数学解决问题论文大全11篇

篇（1）

数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学，正如恩格斯所说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料。”当人们与客观世界产生接触，从数量关系或空间形式的角度反映出认识与客观世界的矛盾时，就形成了问题。以数学为内容，或者虽不以数学为内容，但必须运用数学概念、理论或方法才能解决的问题称为数学问题。希尔伯特在1900年巴黎国际数学家代表大会上以“数学问题”为题发表演讲时说：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境界。”

由于数学问题包含着有关数学的疑问因素和未知方面，所以，在数学的学习和研究中，对已有的数学概念或结论产生疑问，或者对数学的未知领域进行探索时，都会提出一些不同问题。但是，教学中所要解决的并不是那些尚未解决的数学问题，而是前人已有的数学知识的再发现。只有提出问题，让学生明了产生问题的情境，才能引起学生有目的的思考。正是由于学生把特定的数学问题确定为自己努力攻克的方向，才能使思维活动以一定的方法、在一定的范围内进行，才能激发学生的创造热情，不断冲击头脑中旧有的认知结构，不断构建新的认知结构。

数学问题来源于人类的生产、生活实践，来源于人们了解自然、认识自然的科技活动。古代巴比伦人在观测天文、丈量土地和进行贸易中形成了位值观念和六十进制数系，并发现了大量数表、计算方法以及包括解一元二次方程在内的许多数学问题。早在公元前5世纪，古希腊人就已经形成后来被称为几何三大作图问题的倍立方问题、三等分任意角问题和化圆为方问题。成书于公元1世纪前后的《九章算术》，集古代数学问题之大成，记载了我国古代劳动人民在生产、生活和社会活动中形成的各种数学问题246个。《九章算术》是我国古代传统数学中具有最深远影响的一部著作，它反映出我国古代数学是怎样从实际生活中分析出数量关系，建立数学模型，又怎样从研究具体的数学问题入手，通过抽象与归纳而得到解决问题的数学方法的。

纵观数学的发展历史，可以看到数学问题在数学的历史进程中的重要作用。它既是数学发现的起点，又是数学发现的路标；它既有数学发展的探索和导向作用，又可以为数学理论的形成积累必要的资料；它既可以导致数学的发现和理论的创新，又可以激发人们的创造和进取精神。

由数学问题的形成和来源可以看到，数学问题种类繁多，但用于“数学问题解决”教学的问题大致有以下三种，它们具有不同的教育价值和功能。

1.可以构建数学模型的非常规的实际问题。21世纪是信息化的时代，是现代科技迅速发展的知识经济时代。随着数学和科学技术的飞速发展以及电子计算机和网络技术的广泛使用，科学技术数学化的进程日益加速。任何科学技术要实现数学化，都必须首先把研究对象用数学语言和方法表述为具有一定结构的数学体系，即建立有关研究对象的数学模型，这是科学技术数学化的关键。数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象。数学问题要能够给学生提供尝试建立数学模型的机会，让学生根据观察和实验的结果，尝试运用数学思想以及归纳、类比的方法得出猜想，然后再进行证明。将生活、生产等社会活动中发现的实际问题抽取出来，通过构建数学模型，化实际问题为数学问题，然后应用数学思想或方法来解决问题，这是人们认识世界的重要途径。非常规的问题往往不是纯数学化的问题模式，而是一种情境，一种实际需求，只是为了克服实际碰到的困难。因此，要培养适应知识经济社会需要的高素质、创造型人才，就要进行数学建模的训练。培养学生数学建模的能力，是学好数学、用好数学的重要保障，也是基础教育不可或缺的任务之一。“义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”[2](1)

2.探究性问题。通过一定的探索、研究去深入了解和认识数学对象的性质，发现数学规律和真理的问题叫做探究性问题。这里，对于对象之间的数量关系、图形性质及其变化规律，数学公式、法则、命题、定理等的探索和发现，虽然只是对前人工作的一种重复和再发现，但知识形成、发展过程的意义则被学习者重新建构。“数学学习过程充满着观察、实验、模拟、推断等探索性和挑战性活动。教师要改变以例题、示范、讲解为主的教学方式，引导学生投入到探索与交流的学习活动之中。”[2](65)数学命题的发现就是一个探索的

过程。例如，在学习了三角形内角和定理后，教师可以让学生通过观察和实验去探索四边形、五边形，六边形等多边形的内角和问题，然后通过归纳得到多边形内角和定理。通过探究，不仅可以培养学生的数学思维能力，科学探索精神，而且可以使学生在数学学习活动中获得成功的体验，从而建立自信心，这对于培养学生形成完整的独立人格具有重要的作用。3.开放性问题。《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》在第三学段教材编写建议中写道：教材可以“提供一些开放性（在问题的条件、结论、解题策略或应用等方面具有一定的开放程度）的问题，使学生在探索的过程中进一步理解所学的知识”。[2](93)开放性问题旨在培养学生思维的灵活性、发散性，因而也有利于培养学生的创新精神、创新意识。例如，在ABC 中，三边a、b、c成等差数列，由此可得哪些结果？这是一个结论开放的问题，由三边成等差数列，联系三角形的有关定理、公式如正弦定理、余弦定理、射影定理、面积公式以及其他三角、几何定理公式，可得到许多结果，诸如sin A +sin C =2sin B ，等等。[1](197)通过对这个问题的探讨，不仅复习巩固了所学知识，将多学科的许多不同思想方法都联系到了一起，而且充分表现了思维的多向性、灵活性和创造性。

如前所述，问题解决中的“问题”主要是指那些非常规性的或者条件不充分、结论不确定的开放性、探究性问题。“问题”常常给出联系实际的情境，主体必须要将它数学化，并且必须探究解决问题的策略（数学方法）。数学问题的设计是数学问题解决教学的基础。要使问题解决教学取得良好成效，必须预先将问题设计好。好的数学问题应当具有较强的探索性，它要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动性和创新精神；具有现实意义或与学生的实际生活有着直接的联系，具有趣味性和魅力；具有多种不同的解法或有多种可能的解答，即开放性；能推广或扩充到各种情形。[3]数学问题除了应具备以上特点，在设计时还要遵循以下原则。

1.可行性原则。在设计数学问题时，教师首先要细致地钻研教材，研究学生的思维发展规律和知识水平，提出既有一定难度又是学生力所能及的问题，也就是说，要选择在学生能力的“最近发展区”内的问题。学生的第一发展水平和第二发展水平之间存在着差异。教师应走在学生发展的前面，创造“最近发展区”，并注意适时、适度创设实际情境，培养学生的创新意识和实践能力；根据学生年龄特点、学生已有的认知结构、教材及学生的生活实际，设计适当的数学问题。这些问题既能有效地激发学生的求知欲望，又能使学生积极主动地去寻求解决问题的策略，并通过一定的努力或小组讨论、探究，最后归纳出具有一般规律性的结果。例如，在初中阶段，学生学习了圆的有关性质以后，可以设计一道关于找圆心的问题。给学生一张上面画有一个圆的纸，提出问题：我们怎样确定这个圆的圆心？学生通过实际操作，可以用许多不同的方法获得答案。其中用到的数学知识有“半圆上的圆周角是直角”的定理，“弦的垂直平分线通过圆心”的性质，等等。[2](185)在小学高年级，甚至在中学阶段，可以将“六角星”问题，即“如何把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12这些数填在六角星中各条线段的交点上，使每条线上四个数字之和都等于26”提供给学生进行探究。“六角星”问题是一个寓教于乐、数形结合的典型的开放性问题，并可进行不同的条件变化，得到许许多多不同的解。[4]

2.渐进性原则。渐进性原则要求问题设计要有层次性，要由浅入深，由易到难。人类认识数学对象的过程，是一个渐进过程，是从认识最简单的对象开始，逐步发展到对数学对象之间的相互关系及它们的内部结构的认识。人们对于数学问题的认识，如同对数学对象的认识一样，也是一个渐进的过程。因此，在数学问题的设计中就要遵循由浅入深，由易到难，有层次、循序渐进的原则，使学生在问题的探究中不断获得成功，逐步树立起学好数学的自信心，培养勇于探索、敢于攀登的精神。如当学生观察下面这些等式：1·2·3·4+1=？，2·3·4·5+1=？，3·4·5·6+1=？，4·5·6·7+1=？时可以发现，它们分别等于5，11，19，29的平方。这时可以提出问题：“从这些等式中你能发现什么规律？”当学生通过探索发现并提出一种归纳猜想时，可以进一步提出证明猜想的问题。然后，再进一步让学生观察类似的问题：1·3·5·7+16=？，3·5·7·9+16=？，5·7·9·11+16=？，7·9·11·13+16=？……能不能提出类似的猜想？进而，从等差数列的角度，能否再提出几个类似的问题？最后，能否把上面这些问题的共同规律找出来？这样，根据由浅入深、由易到难、循序渐进的原则，依次提出问题，逐步展开问题的探究，不仅可以把学生的探究活动步步引向深入，而且还可以培养学生学习数学的兴趣。

3.应用性原则。随着数学的发展，它的应用越来越广泛，世界各国的数学教育也越来越强调数学的应用，这是当前国际数学教育的重要动向。各国都在数学课程中增加现代数学中具有广泛应用性的内容，注重从生活实际和学生知识背景中提出问题，结合生活中的具体实例进行数学知识的教学，增强课堂教学中的实践环节，重视培养学生用数学的意识和用数学的能力，使学生能主动尝试用数学知识和思想方法寻求解决问题的途径。在数学问题的设计中，要考虑能将数学思想方法和数学模型用于探究所提出的问题。义务教育阶段的数学课程，特别强调学生用数学的意识的培养。“应用意识主要表现在：认识到现实生活中蕴涵着大量的数学信息、数学在现实世界中有着广泛的应用；面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。”[2](5)例如，在学生已经掌握三角形中边角关系及平面上周角的有关知识后，可给出这样的问题：“有若干个城市，它们之间的距离彼此互不相等。如果从每个城市都起飞一架飞机到离该城市最近的城市降落。证明：每个城市降落的飞机都不超过五架。”这个问题可以通过构造平面几何模型，应用简单的几何知识得到解决。[5]

如前所述，由于数学问题来源于人类的生产、生活实践，来源于人们了解自然、认识自然的科技活动，一般来说，它是非常规的、由情境给出的一种实际需求，并且具有一定的探究性。因此，数学问题的解决一般要通过以下几个过程来实现。

1.分析问题背景，寻找数学联系。通过对所给问题的分析，理解问题背景的意义，从中找出它们与哪些数学知识有联系，以便建立有关的数学模型，使实际问题数学化，从而使非常规问题转化为常规问题来解决。在这个过程中，要充分发挥学生的积极主动性，必要时可以让学生分组开展讨论，以集体的力量和智慧攻克难关。分析问题的步骤非常重要，万事开头难，只要攻破了这一关，学生就会信心倍增，就会以更高的热情投入到后面问题的探讨中去。在学生自主分析的同时，教师可在关键处给以必要的指导和点拨，以控制教学的进度，提高课堂教学效率。

2.建立数学模型。在分析的基础上，将实际问题符号化并确定其中的关系，进而写出由这些符号和关系所确定的数学联系，用具体的代数式、函数式、方程式、不等式或相关的图形、图表等把这些数学联系确定下来，就形成了数学模型。在建立数学模型的时候，可要求学生独立完成，因为前面的分析过程，已经使问题明朗化，一般情况下学生都可以独立完成数学建模任务。对于有困难的学生，也可以通过小组讨论来完成这一工作。

3.求解数学问题。根据数学模型的特征，可采用适当的数学思想、方法和数学知识，对数学模型进行求解。这里主要强调学生用数学的意识的培养和形成。一般情况下，只要数学模型建立起来以后，学生自然会去联想已学过的数学知识和熟悉的数学思想方法，通过推理和演算，达到问题的解决。

4.检验。将数学问题的求解结果返回到实际问题中去进行检验，看它是否与实际问题的情形相吻合，从而决定是否要修改模型或另辟途径。

5.交流和评价。在学生进行研讨、解决问题的过程中，教师要通过巡回观察及时了解和掌握学生的学习进度，对于有困难的学生及时给予必要的指导，也可以作为学生的伙伴和助手，参加到学生的探究活动中去。在多数学生完成任务以后，可组织学生进行交流，然后对各种模型进行评价。学生通过交流、评价，进一步完善各自的模型，同时也达到互相学习、取长补短、共同提高的目的。

6.推广。如果问题得到了解决，看它是否可以进行推广。如果解决过的问题是一个具体问题，就可引导学生通过归纳、类比和猜测，得到普遍的结论，然后再证明这个结论。例如，在学生学习过二次函数求最大（小）值及等差数列的有关知识后，可设计这样一个实际问题：一幢33层的大楼有一部电梯停在第1层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次。对于每个人来说，他往下走一层楼梯不满意度是1，往上走一层楼梯不满意度是3。现在32人打算下到第1层且他们分别住在第2层至第33层的每一层。如果你是一名电梯管理员，请你确定将电梯停在哪一层可以使这32人的不满意度达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼。）在解决此问题的基础上，可推到一般情形n层楼时。

数学问题解决教学是通过创设情境，激发学生的求知欲望，使学生亲身体验和感受分析问题、解决问题的全过程。它强调使用数学的意识，培养学生的探索精神、合作意识和实际操作能力。通过问题解决能使学生对数学知识形成深刻的、结构化的理解，形成自己的、可以迁移的问题解决策略，而且产生更为浓厚的学习数学的兴趣、形成认真求知的科学态度和勇于进取的坚定信念。由于问题解决教学是近年来受到广泛重视的一种教学模式，它强调把学习设置到复杂的、有意义的问题情境中，通过让学习者合作解决实际问题来学习隐含于问题背后的科学知识，形成解决问题的技能，并形成自主学习的能力。[6]所以，问题解决教学是通过高水平的思维来进行学习，来建构知识的。

传统的教学模式比较重视基础知识教学，基本技能训练，数学计算、推理和空间想象能力的培养，而不重视学生实践能力的培养和实际操作的训练，致使学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多。学生机械地模拟一些常见数学问题解法的能力较强，而当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。在中小学数学课程中体现问题解决的思想，在课堂教学中采用问题解决的教学模式，为克服上述问题开辟了一条有效的途径。应当看到，在解决来自实际和数学内部的数学问题中，问题解决的过程和方法是基本相同的。不仅如此，这种过程和方法与解决一般的、其他学科中问题的过程和方法有很多共同之处。在数学问题解决中学习的过程和方法可以迁移到其他学科的问题解决过程中。因而通过数学问题解决，可以较快地教给学生一般的问题解决的过程和思想方法，从而提高学生的综合素质和能力。

在数学问题解决的教学过程中，既要注重发挥学生的主体作用，又要重视教师主导作用的发挥，二者相辅相成，不可偏废。特别是在讲到探索、猜想、发现方面的问题时要侧重于“教”；有时候可以直接教给学生完整的猜想过程，有时候则要较多地启发、诱导和点拨。因此，在一些典型的数学问题解决教学中，教给学生比较完整的解决实际问题的过程和常用方法，以提高学生解决实际问题的能力，应引起广大数学教师的高度重视。

参考文献：

[1]张奠宙，戴再平.中学数学问题集［M］.上海：华东师范大学出版社 ，1996.

[2]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）［S］.北京：北京师范大学出版社，2001.

[3]奚定华.数学教学设计［M］.上海：华东师范大学出版社，2001.

篇（2）

数学问题的解决是一个复杂而连续的心理活动过程,其一般思维过程是:缕析问题信息确定求解方案实施问题解答反思解题过程,下面以实例加以分析。

一、缕析问题信息

1.理清数学问题信息。数学问题作为一种有待加工的信息系统,它主要由条件信息、目标信息和运算信息三部分构成。理解和感知数学问题中的信息元素是解决问题的第一步。这一步主要是要求实施者明确问题所提供的条件信息和目标信息。

对数学问题基本信息的感知要做到全面而完整,特别是对那些综合性强、关系复杂的问题,要注意发现问题中的隐性信息,充分挖掘有用的信息,这对问题解决的顺利实施具有重要的意义。例如,在问题“大数和小数的差是80.1,小数的小数点向右移一位,刚好与大数相等。大数和小数各是多少”中,大数和小数之间的倍数关系这一重要条件信息没给出,而隐藏在“小数点向右移”一句话中,需要学生自己去发现。

二、确定求解方案

在第一步理解分析条件信息、目标信息的前提下,在头脑中已初步形成了数学问题的初始状态,及要解决的问题的目标状态。这时,解决者的思维就要进一步深入,提炼数学问题中存在的显性的或隐性的有用信息,链接各信息间的运算信息,选择解题方法,制定合理的求解计划,这是实现问题解决的最关键一步。这一过程由一组复杂的心理活动组成,一般要连续完成以下几方面的任务。

1.类化问题信息。一切数学问题的解决过程总是将未知的新问题不断地转化成已知的问题的过程,这是解决数学问题的基本策略。在这一环节就是把数学问题中呈现的主要信息同解决者原有认知结构中的相关知识和方法连接起来,并以这些已认知的知识和方法作为解决新问题的依据和基础,重新组合演化成解决新问题所需的新策略。

2.寻找解题起点。解决问题的切入点往往有所不同,具有因人而异的相对灵活性。如在解决例1时,学生一般都会想到从求科技书入手,求出前后科技书本数之差即可;另外,学生想到问题中隐含着文艺书的本数是一个稳定的不变量,只要抓住文艺书这一拐棍,求出前后总本数的差,此问题就能顺利获解。这一思路的解题起点就要从求出原来文艺书有多少本开始。如果学生只能顺着已知信息的思路,顺向思维来解决问题,这时学生的思维起点就会想到设出未知数,用方程解。具体从什么地方入手去解决问题,要根据不同数学问题的性状和学生擅长的思维习惯及个体思维能力而定,不能定式地一概而论。

3.确定解题步骤。确定解题步骤是指学生在头脑里整理出解决问题的详细操作程序,即确定先求什么,再求什么,最后求什么,这里只要求学生能在头脑中初拟即可,无需写出书面的解题计划。这一环节,放在整个解决问题的思维过程中来审视,主要是完成如何确定解题思维发展脉络的问题,在前面已确定的解题起点的基础上,进一步理清完善整个解题思维沿着什么方向进展下去,以保证解题时思维能朝着数学问题目标信息的方向顺利进行,而不至于偏离思维的主航道,影响目标信息的最后获解。

三、实施问题解答

实施问题解答就是将前面制定的解题计划付诸实施,使问题达到目标状态。这里提倡学生能用不同的方法来解决问题,数学新课标中提及:“学生要能探索出解决问题的有效办法,并试图寻找其他方法。”所以,这一环节学生承接第二步骤的思考,运用已类化的策略,从某一思维起点出发,按照既定的解题思路,对数学问题实施有序地推导、运算,直到得出正确的问题目标结果为止。

这一步既是一个执行解题计划的过程,同时也是一个检验和修正解题计划的过程。解题时若发现前面制定的求解方案和解题思路不当或不简便,在实施解答的过程中要及时加以修正,尽量靠近合理的路子,以减少解题过程的失误,使问题能较顺利地达成目标状态。

四、反思解题过程

数学问题获得求解,并不代表整个解题过程的终结,还需对上述整个解决问题的过程作明晰的反思,看解题过程是否合理、简便,结果是否正确。更要从解决问题的策略方面来整理思路、提升认识,让合理、有效的解题策略丰富自身解决问题的策略库。这一环节,可做好下面两方面内容。

篇（3）

一、关于“实习作业”的教学

“实习作业”是义务教育数学教材中体现素质教育的新增内容。它是通过学生的实践活动（如测量），加深对基础知识的理解与应用。因此，要求全体学生结合实际，认真做好实习，并写出实习报告。《代数》弟三册要求测量当地初中三年级男学生的身高；《几何》第三册要求测量倾斜角和底部可以到达的旗杆高。

这些内容对培养学生理论联系实际和动手操作能力具有重要意义，各地不得擅自删减。

二、关于计算器使用的教学

我国义务教育初中数学引入计算器教学，是为了适应现代科技发展的需要，是培养二十一世纪人才所必须的。根据义务教育初中数学教学大纲的规定，初中二年级引入计算器教学，是为了解决查平方根表和立方根表的困难；初中三年级引入计算器教学，是为了准确迅速地进行统计运算。因此，初二教学重点是，在介绍电子计算器构造的基础上，使学生掌握用计算器进行加、减、乘、除、乘方和开方计算；初三教学重点是，用计算器计算样本的平均数、方差、标准差。有条件的学校，可以组织课外活动，提高学生使用计算器的技能。未经计算器教学培训的教师，由各市教研部门组织培训或自学。

三、关于课本中的“读一读”、“想一想”、”做一做”内容的教学

义务教育初中数学教材增加“读一读”、“想一想”、“做一做”内容，是根据义务教育的性质和任务，为扩大学生的知识面面开设的新的教学栏目。“读一读”是供学生阅读的一些短文，“做一做”是供学生动手操作的一些实例，“想一想”是供学生思考的一些数学问题。这些内容部超出大纲的要求，不作教学要求，不能作正课讲给学生，中考命题范围不包括这些内容。教师可利用课外时间，指导学生自学这些内容。

四、关于解直角三角形与二次函数的教学

篇（4）

江苏省邳州市教育局教研室聂艳军

[摘要]新教材对于解决实际问题内容采用“以具体思维方法统整教学内容”的编排思路，其发展学生解决问题策略的意图是显而易见的。两步计算实际问题在解决实际问题教学中，占有十分重要的地位，分析与综合是学生经常使用而且必须掌握的基本策略。教学中，可以采用如下策略：“表征问题”，把潜在的经验曝露出来；陈述思维，体会思考的起点与方向；比较反思，从解题经验中提取可操作的成分；有效练习，在应用中深化体验。

[关键词]解决实际问题解题策略教学价值

新教材对于解决实际问题内容，变以往分类编排为按学生能力发展水平、由易到难编排，采用“以具体思维方法统整教学内容”的教学思路，即通过典型例题引路，在练习中把例题所提供的思维方法作为基本的思考模型，带动一大片题材宽广、数量关系丰富的内容学习。引领学生从过去过分关注问题的“表层结构”（问题所包含的事实性内容及其表述形式）转向现在更加关注它们的“深层结构”（问题内在的数学结构），其发展学生解决问题策略的意图是显而易见的。

两步计算实际问题与复杂实际问题的解题思路实质是相通的，只是计算的步数多少而已，抓好两步计算实际问题的教学对于学生的后续学习具有深远意义。两步计算实际问题的特征是：条件与问题之间存在着形式上的“分离”，即现有信息的结论指向与问题所需的信息之间存在着思维的障碍。学生在从当前的问题状态到达需要的目标状态的过程中，必须对数学信息和问题之间直接或间接的联系进行思考与分析。完成这种思维进程，分析与综合是学生经常使用而且必须掌握的基本策略。

下面结合苏教版课程标准实验教科书二下第82页的教学内容谈谈两步计算实际问题的教学思考。

一、“表征问题”，把潜在的经验曝露出来。

“表征问题”，就是让待解决的问题进入解题人的头脑，形成问题表象，也就是通常所说的理解题意。实际问题解答的成功与否，首先依赖于学生对实际问题内容的明确程度。新教材解决实际问题大多采用场景图的形式呈现问题情境。问题情境给学生创造一个模拟的“生活空间”，容易使学生体会到要解决的问题出自自己熟悉的生活原型，有身临其境之感。但是，解决问题所需要的数学信息是以对话、图画、表格、文字等多种形式镶嵌其间的，并呈现一定的无序性、隐蔽性，(教学论文　)很难形成对问题的完整印象。由此，指导学生从纷乱的现实情境中收集、整理数学信息，并按事情发生、发展的线索把问题说清楚、说完整、说准确，是首当其冲的。

[教学现场]

动画呈现例1场景图。大猴说：“我采了3筐，每筐12个。”小猴说：“我采了6个。”

师：图中讲了什么事？你能了解到哪些信息？

生1：大猴说：“我采了3筐，每筐12个。”小猴说：“我采了6个。”

生2：大猴采了3筐，每筐12个。小猴采了6个。

师：根据这些信息，能提一个数学问题吗？

生3：大猴和小猴一共采了多少个桃？

生4：大猴比小猴多采多少个？

师：我们先来研究第一个问题。谁能把条件和问题完整地说一说？

生5：大猴采了3筐桃，每筐12个，小猴采了6个桃。大猴和小猴一共采了多少个桃？

[教学分析]

经历将实际问题转化为数学问题的过程，是形成问题表象的通道。教师分三个层次引导学生经历这种转化的过程：首先，通过“图中讲了什么事？你能了解到哪些信息”，给学生留出充分的时间进入情境，引导学生仔细地看、充分地讲，把实际情境里的数学信息用自己的语言大胆地说出来。接着，要求学生根据信息提问题。收集、整理信息不是罗列条件，还要发现条件之间的联系，从中生成出新的、有用的信息（数学问题），由此唤醒学生的生活积淀和已有的原始经验，并孕育“由条件想问题”的综合思路。最后，通过完整地说一说条件和问题，把情境图表现的实际问题加工成语言讲述的数学问题，形成问题表象。学生经历将实际问题抽象成数学问题的过程，主要信息通过感知，不仅理解题意，形成完整的问题结构，而且把隐含在个体经验里的解题策略进行激活。这样，学生就容易形成对解决问题跃跃欲试的参与状态。

二、陈述思维，体会思考的起点与方向。

分析信息之间的关系，并用数学语言表述数量关系，形成解决问题的思路，是解决实际问题的核心。过去的教材教学两步计算的应用题时，在例题下面都有“想：根据和，先求”或“想：要求，需要知道和”。这样安排，漠视学生的主动性与能动性，容易形成限制学生的思维方式。新教材不再呈现思路提示，也并不等于学生可以“随意发挥”，教师无可作为。二年级学生虽然凭经验知道题目怎样算，但很难把自己的思维过程表达得清楚、完整。在初学两步计算的实际问题阶段，教师通过引导，使学生把自己的思维过程表述清楚、完整、有条理，还是需要的。这不仅有利于制定解题计划，更能加深学生对思维方法可操作成分的体验，为掌握基本策略提供物质基础。

[教学现场]

师：怎样才能求出大猴和小猴一共采了多少个桃呢？请小朋友先独立思考，然后在小组里说说自己的想法。

学生汇报讨论结果。

生：先用12×3=36（个），再用36+6=42（个）。

师：能具体地说你是先算什么，再算什么吗？

生：先求出大猴采了多少个桃，再把大猴采的个数和小猴采的个数加起来。

师：为什么先算大猴采了多少个桃呢？

生：因为小猴采桃的个数已经告诉，大猴采多少个桃没有直接告诉。

师：从题目中哪些条件能 算出大猴采的个数？

生：根据大猴采了3筐桃，每筐12个，可以先算出大猴采的个数。

师：谁能更完整地说说思考的过程？

生：因为大猴采多少个桃没有直接告诉，所以要先算所以先算大猴采了多少个桃，再把大猴采桃的个数和小猴采桃的个数相加。

生：先根据大猴采了3筐，每筐12个，求出大猴一共采了多少个桃，再和小猴采的6个加起来。

师小结：根据大猴采了3筐，每筐12个这两个条件，能算出大猴采了多少个桃，再用大猴采的个数加上小猴采的个数。

学生在作业本上独立列式解答，然后汇报，教师板书课题。

接下来，研究第二个问题。略。

[教学分析]

简单的乘加、乘减问题，从条件想比较顺畅，学生经常边读题边联系原始经验进行思考。张老师根据学生的学习心理，把思维的重点放在“综合思路”上，符合教材的编写意图。怎样使学生结合解题活动对这种思维方法能有良好的体验呢？“组织交流”是必不可少的环节。在很多教案里，教师也安排了交流，但对交流的内容、交流的重点、交流应达到的目的以及如何引导，没有细致的思考与准备，这样的交流难能让学生形成深刻的体验。在上面的教学中，教师首先鼓励学生独立思考，并在小组里说说自己的想法，这一方面是对学生已有的经验的尊重，另一方面也使得后面的交流活动“有话可说”。在第一个学生发言之后，教师通过“能具体地说说你是先算什么，再算什么的吗？”“为什么先算大猴采了多少个桃呢？”“从题目中哪些条件能算出大猴采的个数？”引导学生的交流逐步从零碎走向完整，从肤浅走向深刻。这样的交流，不仅孵化了解题思路，而且让学生体会到解决问题时思考的起点与方向。

三、比较反思，从解题经验中提取可操作的成分。

实话实说，现在的数学课堂很少再有教师示范解决实际问题的方法，代之而来的是让学生自主探索的解决问题的方法。然而，很多教师只关注学生的算法和结果是否正确，这种“只见树木”的教学行为，很难能让学生把例题学习的经验迁移到新的问题情境中去。由此形成的局面往往是，学生普遍感觉例题容易、练习较难。事实上，学生独立解决问题往往是在生活经验的支持下进行的。他们虽然对问题解决了，但对解决问题的过程与方法缺乏上升到数学层面反思、比较与提升，其认识表现出明显的情境性与局限性。因此，在学生积累一定的解题经验之后，教师应及时组织学生上升到数学的层面，重认自己的解题过程与方法，体会其中的思考，从解题经验中提取可操作的成分。

[教学现场]

师：请同学们仔细观察刚才的两道题，它们有什么相同的地方？

生1：条件相同，都是告诉大猴采了3筐，每筐12个。小猴采了6个。

生2：都要先算大猴采了多少个桃。

师：为什么都要先算大猴采了多少个桃呢？

生2：因为大猴采多少个桃不知道，不能直接相加、相减，所以要先算大猴采多少个桃。

生3：都是用两步计算。

师：有什么不同的地方？

生4：第二步不一样。一个用加法，一个用减法。

师：为什么呢？

生4：因为第一个问题是求两只猴一共采多少个，所以要把两只猴采的个数相加；第二个问题是求大猴比小猴多采多少个，所以要用大猴采的个数减去小猴采的个数。

师：以后解答问题时，要看清题目条件和问题，弄清先算什么，再算什么。

[教学分析]

回顾与反思是形成“策略”不可缺少的环节。有经验的教师在学生获得对问题的成功解决之后，会组织学生通过回顾与反思，及时把解决问题活动中所形成的潜在的、不规范的经验改造、提炼为有意识的、规范的形态。上面的教学为我们提供了这样一种示范：教师在学生自主探索例题与“试一试”之后，引导学生把解题的过程与方法作为研究对象，通过求同，提取思维方法中的可操作的成分；通过比异，加深对数量关系的进一步理解。学生在交流、比较、反思的过程中，逐渐把解题的感性认识提升成理性认识，并内化为可操作的经验系统。

四、有效练习，在应用中深化体验。

教育心理学家皮连生教授认为，认知策略的学致要经过三个阶段，第一个阶段是知道该策略是什么、有什么功用、包含哪些具体的操作步骤（陈述性知识阶段）。第二个阶段是结合该策略适用的情境，对如何运用这一策略进行练习，逐步达到能够熟练地执行策略的操作程序（程序性知识阶段）。第三个阶段是清晰地把握策略适用的条件，知道在什么时候、在什么地方使用这一策略，并主动运用和监控这一策略的使用（元认知阶段）。这三个阶段非一节课所能完成，而是一个连续渐进的过程。在学生初步体验综合思维方法的内涵后，教师应当及时提供题材丰富、数量关系多变的问题情境，让学生在应用方法解决问题的过程中，实现陈述性知识向程序性知识转化。[教学现场]

1.出示“想想做做”第1题。

师：这道题告诉哪些条件？要求的问题是什么？同位两人互相说一说，看谁说得有条理。

师：怎样算一共要多少元呢？先独立思考一下，再做在作业纸上。

学生汇报后，教师追问：15×2算的是什么？为什么先算它？

2.出示“想想做做”第2题。

师：怎样算还有多少棵没有浇？谁来说说自己的想法？

生1：我是这样想的，先根据“有4行树苗，每行14棵”算出一共有多少棵树苗，再从一共的棵数里减去已经浇的棵数。

师：说的太棒了！可以先根据男孩的话算出树苗一共的棵数，再算还没有浇的棵数。

生2：要求还有多少棵没有浇，就是从一共的棵数里减去已经浇的棵数，一共的棵数没有告诉，所以要先算树苗一共的棵数。

师：根据要求的问题

去想条件，也是一种重要的思考方法。

学生独立完成。

3.师：老师给每人准备一张卡片(注：小兔拔萝卜情境图)，卡片上有许多条件，还有问题。你们可以根据条件找相应的问题，也可以根据问题找相应的条件。请小朋友四人一组，找条件与问题。

1白兔拔了10个；2灰兔拔了30个；3白兔拔了2篮，4灰兔拔了3篮，

每篮5个；每篮10个。

问题：两只兔一共拔了多少个？

白兔比灰兔少拔多少个？学生讨论后，汇报。

生1：我们组选①②和“白兔比灰兔少拔多少个？”用30-10=20（个）

生2：我们组选①④和“一共拔多少个？”

师：你们是怎样想的？

生2：根据灰兔拔了3篮，每篮10个，先算出灰兔拔了多少个，再用灰兔拔的个数加上白兔拔的个数。

生3：我们组选③④和“一共拔多少个？”

师：你们是怎样想的？

生2：白兔拔的个数没有告诉，灰兔拔的个数也没有告诉。我们可以先求白兔拔了多少个，再求灰兔拔了多少个，最后把白兔拔的个数和灰兔拔的个数加起来。

[教学分析]

整个练习过程，教师的教学视点并非聚焦在学生解题的正确与否，而是突显对基本策略的体验上。教师通过给学生提供应用策略的广阔背景，让策略与解决问题的实践相随相伴，加深对策略要领的体验，获得对策略情感个体感受。首先，选择与例题相似的“乘加”情境， 让学生重温解决问题的过程；接着，设计“乘减”的变式情境，引导学生把例题中的思维方法向新的情境迁移；最后的选择搭配是一项富有挑战性的活动，情境给学生提供较宽的可供选择范围，学生带着前面学习所获得的成功体验，积极参与到自主探索、小组合作学习活动中，个体的数学经验、思维方法得以表征、凝固在活动结果上，学生不仅搭配出用一步、两步计算的实际问题，甚至还搭配出用三步计算的实际问题。而隐藏在学生创造性劳动成果背后的是分析条件之间的内在联系，综合思维方法得以充分历练。

综上，分析和综合是人们认识事物的基本思维过程，是解决问题的基本策略。具有并善于运用这些基本策略对分析问题和解决问题非常有益。让学生掌握分析、综合的思维方法，并内化成解决问题的策略，是一项阶段性工程，绝非一日之功，需要教师结合教学内容作出整体规划。

篇（5）

达到平衡时，将一支注射器压缩，可见混合气体的红棕色先变深，然后又变浅，说明当加大压强时，化学平衡向正方向移动。把达到新平衡的混合气与对比的注射器内的原混合气的红综色相比较，难于清晰看出前后两种平衡状态的颜色的深浅？同理，当拉开注射器时，混合气体颜色先变浅，又变深。仍是无法比较出前后两种平衡状态的颜色深浅？

此问题通过实验来解决，看起来可行，但实际在中学实验中不易做到。比如温度过低或压缩比例较小都会造成现象不明显。（25℃，压强至1/3以下，与原状态做对照现象较明显）。在高考处于3+综合的今天，有效的利用相关学科的知识对化学知识做以阐述是不无裨益的。下面试以数学知识对此问题做以分析，供老师们参考和评议。

二．问题的讨论：

此题关键是比较平衡移动前后的浓度大小关系，在中

有关系故

设体积改变前平衡状态时[NO2]=Amol/L，化学平衡常数为K，则原平衡状态时[N2O4]=KA2mol/L，使注射器体积改变为原容积的n倍后，NO2浓度改变了Wmol/L，体积改变后平衡状态时NO2的浓度用[NO2]/表示。

改变容积后的初始浓度(mol/L)mAmKA2

改变容积后的平衡浓度(mol/L)mA－xmKA2+x/2

（其中m=1/n，压缩注射器时x=W,拉开时x=-W）

只要比较出压缩前[NO2]与压缩后平衡状态[NO2]的大小，就能知道这两种状态下的气体颜色关系。

其它条件不变时，

整理得：2Kx2-(4KmA+1)x+2KmA2(m-1)=0

解得：

（一）压缩注射器

此时n＜1，则m＞1,x=W

取x1时，[NO2]/=mA-W=mA-x1=

因K＞0,A＞0,m＞1

故[NO2]/=

此不符合实际

取x2时,[NO2]/=mA–W=mA-x2=

讨论：

①若[NO2]/＜[NO2]，则

整理得：(16K2A2+8KA)(m–1)＜0

m＞1,此式不成立

②若[NO2]/＞[NO2]，则

整理得：(16K2A2+8KA)(m–1)＞0

m＞1，此式成立

结论：压缩注射器后，平衡状态混合气体颜色比压缩前还要深。

（二）拉开注射器

n＞1时，则0＜m＜1，因此平衡向生成NO2的方向移动，故x=-W

取x1时，[NO2]/=mA+W=mA-x1=mA-（mA+）

=

不符合实际情况

取x2时，[NO2]/=mA+W=mA-x2=

讨论：

①若[NO2]/＞[NO2]，则：

整理得：（16K2A2+8KA）（m-1）＞0

0＜m＜1，此式不成立

②若[NO2]/＜[NO2]，则：

整理得：(16K2A2+8KA)(m–1)＜0

0＜m＜1，此式成立

篇（6）

如式题；56÷7

1.按其运算顺序叙述：

①56除以7，商是多少？

②7除56，商是多少？

③56与7的商是多少？

④56被7除，商是多少？

⑤用7去除56，商是多少？

2.按其数量关系叙述：

①56里面有几个7？

②56是7的几倍？

③把56平均分成7份，每份是多少？

④一个数的7倍是56，求这个数？

3.按其算式的各部分名称叙述：

被除数是56，除数是7，商是多少？

文字题可以看成是式题的一种转换形式，它只是把口语转换成书面语。这样训练解决了中、差生对文字题理解的困难。如果我们再把文字题情境化，那就是所谓的应用题。

例如：1.有56支红铅笔，7支蓝铅笔，红铅笔的支数是蓝铅笔的几倍？

2.有56支铅笔，每7支铅笔分给一个小朋友，这些铅笔够分给几个小朋友？

3.把56支铅笔平均分给7个小朋友，每个小朋友分得几支？

……

由于简单式题包容着丰富的内涵，就给知识的转移、教学过程的铺垫、教学内容的深化都带来了方便。可见“一题多叙”可以培养发散思维，提高学生分析问题、解决问题的能力。

一题多变一题多变就是把一道题目改变条件或改变问题变换成许多题目。通过一题多变的训练，可使学生从变化发展中掌握应用题之间的联系，构建新的知识结构。

如当一年级学生学完一步应用题，该学两步计算应用题时，让学生知道解答两步应用题的关键是弄清题中的间接条件。由于学生对间接条件的由来不清楚，常常出现解复合应用题时不知从何入手，把两步应用题做成一步，或出现乱做现象。若老师讲一种类型题，学生就做一种类型题，那么题目稍加变化学生就不会做，就会出现死记硬背现象，形成定势思维，不利于培养学生分析问题、解决问题的能力。为了改变这种状况，我抓住解答两步应用题的关键，让学生弄清什么是间接条件，间接条件与已知条件、与问题之间有什么关系等。途径是由一步题导入。

例如：“黑兔12只，白兔3只，一共有多少只兔？”我是这样引导学生的：黑兔的只数，白兔的只数，题目中都直接给出，我们称这两个条件是直接条件，所以一步计算就可以得出一共是15只兔。如果题中第一个条件黑兔12只不变，那么第二个条件白兔3只与黑兔12只有什么关系？（学生会说：白兔3只比黑兔少9只……）如果题中“白兔3只”这个条件不直接给出，根据与黑兔的关系说出来，该怎样叙述题中的第二个条件？（学生可以答出：白兔比黑兔少9只……）解决问题需要知道白兔和黑兔的只数，白兔这个条件需要我们通过与黑兔的关系先算出来，白兔这个条件没有直接给出，这叫间接条件，谁还能把这个条件再变换一下说法，使它变成间接条件？（学生回答：黑兔比白兔多9只，黑兔是白兔的4倍……）

学生思维活跃了，想方设法说出更新颖的条件。这样他们在积极思维中理解了什么是间接条件，间接条件与已知条件、与问题的关系等。理解了也就自然会运算了。接着我又让学生将第一个条件变成间接条件，第二个条件、问题都不变，或问题随着其中的一个条件同时改变，目的仍是巩固练习两步应用题。这样的讲授方法是从学生分析问题入手，在提高学生能力上下功夫，教给学生了解问题、分析问题、解决问题的思路，使学生掌握了解两步应用题的方法，从而收到了事半功倍的效果。下例是学生把一道题目通过改变条件和问题变换成两步应用题。

附图{图}

在两步应用题的基础上，不受任何限制地变换任何一个条件和问题，使学生思维扩展，学生可编出三步四步等较为复杂的问题。这样训练，在知识方面可以使学生举一反三、触类旁通，在能力方面可以培养学生思维的灵敏性和创造性。学生分析问题、解决问题的能力明显地提高了。

一题多解一题多解就是根据题目的结构特征和数量关系，引导学生借助已有的知识，从各个不同角度去思考，从各个方面去分析题中的数量关系，采用各种不同解法达到知识的融会贯通、灵活运用。

例如：学校买来一批儿童读物，按4:5分给五年级甲乙两个班，甲班分得20本，这批儿童读物一共有多少本？

解法一：设这批儿童读物一共有x本？

204──=──

x4+5

思路：把这批读物按4:5分给甲、乙两个班，可以看作是把这批读物平均分成(4+5)份，甲班分得4份，乙班分得5份，也就是甲班分得的本数与读物总数的比是4:(4+5)。

5

解法二：20×(1+──)

4

思路：如果把甲班分得的本数看作单位“1”，乙班分得的本数就

55是甲班的─，那么这批儿童读物的总本数就是甲班分得本数的(1+─)。

44

解法三：设这批儿童读物一共有x本。

4

x×───=20

4+5

思路：把这批读物按4:5分给甲、乙两个班，可以看作是一共分成了(4+5)份，甲班分得其中的4份。把这批读物的本数看作单位"1"，甲

4班分得这批读物的──正好是20本。

9

解法四：20÷4×(4+5)

思路：把这批读物按4:5分给甲、乙两个班，可以看作是一共分成了(4+5)份，其中甲班分得4份，是20本。可以先求出每一份是多少本，再求一共有多少本。

学生还能列出以下算式：

4

①20÷──+20

5

4

②20÷───

4+5

③20÷4×5+20

④解：设这批读物一共x本

x-20=20÷4×5

⑤解：设乙班读物有x本

20x

──=──，再算x+20

篇（7）

一、引言

概率论作为数学的一个分支，与其他学科分支有着密切的联系，具有广泛的应用性。著名的数学家王梓坤院士指出：“用概率论的方法来证明一些关系式或者解决其他数学分析中的问题，是概率论的重要研究方向之一。”概率论方法不仅能解决一些随机的数学问题，而且还可以解决一些确定的数学问题，而且某些在数学分析中很难解决的问题，只要运用合适的概率论模型或是定理，就能得到很好的解决。

二、概率论与数学分析的联系

众所周知，概率论的大厦是建筑在微积分的地基之上，而概率论的调色板，则始终是以数学分析为底色的.但是作为微积分的一门后继课程，概率论并非按微积分中的思维方法发展下去，而是另辟蹊径，其发展路径与微积分大相径庭，最终成为了随机数学的典型代表，具备了与微积分分庭抗争的地位.更因其非线性、反因果的非理性特征，显得比经典的数学分析更具有时代精神.而作为确定性数学典型代表的数学分析对概率论的发展具有很大作用，因此寻绎数学分析在概率论中的地位，阐述概率论的因果特征是很有意义的.

集合论与概率论的公理化体系；集合论是在微积分的营养液中培育出的一颗明珠，而公理集合论使微积分的纷争彻底休止.众所周知，数学的研究对象一般都是内涵着某种结构的集合，或者是可以通过集合定义的事物.因此说，集合论可以充当整个现代数学的基础.在这一点上，数学分析和概率论都不应例外.由于集合论与微积分之间存在着明显的源和流的关系，又由于勒贝格积分有效地建立了集合论与测度论的联系，进而形成了概率论的公理化体系.因而集合论对概率论的渗透可视为微积分对概率论的一次较有力的推动.

函数、随机变量与分布函数；在函数关系的对应下，随机事件先是被简化为集合，继之被简化为实数，随着样本空间被简化为数集，概率相应地由集函数约化为实函数.以函数的观点衡量分布函数F（x），F（x）的性质是十分良好的：单调有界、可积、几乎处处连续、几乎处处可导.因之，数学分析中有关函数的种种思想方法可以通畅无阻地进入概率论领域.随机变量的数字特征、概率密度与分布函数的关系、连续型随机变量的计算等等，显然借鉴或搬运了微积分的现成成果. 不难确知，概率论的公理化、体系化的动力源，不仅是集合论和测度论，更重要更基本的仍然是数学分析的那一套理论.因此，概率论形成体系后的高歌猛进，不妨视作概率论向着微积分的靠拢与回归.

级数在概率论中的特殊作用；200年前，拉格朗日就指出凡是函数都能用幂级数表示的事实.随后傅立叶发现所有函数都能用傅立叶级数表示，康托尔引入点集拓扑的概念.然而对概率论产生影响的不光是傅立叶级数，还有等比级数、二项式和式、调和级数等等.作用是方方面面的，有的构成反例，有的便于计算，有的揭示出了特殊的计算方法等等.

三、概率论方法解决其他分支数学问题

概率论方法解决无穷级数问题的意义 。无穷级数是无穷多项相加，可能收敛，可能发散。当级数收敛时，其和存在，然而如何求出收敛的无穷级数和，至今没有简便易行的统一求和公式。从上述六个例题中，不难发现，用概率论方法解决无穷级数问题避免了数学分析中求无穷级数的常见缺陷，利用广义贝努力模型等概率论模型，根据相关概率论模型的性质，直观地解决无穷级数问题，优势显而易见。

概率论方法解决积分问题。概率论是研究随机现象及其规律性的数学学科，它既有着自己独特的概念和方法，内容丰富，又与其他科学分支有着紧密的联系，具有广泛的应用性。在概率论中，连续性随机变量的概率分布函数、数学期望与积分有着一定联系， 这使得用概率论的思想方法证明某些积分不等式成为可能。下文将运用概率论的思想方法，重新推证一些积分问题。

概率论方法解决恒等式问题。复杂恒等式的证明在数学分析中一直比较麻烦的，然而通过上述三道例题的证明，我们可以看出通过构造合适的概率模型解决恒等式问题的相当方便的。只要我们等构造合适的概率论模型，根据概率论中的相关知识，我们可以将数学分析中的恒等式问题转化为概率论问题，从而解决恒等式问题，这样的方法简单、直接，是解决这类问题的好方法，不仅如此，用概率论方法解决恒等式问题还使得一些抽象数学在现实生活中找到具体的模型，使其具体化、直观化。

四、结语

数学分析与概率论作为数学的两个分支，它们之间一定有必然的联系。然而传统的概率论应用让我们很容易忽略概率论方法在解决数学分析中的应用：概率论方法解决极限问题、概率论方法解决无穷级数问题、概率论方法解决积分问题、概率论方法解决恒等式问题、概率论方法解决不等式问题，对概率论方法在数学分析中的应用介绍，我们对用概率论方法解决数学分析中的问题有一定启发：利用概率论方法解题的关键，是根据不同的数学问题，建立合适的随机模型，然后利用概率论中的相关定理，直接得到答案。概率论方法不仅在数学分析中能方便的应用，在其他的数学分支中也应该有其重要的应用。

参考文献

[1]马文.概率应用及思维方法[M].重庆大学出版社，2009.

[2]叶乃琛.用逐项微分法求随机变量得数学期望与方差[J].中国包头职大学报， 2009，9：

[3]陆晓恒.概率方法在数学证明问题中的应用[J].高等数学研究， 2003，6（3）：43-44.

[4]于义良.概率论中的微积分方法[J].工科数学，2007，13（4）：163-166.

[5]孙荣恒.趣味随机问题[M].北京：科学出版社，2004.

篇（8）

关键词： 案例式教学；概率论与数理统计；应用

Key words: case-based teaching；Probability and Mathematics Statistics；application

中图分类号：G642；O21 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2011）25-0204-02

0 引言

概率论与数理统计是理工科各专业的一门重要的基础课程，其理论方法独特，抽象，既有严密的数学基础，又与众多学科有着密切的联系，其理论方法已广泛应用于自然科学，社会科学及人文科学的一切领域。随着科学技术的迅速发展，它在经济，管理，工程，技术，金融，物理，化学，地理，天文，生物，环境，教育，语言，国防等领域的作用愈益显著。随着计算机的普及，概率统计思想方法已成为信息处理，制定决策，试验设计等的重要理论与方法。可以说，凡是有数据出现的地方，都不同程度地应用到了概率统计提供的模型与方法。为了更好地促进学科的发展，适应经济，社会迅速发展的需要，文献[1，2]对本课程的改革与实践做了一些探索。本文对案例式教学法在概率论与数理统计课程的教学改革作一些探讨。

1 概率论与数理统计课程的特点

概率论与数理统计课程是研究随机现象统计规律性的数学分支。其理论方法独特，抽象，它建立在公理化结构之上，理论严密，体系完整，同时，它的实践性又很强，很多重要的统计思想，方法都是来自于实践，又运用于实践。概率论与数理统计课程的这种实践特点决定了在本课程的教学过程中有必要通过引入案例分析，以问题解决为驱动，提高学生的以发现问题、分析问题、解决问题为主的实践能力。

2 案例式教学法

现在，有一种流行的教育教学方法称为“案例教学”。“案例教学”就是通过实际问题的描述、假设、建模与求解，演示理论与方法的应用过程。数学上，这样的教学方式就是所谓的“问题解决”的数学建模的思想。这种方法不拘泥于对理论和方法的阐述，更注重对理论与方法的实际应用过程的展示：包括问题的描述、所涉及的变量及其相互关系、问题的假设与简化、问题的数学模型的建立与求解。即案例式教学是以问题为中心的一种教学方法，以问题为主线，发现问题，分析问题，解决问题，以问题开始，以解决问题结束。通过这种教学方式，可强化学生对基本概念、方法的理解，激发学生的学习兴趣。

3 案例式教学法在概率论与数理统计课程中的应用

在概率论与数理统计课程教学中，在介绍完每一章的基本概念、理论、方法之后，适当的引入一些相关的教学案例，可以激发学生的学习兴趣，加深学生对所学基本知识的理解，通过对案例的深入分析，可以强化学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。下面介绍几个在本课程中使用的案例。

3.1 运气问题 此问题通过对日常生活中的运气问题的分析，加深了大家对古典概型中相关知识与方法的理解[3，4]。问题如下：日常生活中，我们经常遇到某件事（结果）连续发生，如打牌时连续摸到好牌（或臭牌），是否存在我们所说的运气？下面运用古典概型相关方法对此进行深入分析，以使学生对此问题有更深入的理解。

我们运用掷硬币试验对打牌问题进行描述：第i次掷出正面表示第i次得到好牌，用“1”表示；第i次掷出反面表示第i次得到臭牌，用“0”表示。

参考文献：

[1]邓华玲等.概率论与数理统计课程的改革与实践[J].大学数学，2004，（1）.

篇（9）

该论文集反映了随机微积分发展的最新趋势、数学金融学者及其研究所关注的深层开放的新观点；讨论了随机控制及其在经济、金融和信息理论中的应用。部分重要论文内容如下： (1)V．Arkin和A.Slasmikov的及时投资优化模型为各种征税方案提供一种方法；(2)Yu．Kabanov和M.kijima的合作模型为自主产品潜能中的投资和金融市场中投资提供了一种决策方法；(3)M.Raso-nyi和L.Stettner提出离散时间模型，使投资者正确投资以获得最大的经济利益；(4)I.Sonin写的论文讨论了去除算法主要是解决可数状态速度Markov链的递归优化问题； (5)O.Bamdorff-Nielsen等五位学者指出了近似值和极限值的不同；(6)J.Carcov和J.Stouanov用不同随机调节系数方程描绘双面系统和渐进稳定财产的问题；(7)A.Cherny总结了各种集中方法的性质；(8)B.Delyon，A.Juditsky和R.Liptser建立了过程的适中背离原则经历各种Markov链过程的一致变化，该方法主要工具是泊松方程和随机指数；(9)A.Guschin和D.Zh-danov用统计规律证明了极大极小准则，总结了Haussler分歧函数的结论；(10)J.Fajardo等几个学生主要致力于研究金融适应性这一关键点上跳跃过程，如J．Fajardo等的筛选放大理论；(11)H.J.Engelbert等认为解决Skorohod问题惟一方法是用零漂移和可计算的扰动计算系数一维随机方程；(12)S.Lototsky和B.Rozovskii提出了一种新的解决有限或无限扰动方程的方法；(13)M.Mania和R.Tevzadze证明了BMO不等式的解决方法，使数学金融学得到进一步的发展；(14)J.Obloj和M.Yor的论文给出了二维过程和谐函数的特性；(15)G.Peskir致力于研究偏微分方程用于解决不相似的线性随机方程和起源积分的基本方法。论文集还涉及到布朗优化问题、高斯编码和解码的优化结果、经历各种Markov链过程背离原则的变化情况和现代基础方法在金融数据经验研究中的应用等等。

该论文集有以下几个特点：1　该文集中的论文主要是由Albert的早期学生、合著者、同事及其仰慕者所写，以此来纪念Albert Shiryaev的70岁生日；2　论文集提出了很多模型和方法来解决数学金融中所遇到的问题；3　将数学理论和随机控制理论应用到金融理论中，经济或金融研究更具有理论基础。作者R．Lipster是Tel Aviv大学电气工程学院教授，主要研究问题包括过滤问题的近似问题、大规模偏移问题、排队论中的近似扩散、随机控制的近似问题和决策理论等问题；作者J.Stoyanov是Newcastle大学数学统计学院教授，主要研究问题包括随机分析和应用、随机过程论、分布特性、时机问题和随机过程和概率论中的博弈问题。

侯玉梅，教授

篇（10）

【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2013）15-0143-01

数学问题解决就是在数学思维指引下，运用数学基础知识和基本技能分析与解决数学问题的过程。本文针对数学学科特点和中学生的年龄特征，提出了数学问题解决的思维过程的审题、转换、实施、检验、反思五阶段的构想。

一 审题

审题就是理解题意。我们所面临的数学问题本身就是“怎样解这道题”的信息资源，只不过题目中的积极暗示往往通过语言文字、公式符号以及它们之间的关系间接地告诉我们。因此，开始研究题意时，应逐字逐句地思考问题中每一个词（每一个符号、术语）的意思，仔细做出直观的图形、表格和步骤，使之直观化、具体化，清晰地罗列出问题中的各个元素，弄清楚其中哪些元素是已知条件，哪些是所求的未知结论。条件与结论之间和哪些知识有关？尽量找出题中的重要元素。做到以上各项，就意味着你对整个问题有了清晰的、明确的和具体的印象和理解。如果在此基础上，我们可以确定解题的策略，那么只需要将此决策付诸实施。如若不行，则需要尝试着进一步全面、深刻地理解题意。从题目的语言结构、逻辑关系、数学含义、解题方法、数据要求等方面真正理解题意，从题目本身获得尽可能多的信息，为实施正确的解题策略提供尽可能多的客观基础。

二 转换

转换就是在审题的基础上，寻求已知与未知之间的转化。这就需要善于运用联想、类比、模拟和归纳分析等手段，把问题转化为较熟悉的或简单的问题，从而确定解题的策略。一般地说，在对问题有了完整的印象和理解的基础上，我们可以从已知条件或未知结论的任何一方入手，架起沟通已知与未知之间联系的桥梁，从而使问题得到解决。如果能与一个类似的有关的熟悉问题联系起来，就可以构造并解决类似的问题，从中找到解决原题的途径。如若不然，可以适当地简化问题的条件，考虑问题的特殊情形，通过特殊化问题的解决猜想出一般化问题的结论，再加以证明，从而使问题得到解决；或者将题目的条件或结论扩大到容易入手的一般性问题。通过解决一般化问题的方法、技巧和结果，顺利解出原题。在整个探索解法的过程中，就是利用抽象思维、形象思维、直觉思维的各种方式，充分调动大脑的认知结构，对问题的求解进行直觉的洞察、深入的分析和丰富的联想，特别是形象思维和直觉思维尤为重要。

三 实施教学方法

实施是在找到解题方法以后把它付诸实施，也就是展开解题思路，构思解题步骤，实施具体运算和推理的过程，是解决数学问题的中心环节，是训练有条理地思考问题，表达想法的有效途径。解题过程要规范，要做到正确、合理、完满、清楚及简洁。

四 检验

检验就是对整个解题过程加以检验、查证，可采用“以粗为主、精细结合”的方法来检验。“粗”指的是检查题意是否误解，已知数据、图形是否出错，条件是否全部用上，是否符合解题要求，解题过程是否合理，步骤是否完整，结果是否科学。即从整体上粗略检查题解。“细”指的是检查解题过程中的每一步推理是否合乎逻辑，每一步计算是否准确无误，所用到的数学知识是否准确。此外，还可以根据题目自身的特点，变换角度检验。即通过不同的途径、方法来核对结论的正确性，培养学生的辨证思维能力。

篇（11）

作者简介：王爱苹（1979-），女，河南郑州人，黄河科技学院信息工程学院，讲师；孙贵玲（1981-），女，河南郑州人，黄河科技学院信息工程学院，讲师。（河南 郑州 450063）

基金项目：本文系2011年黄河科技学院教育教学改革项目（项目编号：JG2011009）的研究成果。

中图分类号：G642.41 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2013）25-0114-02

随着科学技术的发展，数学的应用范围日益广泛。社会对数学的需求不再仅仅是数学家和专门从事数学研究的人才，而更多的是在各行业从事实际工作、运用数学知识和数学思维来解决大量实际问题的人。而数学建模正是运用数学思想和方法解决实际问题的极好载体，因此很多高校都开设了“数学建模”课程。“数学建模”不同于高等数学等其他的数学课程，它是一门实践性和应用性都很强的课程。“数学建模”不仅涉及了微分方程、概率论与数理统计、运筹优化、图论等许多数学分支的知识，还包含了常用的数学建模方法、数学模型案例等。学生学完这门课的普遍反映是基础知识学习困难，很多内容似懂非懂，建模方法掌握较少。如何在“数学建模”的教学中激发学生的学习兴趣，充分调动学生的学习积极性，提高“数学建模”课程的教学效率？如何培养学生的问题意识和创新能力？针对这些问题。本文在“数学建模”课程中引入了问题教学法的教学模式。

一、问题教学法的教学模式

问题教学法是一种新的教学模式，与传统教学有很大的区别。在传统的教学中，教师考虑最多的是“教什么、怎样教”的问题，很少顾及学生“学什么、怎样学”，限制了学生学习的主动性和创造性。[1]为了改变这种现状，美国神经病学教授Howard Barrows于1969年创立了基于问题和项目的学习（Problem Based Learning）理念教学法。[2]这种方法不像传统教学模式那样先学习理论知识再解决问题，而是让学生围绕问题寻求解决方案。它强调让学生置身于复杂的、有意义的问题情境中，并让学生成为该问题情境的主体，自己去分析问题，学习解决该问题所需的知识，进而通过合作解决问题。此外，教师在该过程中也可以通过提问的方式，不断地激发学生去思考、探索，培养学生自主学习的能力。与传统的教学模式相比，问题教学模式更注重对学生自学能力、创新能力、发现问题和解决问题能力的培养。

问题教学模式刚开始主要被应用于医学、市场营销、实验教学、毕业论文的写作等领域。[3]近年来，一些学者开始探索将这种教学模式引入到“数学建模”课程的教学中。黄河科技学院从2009级信息与计算科学专业的学生开始，在“数学建模”教学活动引入问题教学模式，已经取得了初步的成效。

二、基于问题教学法的实施步骤

1.教师提出问题

教师在每次上课之前要精心设计适合学生自学的问题体系，目的是为了诱导学生的思维，激发学生的学习兴趣，让学生置身于特定的问题环境中，营造一种质疑、探究、讨论、和谐互动的学习氛围。这一步骤要求教师不仅需要熟悉教学内容，还必须更好地了解学生的实际情况，这是成功实施问题教学模式的基础。

2.积极分析问题

问题教学法的基本特点是教学环节由一连串问题组成，并且问题与问题之间的联系具有链接性和层次性。前一个问题是后一个问题的铺垫，后一个问题又是前一个问题的深化和拓展。在学生熟悉了相关知识的基础上，根据给出的实际问题，教师引导学生进行探索。探索活动一般包括自学教材、观察实验、小组讨论等方式。学生一方面要充分利用原有认知结构中存储的有关知识信息，另一方面可以利用教材、实验或教师提供的阅读材料，获取解决问题的方法。在对问题讨论中教师要创设和谐民主的教学环境，要让学生充分发表自己的见解，大胆质疑，相互答辩，相互启发。

3.解决问题

当所有学生都对问题的解决方案有了一定的思路之后，教师组织课堂发言。让每一小组推荐一位表达能力强的学生，在课堂上把他们对解决问题的方法及结论的合理性进行讲解。在每组讲解完之后，其他学生可以对他们进行提问，而发言小组的学生要向其他同学和老师进行解释。教师在主持和引导的同时，也可以向学生提问。这样通过对一个又一个问题的提问，推动学生思考，将问题引向纵深层次，一步步朝着解决问题的方向发展。

4.对问题的结果进行评价

问题教学法不仅以问题为开端，还以问题为终结。教学的最终结果不是传授知识来消灭问题，而是在解决已有问题的基础上引发更多、更广泛的问题。因此教师在对问题的结果进行总结时要注意引导学生反思“这个问题为什么要这样解决”，“这个问题还可以怎样解决”，“从解决这个问题中我学到了什么”以及“这种解决方案还有什么不足之处”等等，从而激发他们提出新的问题，这是问题教学中最重要、最有教益的一个方面。

三、基于问题教学法的实施案例

在基于问题教学的过程中，每次讨论的问题都围绕某一专题进行讨论学习，下面以“公平的席位分配问题”[4]为例，说明在“数学建模”中如何运用问题教学法。

1.合理设计问题

奖学金评定是学生比较关心的问题，笔者根据学生的兴趣及认知水平选择“奖学金名额分配问题”。设某校有5个系A、B、C、D、E，各系学生数分别为345、72、894、68、39，现在有74个奖学金名额，问每个系分配几个名额比较公平？[5]在给出问题后，我们将相关问题印发给学生，并让学生课下先收集关于“公平的席位分配问题”的模型及相关求解方法并认真研读。

2.小组讨论分析问题

根据课下学生收集的求解方案，上课时首先以小组为单位初步讨论。首先提出如果让同学们进行分配的话，他们会使用什么方法进行分配，让他们进行讨论。学生首先会给出比例分配方案，如果按人数比例分配到各系的名额恰好都是整数，可以得到完全公平的分配方案。但在很多情况下，按人数比例分配到各系的名额带有小数。比如在这个问题中各系分配的名额数分别为：18.00、3.76、46.65、3.55、2.04，有小数部分。可以先把整数分配完，这时各系分配的名额数为：18、3、46、3、2。共分配了72名额，还有2个名额该如何分配？大家经过讨论，会提出谁的小数部分大就把名额给谁的分配方案，于是第73个名额给B系，第74个名额给C系。最终的方案是各系名额数分别为：18、4、47、3、2。接着老师会提出下面的问题，这种分配方案对谁最不公平？学生会进一步讨论每个名额代表的人数，A为19.17人，B为18人，C为19.02人，D为22.67人，E为19.5人，说明这种分配方案对D系最不公平，而B系最占便宜，两个系中每个名额代表的人数相差了4.67人。那么要重点讨论有没有相对来说比较公平的席位分配方案。

3.学生进行发言讨论

在所有小组都讨论完之后，教师组织各组学生进行课堂发言和讨论，让每组选一人报告本小组讨论结果。教师对各组的报告进行评价，指出在讨论过程中的问题及不足之处。在这个问题中，学生根据课下收集的文献资料会逐步提出Q值分配方案，Q值分配方案的改进，Q值+D’Hondt分配方案，席位分配的平均公平度方案等等。每种方案都是前面方案的改进，最后我们提出问题，这些分配方案公平度如何？让学生逐一讨论，从而营造出一个讨论主题鲜明、学习氛围良好的课堂环境。

4.教师对结果进行评价总结

在这个问题中，经过逐一讨论，大部分学生认为问题已经圆满解决了，不会再对结果进行归纳整理，不会反思问题解决的思路。因此在最初的问题解决后，老师要引导学生进行评价总结，比如：“各个方案的公平度如何”，“我们还有没有更公平的分配方案”，“公平的席位分配方案应满足什么原则”等等。

结论：从“公平的席位分配问题”这个案例可以看到，在教学中为学生设计一个真实的问题进行教学，学生可以通过真实问题进行学习，并且以一个真实问题的解决为主线，激发学生的学习兴趣和探索精神，再通过结果反馈信息，引导学生逐步深入理解学习内容。学生在研究问题的过程中不仅学习了课本上的知识，而且还亲身体会了解决实际问题的乐趣，为学生以后自主学习提供了极大的帮助。[6]

四、结语

当然，在“数学建模”课程的教学过程中问题教学模式也存在不足之处，比如课程内容多、课时少，问题讨论时间和讲授时间出现矛盾，对有的专题讨论不够深入，学生参与度不够，学生发言的深度和广度都有待于进一步提高等等。这需要教师认真归纳讲课内容，尽量分离出较多比较有吸引力的专题供学生讨论，以问题为中心规划教学内容，让学生围绕问题寻求解决方案，从而提高学生学习的主动性，提高学生在教学过程中的参与程度，激发学生的求知欲。“数学建模”课程教学的本身就是一个不断探索、创新和提高的过程，选择正确有效的教学方法能更好培养学生的创新能力，激发学生对数学建模的兴趣。

参考文献：

[1]赵海涛，刘继和.“基于问题的学习”与传统教学模式的比较研究[J].外国教育研究，2007，（12）：53-57.

[2]杜祥云，Anette Kolmos，Jette Egelund Holgaard.PBL：大学课程的改革与创新[J].高等工程教育研究，2009，（3）：29-35.

[3]陈学松，温洁嫦.问题驱动教学法在《数学建模》课程教学中的实践[J].教育教学论坛，2012，（8）：143-145.

[4]戴朝寿，孙世良.数学建模简明教程[M].北京：高等教育出版社，

2007.