算一下。

学生验算后，师生共同总结除法的验算方法。

师：大家观察得真仔细，那么你还有什么发现吗？

生：被除数都是147。

生：除数20、21、29，变得越来越大。

生：被除数相同，除数越小，商越大；反之，被除数相同，除数越大，商越小。

师：第①②题的商都是7呢，你又能发现什么呢？

生：被除数相同，如果商一样，那么余数越大，除数就越小；反之，被除数相同，如果商一样，那么余数越小，除数就越大。

师：回忆一下，刚才你们是怎样计算三位数除以两位数的？

生：笔算三位数除以两位数的除法时，通常把除数看作与它接近的整十数来试商，计算时从被除数的高位除起，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位上面，除得的余数必须比除数小。

师：那也就是说两位数可以分成非整十数和整十数两类，我们还要把非整十数转化为整十数来试商，这里还渗透了转化的思想，帮助我们解决了难题。

教师根据学生的小结，顺势板书：非整十数，整十数，转化。

师：根据同学们刚刚所说的方法，请大家完成第二组的三道题目，比一比谁做得既快又准确。

学生计算后，集体校验每道题的结果。教师反馈全班练习的情况，并板书：

④312÷50=6……12

⑤312÷53=5……47

⑥312÷58=5……22

师：这一组题，结果都有余数，那你觉得可以怎么分类呢？

生：把④⑥分成一类，⑤分成另一类，因为④⑥试商以后，不需要调商，而⑤试商以后需要调商。

师追问：这组中的⑤312÷53=5……47与第一组中的③147÷29=5……2都需要调商，那它们在调商的时候有什么不同呢？

学生独立思考。

生：第⑤题是把53看做50，用6试商，发现不够减，说明商太大了，要调小；而第③题是把29看做30，用4试商，发现余数比除数大，说明商太小了，要调大。

师：调商的规律，我们总结成一句话――看小调小，看大调大。

师板书：看小调小，看大调大。

师：至此，我们一起总结了调商的方法，同学们的概括能力、语言表达能力都不错。请同学们完成第三组的三道题目，比一比谁做得既快又准确。

学生计算后，集体校验每道题的结果。教师反馈全班练习的情况，并板书：

⑦720÷70=10……20

⑧720÷72=10

⑨720÷68=10……40

师：你在做这组题的时候，发现与第一组题有什么不同吗？

生：我发现第⑦题除到被除数的个位时，个位上不够商1，要用0占位。第⑨题也是这样。

师：请大家比较一下第一组题和第三组题的商，都是三位数除以两位数，你又发现了什么？

生：三位数除以两位数，商可以是一位数，也可以是两位数。

师：为什么第一组的商是一位数？而第三组的商是两位数呢？

生：先看被除数的前两位，第一组，被除数前两位比除数小，就要看前三位，商写在个位上，所以第一组的商是一位数；而第三组，被除数前两位等于除数或大于除数，所以第三组的商写在十位上，是两位数。

师：总结得太好了。通过这三组题，我们总结出了整数除法的计算法则――先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要用0占位。我们还学会了三位数除以两位数的调商的方法――看小调小，看大调大。

师板书：商是一位数，商是两位数。

板书：

【课后分析】

第一，教材为什么要编制这一题组？

笔者认为备课时有必要对教材进行深入解读与分析。这一单元主要目标是让学生经历探索三位数除以两位数算法的过程，会笔算三位数除以两位数。在“整理与复习”中安排这一题组，除了变化形式为学生提供笔算三位数除以两位数的机会外，还有更重要的目的：通过思考，把握题目之间的联系和区别，主动发现计算规律，在更高层次上理解算法、运用算法，发展数学思考能力。从上述教学过程中，看出了执教者如何体现“引导学生在计算过程中积极思考”。

第二，学生的认知Y构是否得到必要完善？

篇（3）

小学生由于生活接触面窄，社会实践经验少，感性知识比较贫乏，空间想象力差，采用比较的方法进行教学，可使学生对感性知识获得较深刻的印象。如在教学毫米和分米的认识（人教版小学数学第五册）时，因为学生已经认识了“1厘米”，为了使学生对“1毫米、1分米”有比较正确的认识，可以让学生拿着尺子，对着“1毫米”和“1厘米”的刻度进行比较，再拿“1分米”和“1厘米”比较，然后让学生用手势表示出“1毫米”“1厘米”和“1分米”的长度，最后让学生填空：课桌宽大约是60（），一块橡皮的长大约是30（），数学教本的长度大约是2（）。通过这样的比较，学生对这些长度单位就有了比较深刻的印象。同样，用比较的方法教学面积单位、体积单位，也会取得很好的教学效果。

二、运用比较法，理解内涵，掌握概念

为了使学生正确地理解和掌握概念，就要揭示概念的本质属性，充分理解其内涵，而对事物进行比较是揭示概念本质属性和理解内涵的重要学习方法。如教学“整除”这个概念时，让学生对一些除法算式进行比较，如16÷8=2，9÷6=1.5，9÷1.5=6，10÷3=3……1，知道单有“商是整数而没有余数”这个条件，还不能判断一个数能被另一个数整除，还必须有“被除数和除数都是整数”这个条件才行。通过比较，学生正确地理解了整除的含义。再如教学“求比值”和“化简比”，要从意义、方法和结果三方面进行比较，“求比值”也就是求商，而“化简比”是把一个比较复杂的比化成一个最简单的整数比；“求比值”和“化简比”的方法可以通用，都可以用除法计算；“求比值”和“化简比”的结果是不同的，“求比值”的结果是一个“数”，可以写成分数、小数，有时能写成整数，而“化简比”的结果则是一个“比”，可以写成真分数或假分数的形式，但是不能写成带分数、小数或整数。比较以后，学生才能充分理解“求比值”和“化简比”的内涵。

三、运用比较法，新旧知识联系，形成知识网络

在教学一个新知识点时，如果能与以往学过的旧知识相联系，进行比较，弄清新旧知识的联系与区别，不但容易学会新知，还巩固了旧知，并且使知识系统化，形成知识网络。如教学“比的意义”时，将“比”“除法”和“分数”进行比较，可列表如下：通过这样比较，使学生明确比和除法分数的关系和区别，把比、除法、分数联系起来，形成知识网，为后面学习“比”的应用打下基础。

四、运用比较法，区别应用题的结构

正确选择解法在应用题的教学中，经常应用比较的方法来区别应用题的结构，以便分析数量关系，选择正确的解题方法。如低年级的加减法应用题、乘除法应用题、高年级的分数乘除法应用题。如教学应用题：（1）池塘里有12只鸭和4只鹅，鹅的只数是鸭的几分之几？（2）池塘里有12只鸭，鹅的只数是鸭的13，池塘里有多少只鹅？（3）池塘里有4只鹅，正好是鸭的只数的13，池塘里有多少只鸭？通过比较，学生知道了应用题在结构上的相同点和不同点，使他们懂得第（1）题，根据分数的意义和分数与除法的关系，要用除法来计算。第（2）题，根据一个数乘分数的意义，用乘法计算。第（3）题，根据一个数乘分数的意义，列方程解答，或根据除法的意义直接用除法计算。通过比较，使学生了解了分数乘除法应用题的结构和思路的异同，从而能正确解答分数乘除法应用题。

五、对比练习，异同结合

学习新课之后，不仅要集中练习所学的内容，还要练以前学过的内容，特别要练习与新学内容相似而容易混淆的题目，使学生既能深刻理解新的知识，又能掌握新旧知识之间的“同”和“异”，区别应用。如练习“归一应用题”，应带练“归总应用题”；学完“连除应用题”后的练习，也应有“连乘应用题”的题目。通过比较它们的解题思路，明确它们之间的相互联系，可使各个零碎的知识串成线、联成网，从而构建起完整的知识结构。这样的对比练习也便于学生辨别和巩固所学的数学知识，培养学生分析问题、灵活运用知识解决实际问题的能力。

篇（4）

在除法运算中，被除数与除数在除法运算中，是不可回避的两个重要概念。在除法算式中，由于混淆这两个概念，在实际解题时常常出现错误。学生为什么会对看似简单的概念分辩不清呢？怎样防止学生混淆这些概念呢？笔者以下谈谈自己的粗浅认识。

一、对比除法与减法，重视类比思想在辨析概念中的作用

小学数学中的概念是小学数学的基本知识，必须让学生理解和掌握。然而许多概念的含义相近，本质属性又有所不同，既有共同点又有不同点，学生往往容易混淆。学法之前，学生对减法已经有了比较全面的认识，对被减数与减数这两个重要的概念能够理解并加以辨别。学生在大脑中已经建立起“被减数-减数=差”关系的数学模型结构，甚至部分学生在回答三者的关系时是脱口而出，学生对被减数与减数的认识，会迁移到日后对被除数与除数的认识，所以这是一个重要的时间节点，要让学生真正理解被减数与减数的概念。在学法时，随意列出一个减法算式，让学生辨别出减法中被减数与减数，目的是把被除数与被减数、除数与减数建立起对应的关系，加强学生理解被除数与除数的关系是作用与被作用的关系。被除数是在除数这个条件的作用下，平均分后产生的结果。

二、提高学生的综合素质，建立数学与其他学科之间的联系

小学数学的学习不是孤立的，学生的理解能力直接或间接地影响到学生数学学习的程度，因此，我们要重视学生的语文阅读水平，对学生理解概念以及理解数量之间的关系带来极大地促进作用。前苏联教育家苏霍姆林斯基曾经说过：“学生学习越感到困难，他在脑力劳动中遇到的困难越多，他就越需要多阅读。（《给教师的建议》第51页）”。在语文教学中，把字句与被字句是语文的基本常识，如果学生对被字句中的有关知识掌握得好，也会帮助学生认识被除数与除数之间的关系，加深对被除数与除数的概念的理解。例如，汉语中对被字句的解释：被字句是现代汉语的一种句式，用介词“被”构成的表示被动意义的句子。其陈述的形式一般是：甲被乙怎么样。被字句的成立条件：（1）主语是受事，“被”字后的名词是施事。（2）动词必须是及物动词。有时“被”字直接用在动词之前，即施事者省略，过去被字句一般用于表达不幸或不愉快的遭遇，后来突破了这种局限。口语中常用“叫”“让”“给”替代“被”，仍称被字句。例如，张三被李四打伤了；小飞的衣服被雨水淋湿了等。学生在学法时，如果有了这些知识基础，会对理解除数与被除数的两个抽象概念起到潜移默化的作用。

三、揭示概念的本质属性，深刻理解概念的内涵

在四则运算中，除法的定义是：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。换句话说，若ab=c（b≠0），已知a（或b）与c，求b（或a），这种运算就是除法，用算式表示成：c÷a（或c÷b），其中，c叫做被除数，a（或b）叫做除数，运算的结果b（或a）叫做商。

如果在除法中被动地让学生从除法算式中，死记硬背“÷”前的的数是被除数，“÷”后的数是除数，只是从表面上认识概念，达不到理解除法概念的的本质，日后可能会造成在认识被除数与除数两个概念时的隐患。所以，对除法要有深刻的理解，强调除法是建立在平均分的基础上，除法有两种情况：一是把一个数量等分成若干份数，求一份是多少；一是把一个数量分成若干份，知道其中一份是多少，求分成的份数。这样全面、系统、完整地学法，理解了概念的本质属性，厘清了被除数与除数之间的关系，增强了对概念的辨析能力。

还应该注意，在学法时，不能脱离乘法，单纯地为学法而学习，除法的概念是建立在乘法的基础上。我们常说，除法是乘法的逆运算。为更进一步地增强对除法的认识，教学中要抓住除法与乘法之间的关系，用连线的方法把除法算式中的被除数、除数与乘法中的因数连接起来，让学生充分感受到除法中的被除数、除数与乘法算式中的的因数的对应关系，把新旧知识连点成线、穿线结网，从根本上理解除法中被除数与除数的概念内涵。

篇（5）

中考数学复习提纲数学中考复习提纲(实数与数轴)

1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。

原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。

2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。

实数和数轴上的点是一一对应的关系。二、实数大小的比较

1、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。

2、正数大于0;

负数小于0;正数大于一切负数;两个负数绝对值大的反而小。 三、实数的运算 1、加法：

(1)同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加;

(2)异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。可使用加法交换律、结合律。2、减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。

3、乘法：(1)两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。

(2)n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0;若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正;当负因数为奇数个时，积为负。

(3)乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。

4、除法：

(1)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 (2)除以一个数等于乘以这个数的倒数。(3)0除以任何数都等于0，0不能做被除数。

5、乘方与开方：乘方与开方互为逆运算。

6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。

无论何种运算，都要注意先定符号后运算。

数学中考复习提纲(有效数字和科学记数法)

1、科学记数法：设N>0，则N= a×10(其中1≤a

2、有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数，到精确到的数位为止，所有的数字，叫做这个数的有效数字。

精确度的形式有两种：(1)精确到那一位;(2)保留几个有效数字。

数学中考复习提纲(分式方程)

(1)分式方程的解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。特殊方法：换元法。

(2)检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根;使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。四、方程组

1、一次方程组：

(1)二元一次方程组：

一般形式：?a1x?b1y?c1(a1,a2,b1,b2,c1,c2不全为0) 解法：代入消远法和加减消元法a2x?b2y?c2

解的个数：有唯一的解，或无解，当两个方程相同时有无数的解。 一、一元二次方程的解法 1、(1)用直接开方法解;(2)用公式法;(3)用因式分解法2、(1);先化为一般形式，再用公式法解;(2)直接可以十字相乘法因式分解后可求解。 二、分式方程的解法：分析：(1)用去分母的方法;(2)用换元法 解：略三、根的判别式及根与系数的关系 四、方程组 1分析：(1)用加减消元法消x较简单;(2)应该先用加减消元法消去y，变成二元一次方程组，较易求解。[规律总结]加减消元法是最常用的消元方法，消元时那个未知数的系数最简单就先消那个未知数。 1.在解方程2A.2xC.2x

2分析：(1)可用代入消远法，也可用根与系数的关系来求解;(2)要先把第一个方程因式分解化成两个二元一次方程，再与第二个方程分别组成两个方程组来解。[规律总结]对于一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般用代入消元法，对于两个二元二次方程组成的方程组，一定要先把其中一个方程因式分解化为两个一次方程再和第二个方程组成两个方程组来求解。

一、列方程(组)解应用题的一般步骤

1、审题：2、设未知数;3、找出相等关系，列方程(组);4、解方程(组);5、检验，作答;

数学中考复习提纲(列方程(组)解应用题常见类型题及其等量关系)

1、工程问题

(1)基本工作量的关系：工作量=工作效率×工作时间

(2)常见的等量关系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作总量

(3)注意：工程问题常把总工程看作“1”，水池注水问题属于工程问题 2、行程问题

(1)基本量之间的关系：路程=速度×时间 (2)常见等量关系：

相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=全路程 追及问题(设甲速度快)：

同时不同地：甲的时间=乙的时间;甲走的路程–乙走的路程=原来甲、乙相距路程 同地不同时：甲的时间=乙的时间–时间差;甲的路程=乙的路程3、水中航行问题：

顺流速度=船在静水中的速度+水流速度; 逆流速度=船在静水中的速度–水流速度 4、增长率问题：

常见等量关系：增长后的量=原来的量+增长的量;增长的量=原来的量×(1+增长率); 5、数字问题：

基本量之间的关系：三位数=个位上的数+十位上的数×10+百位上的数×100

数学中考复习提纲(不等式及不等式组)

一、不等式与不等式的性质

1、不等式的性质：

(l)不等式的两边都加上(或减去)同一个数，不等号方向不改变，如a> b， c为实数?a+c>b+c

(2)不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号方向不变，如a>b， c>0?ac>bc。(3)不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号方向改变，如a>b，c

1、能使一个不等式(组)成立的未知数的一个值叫做这个不等式(组)的一个解。

不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集。不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做不等式组的解集。

2.求不等式(组)的解集的过程叫做解不等式(组)。

三、不等式(组)的类型及解法 1、一元一次不等式：

(l)解法：

与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式的两边同乘以(或除以)一个负数时，不等号方向要改变。 2、一元一次不等式组：

(l)概念：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。

(2)解法：先求出各不等式的解集，再确定解集的公共部分。注：求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便。

数学中考复习提纲(图形与变换)

知识要点

1.轴对称(轴对称、折叠)

(1) 轴对称和轴对称图形的区别与联系

区别：轴对称是指两个图形间的位置关系;轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形。 联系：

(a) 它们都延某一直线折叠,图形重合

(b) 如果把两个轴对称图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形;反过来,把轴对称图形的两部分当作两个图形,那

么这两个图形成轴对称。

(2) 线段的垂直平分线及其性质

性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等

与一条线段的两个端点举例相等的点在这条线段的垂直平分线上。 (3) 轴对称的性质：

(a) 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点连线的线段垂直平分线; (b)轴对称图形的对称轴是任意一对对应点连线的线段垂直平分线; (c) 轴对称的两个图形全等

(d) 轴对称的两个图形，他们对应线段或其延长线相交，交点在对称轴上。

(4) 轴对称变换

考点：利用坐标表示轴对称(做关于坐标轴及原点的对称点)解析：点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y);关于y轴对称的点的坐标为(-x，y)，关于原点对称的点的坐标为(-x，-y)归纳：关于谁对称谁不变，关于原点对称全改变

(5) 轴对称的图形：等腰三角形，等腰梯形，矩形，菱形，正方形，抛物线，双曲线，圆 2.中心对称(中心对称、旋转) (1)中心对称及中心对称图形

(a)关于中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心，而且被对称中心平分; (b)关于中心对称的两个图形全等。

(2) 中心对称图形：线段、相交线、平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆 (3) 中心对称与轴对称的区别联系

(a) 区别：关于直线对称和关于点对称 (b) 联系：都是旋转180°得到的 (4) 图形的旋转

(a) 图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫旋转，点O叫旋转中心，转动的角叫旋转角。

(b) 图形在旋转有旋转中心和旋转角决定，旋转中心在旋转过程中式不动的，旋转不改变图形的大小和形状。 (c)特征：对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前后的图形全等。 (d) 旋转作图步骤

(i) 根据题意确定旋转中心、旋转方向和旋转角 (ii) 找出图形的关键点 (iii)连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到这些关键点的 对应点; (iv) 次连接这些关键点的对应点，得到旋转后的图形。 3.位似

4.投影与视图

投影 (1)投影：用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。

(2)平行投影：有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。由平行光线形成的投影是平行投影(3)中心投影：由同一点(点光源发出的光线)形成的投影叫做中心投影(4)正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。

数学中考复习提纲(三视图)

(1)三视图：是指观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形。

将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓用正投影法绘制出来该图形称为视图。一个物体有六个视图：从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图——能反映物体的前面形状，从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状，从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状，三视图就是主视

中考数学复习建议认真学习，研究教材，研究考试，把握老师教学的要求，了解老师教学中的重点和学生学习中的难点，提高自身的业务素养。另外也要根据当前教改的要求、学生的实际，研究老师教学方法，达到提高老师教学效率的目的。

篇（6）

1．根据算式的读法来叙述的。

如：6除24得多少？23减去3与4的积，差是多少？

2．根据算式中各部分的名称来叙述的。

如：被减数是65，减数是34，差是多少？两个因数分别是0.45与3.5，积是多少？

3．根据四则运算的要求来叙述的。

如：6个105的和是多少？5.9除以3.94加上6.6的积，商是多少？

4．根据上述几个方面综合来叙述的。

如：什么数加上35是150？450加上135除以3的商乘以40的积，和是多少？

二、强化基础训练，扎实抓好文字题教学的几个关键环节

1．扎实训练，使学生学会运用准确的数学语言来读式题。

如（52+48）×6，有的学生往往读成“括号52加上48括号，乘以6”，这就没有准确地使用数学语言，应该读成“52与48的和乘以6，积是多少”。只有少数学生能够准确地读出式题，并准确地把文字题转化为正确的算式。

对于比较复杂的一些四则混合运算式题，一次读不完的，也可分为几个层次来读。如［5.3-1.6×（4.5-3.5）］÷7.4，可以读成：①中括号内的运算结果除以7.4，商是多少？②中括号内，5.3减去1.6乘以小括号内运算结果的积，差是多少？③小括号内，4.5减去3.5的差是多少？

2．加强引导，使学生学会用多种方法来读题。

在教学中，教师可让学生从计算意义、各部分名称、顺逆顺序上用准确的数学语言读式题，使学生能够熟练地将文字题转化为式题，将式题与文字题融为一体。如“375÷25”，从算式的意义去读“把375平均分成25分，每份是多少”“375里包含有多少个25”“375是25的多少倍”；从各部分名称上去读“被除数是375，除数是25，得数是多少”“除数是25，被除数是375，商是多少”“两个因素的积是375，其中一个因数是25，求另一个因数”；从顺逆关系上去读“375除以25，商是多少”“25除375得多少”……

3．分类指导，使学生学会分析文字题的缩句方法。

文字题也跟应用题一样，要使学生学会分析题意的方法。如教学生“看尾、缩句、抓关键”的方法，可让学生先看文字题末尾要求的是什么，抓住关键词语缩句写出关系式，再列式计算。如：“54除以0.7的商，加上0.6与5的积，和是多少？”先看尾，确定是求“和”，再抓住“商”“积”这两个关键词，缩句为“商加上积，和是多少”，写出关系式“商+积=？”。然后再找出是哪两个数的商和哪两个数的积，最后列式为54÷0.7+0.6×5。教学中，教师还可以让学生进行将应用题缩写成文字题的训练，使学生进一步认识应用题与文字题的联系和区别。如“食堂原有大米65公斤，又买来8袋大米，每袋25公斤。食堂一共有大米多少公斤”，可缩写成“65加上25与8的积，和是多少”。

4．多方点拨，使学生通过比较，进一步认识、理解并熟练掌握运算顺序。

我们可以编一些数字相同、运算顺序不同、计算结果也不相同的四则混合运算式题，让学生在对具体题目的辨析中，进一步理解并熟练掌握运算顺序。如把“5.9÷（3.94+6.86）×0.8”的运算顺序改变为：①先算除，再算加，最后算乘，让学生列出算式（5.9÷3.94+6.86）×0.8。②先算乘，再算加，最后算除，让学生列出算式5.9÷（3.94+6.86×0.8）。③先算加，再算乘，最后算除，让学生列出算式5.9÷[（3.94+6.86）×0.8]。

三、注重指导，教给学生解答文字题的思考方法

1．一般情况下，可以引导学生顺着题目的叙述方式来思考列式。

如：“6.54减去8与1.7的积，差是多少？”可以引导学生这样想：从6.54里面减去两个数的积，所以列式为6.54-8×1.7。再如：“6.54与0.27的差乘以它们的和，结果是多少？”可以让学生这样想：两个数的差乘以两个数的和，这两个数是6.54与0.27，所以列式为（6.54-0.27）×（6.54+0.27）。

篇（7）

新改版的人教课标版五年级上第三单元在学习了用四舍五入法求商的近似值后，安排了例10（1）小强的妈妈要将2.5kg香油分装在一些玻璃瓶里，每个瓶子最多可装0.4kg。需要准备几个瓶子？（2）王阿姨用一根25m长的红丝带包装礼盒。每个礼盒要用1.5m长的丝带，这些红丝带可以包装多少个礼盒？根据生活需要，一道题用“进一法”求近似值，一道题用“去尾法”求近似值。教学中首先要让学生清楚这两种方法与“四舍五入”的区别，第（1）小题多数学生都会列式计算：2.5÷0.4=6.25（个），有些学生知道6个不够用，用6+1=7（个），有些学生约等于6个，有些学生就等于6.25个。这时可展开讨论，让学生说说哪种答案正确，为什么，最终大家都能理解6个瓶子不够装，剩下的油不能扔掉，所以需要多准备一个瓶子。但剩下多少油呢？部分学生比较困惑，有些学生认为剩下0.25千克的油，如何让学生理解到底剩多少油呢？我认为可以用以下两种方法：

一种方法可以让学生算算6个瓶子能装多少kg的油，用6×0.4=2.4kg，再用2.5-2.4=0.1kg。另一种可以借助学生刚才的除法算式，观察 余下的0.1才是香油的重量，而不是余下的

0.25kg。同样的方法第（2）小题中，25÷1.5=16.666…的含义是不够17个包装盒，到底余下多少红丝带可以模仿第（1）小题求得。

余数给学生带来的困惑还不止这些，这不禁让我想起在苏州大学培训时徐文斌教授给我们讲的一道有余数的问题：在教授三年级下册“除法”练习课时，补充了“612÷2÷4”一题。同学们的解题方法归纳起来有以下三种：

[解法一] 612÷2÷4=306÷4=76……2

[解法二] 612÷2÷4=612÷8=76……4

[解法三] 612÷2÷4=153÷2=76……1

同样一道题，为什么会有不同答案呢？我一时茫然，按说只是不同的解题方法，答案应该是一样的呀，为什么会出现余数不同的结果呢？以前似乎没有遇到过类似问题，也没有认真思考过，听徐文斌教授讲完才知道，余数是相对于除数而言的，这三个算式余数都是除数的一半，化成分数都是1/2，或小数0.5，其实结果相同，只是表达形式不同而已。如果改成应用题可以更好地帮学生理解余数的意义。612个同学，按三个算式的分法来分，最后余几人是否相同呢？按第一种分法，先平均分成2大组，每组再平均分成4小组，每大组余2人，2大组共余4人。而按照第二种分法，直接分成8组，共余4人。按照第三种分法，先平均分成4大组，每一大组再平均分成2小组时都余1人，4大组共余4人。看来总共余4是一样的。关键是要分清余数是相对除数几而言的，这点非常重要，我们再教学有关余数问题时应引起老师们的注意，除了让学生认识到“余数比除数小”以外，还应该让学生认识到这样一个问题，余数与相应的除数有关，余数随着除数的变化而变化，让学生真正理解余数的本质。

余数问题在小学数学中非常重要且应用广泛，余数有如下一些重要性质需要我们了解：（其中a，b，c均为自然数）

（1）余数小于除数。

（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。

（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，20与14除以3的余数都是2，所以20-14能被3整除。

（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，28，21除以5的余数分别是3和1，所以（28+21）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，28，24除以5的余数分别是3和4，所以（28+24）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。

（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，28，21除以5的余数分别是3和1，所以（28×21）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，28，24除以5的余数分别是3和4，所以（28×24）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。

运用这些性质，可以巧解很多题目，下面我仅举三道实例：

例1.5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。

分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。5122-66=5056，5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到5056=26×79。由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。

例2.有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。

分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。因为110÷58=1……52>50，所以58不合题意。所求整数是29。

例3.求478×296×351除以17的余数。

分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。所求余数是1。

篇（8）

在小学数学教学工作中，不少小学生对分数除法的实质及运用理解不透，导致数学学习困难，拉大了数学成绩的差距。如何通过教学工作让学生真正理解并掌握分数除法的知识呢？下面，我们就以小学数学分数除法教学工作中常见的分月饼的教学为例，分析设计教学步骤和内容，以期达到最好的教学效果。

一、明确教学内容，目标和重点

分数与除法是小学数学教学中的一个重点，同时也是较难为学生所理解的一个教学难点，这部分内容承接了之前有关分数的意义、分数单位等知识，进一步要求学生了解分数与除法的关系内涵，并能够根据分数与除法的关系掌握如何计算一个数是另一个数的几分之几的实际问题。学生在真正掌握了这部分内容后，能够进一步了解分数的意义。根据具体教学内容，我们可以确定以下教学目标：（1）引导学生理解并掌握分数与除法的关系，了解一个数除以分数的计算法则，学会用分数表示两个数相除的商。（2）通过实际教学道具操作，使学生理解3的就是。培养学生的分析、推理能力。教学重点和难点：3的与1的的含义。

二、教学设计及具体难点解析

1.从简入难地引入问题

利用课件出示一块饼，提问：把这一个月饼平均分给四个人，每个人能分到多少？引导学生说出每份是四分之一块，板书出1÷4和，并让学生重点了解除法算式和分数表示的区别。继续提问：这里的是把谁看作了那个整体1？小组讨论，分析，回答问题。让大家观察板书，概括分数与除法的关系，分数的分子相当于除法中的被除数，分母相当于除法中的除数。明白除法是一种运算，分数则是具体的数量。

2.提出进一步的问题

如果把3个月饼平均分成4份，每份是这些月饼的四分之一，每一份是多少块？提问，板书出算式：3÷4。拿出圆形纸板，以小组为单位，每组四张，让学生亲自剪一剪，再拼到一起看一看，看看结果到底是什么？小组合作、交流，提问：几种分法，每个人能分多少？学生回答并用纸板演示过程。第一种分法：按照3个月饼，均分4份，每人一份，把每个圆形纸板各分为4等份，然后每个纸板拿其中的一份，三份拼到一起，再与完整的纸板对比，是完整纸板的。第二种分法：把三张圆形纸板叠放到一起，同时剪成4等份，拿出其中重叠的一份，拼到一起，再与完整的纸板对比，占完整纸板的。对两种方法做出比较，将两种方法下的纸板拼接好，放到一起进行对比，发现是一样大的，都是整块纸板的，也就是说，每人能分到个饼。

3.带领学生一起归纳总结两种分法的区别与联系，概括分数与除法的关系

要让学生明白，按照两种不同的分法，3个月饼的就是个饼，而1个月饼的也是个饼，即：3的与1的相等。使学生体会到分数的表示具体数量的含义。

4.课堂内容结束时进行总结，巩固练习，课后拓展和延伸

利用实际生活中的各种分数和除法问题，带领学生进行多个具体问题的分析计算。课堂内容结束后，为学生布置适量的课后巩固练习，并鼓励大家思考一个数除以分数，如果这个数是分数而不是整数怎样计算。

三、教学心得体会

从事教学工作的教师要具备足够的耐心和责任心，认真进行备课及课堂教学。在教学设计时，要尽可能多地增加直观演示，利用各种教学道具，课件、图片等直观地对教学内容进行演示。在进行新知识内容的讲解时，要合理地提出疑问，巧妙地进行引导，结束讲解时，要及时全面地对所有知识点进行归纳总结，带领学生梳理知识脉络。同时，还应努力培养学生发现出问题的意识与能力。学习不单单是对已有知识的熟练掌握，更是发现新问题并努力解决的过程，所以，努力培养学生的创新精神，也是我们日常的教学工作关键。例如，在上面的实例中，我们不但要为学生讲清楚课本知识的内涵，更要鼓励大家积极地观察身边的实际生活，并进行发散思维，思考学习内容中的新问题。

参考文献：

篇（9）

小学数学是重要的基础课程之一，在数学教学过程中，合理的运用比较法教学，可以让学生在轻松的学习环境、氛围中很快的掌握知识，突出教学重点，突破教学难点，培养学生的辨别能力，有助于教学质量的提高。

一、通过比较，认识概念

在数学教学中，我们可以引导学生对新旧知识进行比较，探寻新旧知识的相同与不同之处，找出他们内在的联系，将新旧知识相结合，使学生能够主动寻找新的知识点，认识并掌握概念的本质属性。

如在教学“数的整除”时，由于整除这一概念出现在本章之前，而且贯穿于整章内容之中，如果没有理解整除的概念，下面的内容就无法进行教学，而且概念本身也比较抽象，学生不易理解。因此，可以让学生首先口算下列题目：（1）56÷8=7（2）7÷5=1.4（3）0.6÷2=0.3（4）27÷3=9（5）28÷4=7（6）10÷3=3.333……然后让学生观察题中的被除数、除数和商的特征，找出这些算式中哪些是可以除尽的？哪些是除不尽的？在除尽的算式里被除数、除数和商都是整数的有哪些？通过逐层揭示，得出整除的本质属性――数a除以数b，除得的商正好是整数而且没有余数，我们就说数a能被b整除，从而使学生复习了除尽和除不尽的概念，知晓了他们与整除三者之间的联系和区别。

二、通过比较，分清概念

在教学“比的概念”时，因为教材用“除”来定义“比”，因此，学生容易把“比”“除”“分数”概念等同。笔者在教学完“比”的定义后，设计了如下判断题：

1.因为两个数相除又叫做两个数的“比”，所以，比式也是除式。（ ）

2.因为比可以写成分数形式，所以比也是分数。（ ）

在学生思维达到愤悱状态时，再让学生讨论比较：

1.a÷b，a：b，a/b（b≠0）各表示什么意义？

2.在计算a÷b这个式子时，可以写成a：b吗？

3.一个长方形面积是8.1平方分米，长5.4分米，写出它的面积和长的比，并简化。

通过以上具体题目的讨论，学生认识到：比、除和分数各自表示的意义不同，除式的含义较宽，比号不能代替除号，分数可带单位，比值不带单位，从而对“比”这个概念认识得更加清楚。

三、通过比较，促进迁移

学生通过比较可以发现不同知识的共同点和内在联系，从而促进知识的迁移，加深联系。因此，在教学过程中，通过比较找出知识的共同点，这对于学生系统地掌握这些既有区别又有联系的各部分知识，具有很大的帮助作用。如教学“求一个数是另一个数的几分之几的应用题”时，同整数中的“求一个数是另一个数的几倍的应用题”比较，使学生明确数中的“几倍”与分数中的“几分之几”都是表示一个数与另一个数的倍数关系，只是倍数大于“1”，我们习惯说成“几倍”，如果倍数小于“1”，我们习惯说成“几分之几”而已。所以，“求一个数是另一个数的几分之几”其解题方法与“求一个数是另一个数的几倍”是相同的。

四、通过比较，揭示规律

两数相比，有标准数已知和未知两种情况，因此就出现了“多几”用加，“少几”也要用加的应用题。学生对这样的应用题，往往根据“多”加“少”减来确定算法，造成错误。教学时，我将两数相比的题目归成两类：标准数已知和标准数未知的，引导学生通过比较，揭示它们的规律。凡标准数已知的题目，“多几”用加，“少几”用减；而标准数未知的题目，“多几”反而用减，“少几”反而用加。这种比较，由特殊上升到一般，可把学生对知识的领会引向深化，达到应有的水平。

五、通过比较，灵活解题

学生能从多角度、多侧面去思考问题，并能通过比较从中找出解题的最佳途径，是思维灵活性和创造性的表现。如“某工厂生产一批零件，原计划每天生产500个，6天可以完成，结果只用5天完成，实际每天比原计划多生产多少个零件？”

解法1：

计划生产零件的总数：500×6 =3000（个）

实际每天生产零件的个数：3000÷5=600（个）

实际每天比原计划多生产的个数：600-500=100（个）

解法2：

设实际每天比原计划多生产x个。

列方程，得500×5+5x=500×6

解得 x =100

解法3：

实际生产只需5天，即比原计划提前一天，这样若将原计划一天生产的任务分摊给其他各天，就正好是实际比原计划多生产零件的个数。

即 500÷ 5 =100（个）

根据以上三种解法，引导学生分析比较，得出第三种解法既简明，又有创造性，开拓了学生的思维。

六、通过比较，认识图形

在学习各种空间图形时，我认为用比较法，效果也比较好。比如，长方形和正方形的区别，梯形与多边形的区别……从而巩固对它们表象的认识。同时，在学习计算图形面积和体积公式的时候，我也常常采用这种方法，先出示前面学过的图形的面积和体积，回忆它的计算公式，然后引起探究欲望，“那今天我们这种图形的面积又该怎么计算呢？请根据你对这种图形的认识，利用前面公式的推理方法，自己先想一想，然后在小组内交流一下。”这样学生在探究的过程中就有了基础，推理出公式以后，两个公式再进行比较，从而让学生记忆更牢固。

【结语】：

总之，在现代数学教学中，比较法是一种较为常用的方法，在教学中，灵活运用比较法教学，对于培养学生学习兴趣，巩固旧知识，更好地学习新知识，以及提高学生的思维能力和解题能力，都有很大的帮助。教师要熟练掌握比较教学的比较教学方法，帮助学生更好的培养学生的自主学习的兴趣，更好的掌握并运用数学知识，以完成教学任务，达到预期的教学目标。

参考文献：

篇（10）

演绎推理具有“三段论”的形式，它是由大前提（一般的判断）、小前提（特殊的判断）、结论（最后的判断）这三个判断组成的。例如，一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数（大前提）；258各位上的数字和15是3的倍数（小前提）；所以，258是3的倍数（结论）。

2 合情推理，是从特殊到一般的思想，通过研究一些具体、特殊的情况，达到认识一般规律的目的，它是人们认识未知的一种重要思想。归纳推理就是一种从特殊到一般的推理，它是一种合情推理，是在观察分析问题的几个简单、特殊情况，从中总结规律，发现一般问题的解答的思想方法。

例如，六年级下册第94页第3题，（1）多边形内角和与它的边数有什么关系？（2）一个九边形的内角和是多少度？通过学生思考三角形、四边形、五边形、六边形的内角和，由三角形内角和是180°×（3—2），四边形内角和是180°×（4—2），五边形内角和是180°×（5—2），从中发现多边形内角和与它边数的关系，推出规律：内角和的度数=180°×（边数—2）。这是一种不完全归纳推理，不完全归纳推理是在研究某个事物或现象的某些特殊情况所得到的共同属性的基础上，对这一事物或现象作出一般结论的。不完全归纳推理所得到的结论可能是正确的，也可能是错误的。例如，由4是偶数，4也是合数；6是偶数，6也是合数；8是偶数，8也是合数；推得一切偶数都是合数，这个结论就不正确。虽然不完全归纳推理得到的结论可能正确也可能错误，但是它能帮助人们迅速地去发现事物的规律，提供研究的线索和方向。

有时在解决问题中，从特殊到一般和从一般到特殊这两种思想方法需要结合使用。

例如，3586除以5的余数是多少？如果你一心一意想把586个3连乘，企图得到它们的积，再把积除以5求余数，尽管你的整数乘法基本功很好，也是难以求得答案的，因为这是一个天文数字。正确的思考方法是：1.先把问题一般化：问3n（n表示自然数）除以5的余数是什么？如果能够解答这个一般问题，那么当n=586时，便是本题的答案。2.使用归纳法，从n=1，2，3，……入手，探求一般问题的结论。当，n=1时，31=3，除以5的余数是3；当n=2时，32=9，除以5的余数是4；当n=3时，33=27，除以5的余数是2；当n=4时，34=81，除以5的余数是1；当n=5时，35=243，除以5的余数是3；当n=6时，36=729，除以5的余数是4……从上面可以看出，当，n从1开始按顺序取值时，3n除以5的余数依次以3、4、2、1周期反复出现。这就是上述一般问题的解答。3.使用演绎法，从一般规律求当n=586时本题的解答，因为586被4除余2，所以3586除以5的余数是4。

3 类比思想，从特殊到特殊的思想。人们研究鱼为什么在水中能自由浮沉，设计发明了潜水艇；从鸡蛋壳的结构，发明了薄壳建筑等，这些都是人类模仿生物特性创造发明的成果，使用的思想方法就是类比思想。

类比思想是小学数学常用到的思维方法。例如，由整数的运算定律迁移到小数、分数的运算定律，解决问题中数量关系相近的问题的类比等。小学数学中的类比推理除了能有效地促进知识的迁移，还能进一步加强新旧知识间的联系，引导学生从知识点形成知识链，并进一步形成知识面，完成知识的系统化。例如，整数四则运算与小数四则运算的类比，还能帮助学生有效地掌握运算法则。

类比推理并不是论证，由类比推理所引出的结论并不一定是正确的，例如由“a×3=b×3，则a=b”；类比推出“a×0=b×0，则a=b”，后者就不一定正确，但是类比思想在科学假设中常常能起到很大的作用。

二、从数学间的区别和转化的角度看

1 分类的思想。分类是一种重要的数学思想，分类思想是根据对象本质属性的共同点和差异点，将属性对象按一定的秩序区分为不同种类的思想，它以比较为基础，能够揭示数学对象之间的联系与区别，有助于更准确完整地认识事物。学习数学的过程中经常会遇到分类问题，如数的分类（整数、小数、分数：奇数、偶数；质数、合数、1等）、图形的分类（角的分类、三角形的分类等）。在研究数学问题中，常常需要通过分类讨论解决问题，分类的过程就是对事物共性的抽象过程。教学活动中，要使学生逐步体会为什么要分类，如何分类，如何确定分类的标准，在教学中渗透分类思想时，应让学生了解分类标准是多样的，不同的分类标准会有不同的分类结果。例如，《三角形的分类》一课。制定教学目标时，一方面要求让学生牢固掌握三角形角的特征，另一方面还应重点让学生去感悟抽象或分类的数学思想。教学的具体实施，更要时刻围绕着这样的目标去展开。比如，当学生不能正确分类时，可以引导学生去观察角的特征，使分类得以进行：当学生出现将三角形按角分成直角三角形和没有直角的三角形（斜三角形）两类或直角三角形、钝角三角形、锐角三角形三类时，则可以引导学生去对比其中的联系，使学生认识钝角三角形、锐角三角形都是在斜三角形基础上的细化分类，都完全符合概念分类的原则，都完整地展现了分类的结果。这样不仅直观体现了分类的思想，还能够有效地支撑学生进一步明确概念之间的逻辑关系。

学会分类，可以有助于学习新的数学知识，有助于分析和解决数学问题。例如，等腰三角形中有一个角是80°，它的另外两个角分别是多少度？就要将问题分两类未思考：①当顶角为80°时，另外两个角分别为50°，50°。（②当底角为80°时，另外两个角分别为80°，20°。

2 化归的思想。在许多情况中，我们遇到的数学问题所蕴含的模式难以检索到相关的数学知识，就常常需要将原有的数学问题进行一定的转化，这在数学上称为化归，化归也是普遍使用的一种数学思想。其基本思想就是：把甲问题的求解，化归为乙问题的求解，然后通过乙问题的解反向去获得甲问题的解。其基本方法是：在考察待解决的问题时，能意识到与对象有内在联系的其他诸多对象，将原对象化归为一个较为熟悉的另一个对象，最终达到对原问题的解答。

化归思想作为最基本的数学思想之一，在学习数学和解决数学问题的过程中无所不在。例如，六年级上册的“鸡兔同笼”的教学。由于“鸡兔同笼”问题解决的特殊性，许多问题都可以化归为“鸡兔同笼”问题。人教版教材“做一做”和练习中安排了类似的一些习题，让学生拓宽对“鸡兔同笼”问题的认识，让学生进一步体会到这类问题在日常生活中的应用。同时这些问题通过转化，都可以将其归结为已经解决的“鸡兔同笼”问题类型，从而进一步求解，这就是化归。

在计算以及解决问题时，有时就需要把条件进行变更、化归，使原问题变更为一个更容易解决的问题。例如，解决问题，某纺织厂甲、乙两个车间去年共织布520千米，今年共织布680千米，其中甲车间比去年增产48%，乙车间比去年增产20%。今年甲、乙两个车间各织布多少千米？这道题中两个百分率所表示的单位1不同，难以下手进行直接转化。但我们可以将原问题进行非等价变形，使它变成一个比较简单的问题，某纺织厂甲、乙两个车间去年共织布520千米，今年甲、乙两个车间都比去年增产20%。今年共织布多少千米？先解化归后的问题，今年共织布520×（1+20%）=624（千米）。现在将结果与原问题进行比较，发现比原问题中少织布680—624=56（千米）。而这56千米的差是由于甲车间增产的48%变为20%所致，所以甲车间今年的织布数为56÷（48%—20%）×（148%）=296（千米），乙车间今年织布数为680—296=384（千米）。非等价变形指化归前后两个问题并不等价。但是，当解决了化归问题之后，就能为解决问题提供解题线索和程序。解题思路是：假设两个车间多织的百分率相同一找出织布千米数的差与对应百分数的差一求出对应百分数所在单位1的千米数。

篇（11）

笔者以为，设计课前预习“学案”，应包括两个内容，一是学习要点。依据教学目标，列出一节课的知识要点。教师先示范性地列出一两点，然后主要由学生在预习时自己归纳。学生在预习过程中归纳出知识要点，这也是一个学习、研究的过程，既能促使学生认真自学，又有利于培养学生阅读理解的能力。二是问题思考。针对学习目标，结合学习内容，设计1～2个问题，引领学生结合预习的内容思考问题，要求学生写出答题要点；也可以要求学生“预习本课内容后，提出2～3个小问题”，引领学生自己提出问题、设计问题，这样有利于促进学生认真研读教材，培养学生分析归纳问题的能力。

那么，如何设计预习“学案”呢？设计时，需要注意哪些方面呢？

一、 立足学生的认知起点，组织学生回顾旧知

建构主义认为：学生总是带着已有的知识经验对新知进行同化和顺应，完成内部认知结构的重构。因此，教师在设计“学案”时，不能无视学生已有认知的存在，必须基于学生现实的认知起点，贴近学生认知的最近发展区。因为现在的学生学习知识的渠道不再仅仅是通过教师和教材实现的，他们从父母长辈、课外读物、媒体、网络等学习渠道中已经接触了很多的数学信息，他们已有的知识储备有时远远超出教师的想象，所以许多课本上尚未涉及的知识，学生已经有所了解。但是，这样的学习是不系统的、模糊的、浅层次的，同时课外知识的积累也无法替代课堂学习，这就意味着学生原有的知识状况对于教师来说，是一个有待了解而且必须了解的未知数。因此，我设计的“学案”中第一部分一般为“知识准备”，这一部分是在充分了解学生，把握学生的认知起点基础上，依据数学知识的逻辑结构，引导学生在自学尝试之前，实现知识的初步建构，组织学生回顾旧知。

例如，在“三位数除以一位数有余数的除法”一课“学案”的“知识准备”部分，先让学生回顾两位数除以一位数有余数的除法及三位数除以一位数能整除的除法的计算方法，通过计算13÷6和126÷6回顾，再以127÷6=21……1为例让学生尝试计算三位数除以一位数有余数的除法，在计算过程中，通过“导学提示”比较三个算式的异同，让学生体悟到：三位数除以一位数有余数的除法的计算方法是在复习回顾的两个问题的基础上学习的。这样，通过尝试学习、阅读教材，进行认知迁移，形成知识的初步建构。

二、 把握新知的生长点，启迪学生探究新知

当新旧知识之间有紧密的逻辑关系或所学知识与旧知识之间没有实质性的变化，只是认知结构中原有知识的特例时，就要以原有知识为生长点，直接由旧到新，即从学生已有的知识和经验出发。学生自学的过程也是知识系统不断建构的过程。学生在完成“学案”的过程当中，体现出自学的自主性。一方面，是对知识的自主激活。如，前面提到的“三位数除以一位数有余数的除法”一课的“学案”时，因为要以前面两位数除以一位数有余数的除法及三位数除以一位数能整除的除法计算为基础。这就要对以上知识进行激活。另一方面，是对知识的自主探究和自主建构。学生在完成“学案”中，通过 “以前学过的知识，我还会”和“导学提示”的引导，逐步完成对知识的初步建构。

学生对知识的建构过程是一个复杂的动态生成的过程，在这个过程中学生不断养成阅读的习惯，动手的习惯以及思考的习惯，逐步形成自学探究的能力，自主完成知识的初步建构。设计“学案“时要帮助学生架起“认知桥梁”， 找准新知识的生长点，使之与学生的认知结构中相应的背景与经验产生联系，给学生以前后贯通的感觉，为学生创造主动探究的条件。

三、 找准新、旧知的联结点、区别点，帮助学生有效建构

数学知识具有较强的系统性，每个新的知识点必然是从与它相关的旧知识点上生发出来的，但是与原有旧知也有所区别，有所不同，不同点也就是新知识的新意所在。数学课堂就是要在新旧知识的联结点处进行点拨，引导学生由旧知识过渡到新知识，促进知识的迁移。在初步了解新知之后，还要注重引导学生对新旧知识加以对比，突出新旧知识的异同点，从而实现有效的建构。

例如教学苏教版五年级下册《分数加减混合运算》时，我在“学案”中设计了准备题：红山小学校园里有一个48平方米的花园，其中月季花的面积是12平方米，杜鹃花的面积是16平方米，其余是草坪。草坪的面积是多少？课前让学生解答，并写出数量关系式。然后让学生预习例题：红山小学校园里有一个花园，其中月季花的面积占14，杜鹃花的面积占15，其余是草坪，草坪的面积占几分之几？我首先让学生在“学案”上比较例2和准备题：这两道题有什么相同之处？有什么不同之处？启迪学生想到数量关系相同，而给出的数据不一样；再让学生在“学案”上用不同方法尝试解答例2；然后再次比较例2和准备题，这两道题在解法上有什么相同之处？有什么不同之处？学生通过比较就会发现新知和旧知在数量关系和计算顺序上是一样的，区别在于准备题是整数加减混合运算，而例题是分数加减混合运算，从而实现有效的建构。

学习新知前复习与之相关的旧知或已有经验，既可以起到搭桥铺路、分散难点的作用，又可以起到突出新知，有效建构的作用。设计“学案”时，找准新旧知识的联结点，巧作铺垫，促成旧知的正迁移，有利于学生准确、快速地建构知识。

四、 立足学生个性差异点，鼓励学生质疑问难

课前，学生要完成预习“学案”，必须要先自学教材，自学之后知道了一些新知识，再加上已有的知识经验，才可以完成“学案”。由于每个学生已有的知识经验和学习能力基础不同，对自主完成“学案”的质量就有所不同：有的对新知识理解不够透彻，尝试练习会有错误；有的理解不了的，做不起来的；有的都会做，却说不清道理。这些都是正常的现象。我们教师对“学案”不能强求每个学生都达到一样的水平 。但教师要有意识地、预见性地了解学生的预习难点，让学生在“学案”中将预习的疑问记录下来，使得学生明确自己在预习中的不足，在课堂上进行质疑问难，并通过同伴互助、教师引领从而将自己的疑问加以消除，久而久之，就会逐步培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力。

五、 凸显教学内容的重难点，鼓励学生自我评价