数学分析论文大全11篇
时间：2023-03-25 10:45:59
篇（1）
课程代码318.009.1编写时间
课程名称数理统计
英文名称Statistics
学分数3周学时3+1
任课教师*徐先进开课院系**数学学院
预修课程
课程性质：
本课程为数学学院本科生开设，是概率论基础的继续，介绍数理统计学的基础知识。
基本要求和教学目的：
课程基本内容简介：
数理统计是一门理论研究与数学实践相结合的学科，它区别于概率论基础部分，不从概率空间出发，而是考虑如何给随机现象装配一个概率空间。
数理统计学研究数据资料的收集、整理、分析和推断，广泛地应用于社会科学、工程技术和自然科学中。
教学方式:
教材和教学参考资料：
作者教材名称出版社出版年月
教材概率论，第二册，数理统计（两分册）人民教育出版社1979
参考资料陈希孺数理统计引论科学出版社1981
峁诗松,王静龙，濮晓龙高等数理统计高等教育出版社，施普林格出版社1998，2003
J.O.BergerStatisticaldecisiontheoryandBayesionanalysis,2ndedition
中译本：贾乃光译，统计决策理论和贝叶斯分析Springer-Verlag,NewYork
中国统计出版社1985
1988
教学内容安排：
第一章引论
本章的教学目的是阐述数理统计学的基本问题，介绍数理统计学的基本概念。指出了现阶段的教学内容是研究如何利用一定的资料对所关心的问题作出尽可能精确可靠的结论，而不是考虑如何设计获得数据的试验。
统计量是从数据中提取信息的工具。本章介绍了两种常用求估计量的方法，介绍了刻画统计量性能的一致最小方差的概念。
§1统计学的基本问题
§2数理统计学的基本概念
§3求估计量的两种常用方法
§4一致最小方差无偏估计
第二章抽样分布
本章假定待研究的母体服从最常见的正态分布，导出了常用统计量，，的分布。本章的结论是对小样本讨论的，由于正态分布的特殊性，它们也可作为大样本情形的极限分布。
本章还介绍了与正态母体相联系的柯赫伦定理与费歇定理。
§1正态母体子样的线性函数的分布
§2分布
§3分布和分布
§4正态母体子样均值和方差的分布
第三章假设检验（I）
本章的教学目的是让学生认识到参数估计、假设检验和区间估计是针对问题的不同性质而作的三种统计推断，掌握并正确理解显著性检验问题的处理步骤。在本章的执行过程中，给出了一些典型的假设检验问题的分析和理解，以帮助学生掌握和运用这一统计思想。
本章介绍了具有一般意义的广义似然比检验。
§1引言
§2正态母体参数的检验
§3正态母体参数的置信区间
§4多项分布的检验
§5广义似然比检验
第四章线性统计推断
本章主要讨论数理统计学中两类重要的问题，线性模型和回归分析，介绍了处理另一类问题的方差分析。在数学过程中，解释了在复杂问题中使用线性模型的合理性，也分析了统计假设在实际问题中的意义。
在本章的执行过程中，比较了回归分析与线性模型的异同点。
§1最小二乘法
§2回归分析
§3方差分析
第五章点估计
本章从理论的角度讨论了一致最小方差无偏估计的性质。介绍了一些寻找一致最小方差无偏估计的方法。
篇（2）
2．在教学中培养学生的探索性思维
新的课程改革倡导学生主动观察、动手操作、大胆猜测、合作与交流等数学学习活动，而且有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的主要方式。在全新的教育理念下，教师的角色、教学方式、学生的学习方式发生了根本性的变化。特别是数学的探索性思维在教学中的最高点，它不依常规，寻求变化，从多层次、多角度、多方位考虑问题，我认为在农村进行数学教学中培养学生探索性思维需要抓好几个方面：1.培养学生学习数学的兴趣。假如学生对数学学习有兴趣，整个心理活动都处于主动的状态，就会聚精会神地去学习并真正掌握数学概念、性质及基本规律。2、培养学生良好的思维能力。因为具有良好的思维能力，能让学生从“知识型”转化为“智力型”，让学生学会全面地综合地思考问题。比如小学高年级的应用题里的一题多解，它需要思维的广泛性，所以教者必须多让学生多动脑筋，多去想想，才能形成良好思维能力的习惯。
转贴于中国论文下载中心studa
3．加强学法指导，提高学生数学能力
过去，应用数学意识的教学是我们数学教学中的一个失落，课堂教学不讲数学的实际来源和具体应用，只让学生死记硬套。随着市场经济的迅猛发展，生活中的数学问题，已日渐成为人们的必需常识，如果数学教学仍旧视而不见，只满足于“本本思维”，不管实际应用，那就太不合时了。要让学生通过数学学习，体会到数学与现实生活有着千丝万缕的联系，并且能应用于现实生活，解决各种实际问题。因此，进行素质教育既要研究教师的教，又要研究学生的学。让学生在数学知识形成中掌握其规律、方法，逐步培养学生由“学会”向“会学”发展。布鲁纳提出：“获得的知识，如果没有完满的结构把它联在一起，那是一种多半回被遗忘的知识。所以，数学教学中的学法指导十分重要的一项任务就是如何引导学生通过知识的联系，怎样归纳、怎样系统的整理，使学生所获得的知识在头脑中形成完整的认知结构。同时引导学生理解和掌握获取的数学知识的方法运用到实际中去。比如，现在最流行的尝试学习方法及操作法、迁移类推学习法等，还学生学会分析、比较、综合、逆向、假设解题方法，以指导分析方法为例，比如，（1）甲车每小时行a千米,乙每小时行b千米,两车相向而行,经过5小时相遇,两个一共行驶多少千米的路程?（2）甲乙两车从中点向相反方向行驶,甲车每小时行a千米,乙车每小时行b千米,经过5小时,两车相距多少?（3）甲乙两工程队合修一条路,甲每天修米,乙每天修b米,经过5天修完,这条路有多长?(4)甲医两人从大桥两端相向走来,甲每小时走a米,乙每小时b米.经过5小时两人相遇,大桥有多长?(5)小红买了a本语文练习本和b本数学练习本,每本5角钱,一共用多少钱?引导学生观察分析，可发现上面三个问题中的数量关系都可概括为同一个数学表达式5a十5b，使学生认识到一个数学表达式可以概括无数实际问题的数量关系，揭示出它们之间的本质联系，从而为以后应用题教学作好准备。这样在引导学生分析过程中，挖掘了数学知识的内在智力因素，学生能借助学法很好的消化、汲收、应用数学知识，培养了能力。
4．联系现实生活实际，整合和充实教材内容
篇（3）
【正文】
中国古代数学的研究，目前存在着一些彼此对立的研究结论；正确地分析存在着的矛盾结论，无疑会有助于人们深入地了解中国古代数学，同时也会使人们对数学史研究的方法和评价标准有新的认识。
一、几个有代表性的矛盾结论
如何评价中国古代数学，如何评价在中国古代文明中数学的作用以及它取得的成就是每个数学史学者关心的问题。但是目前的一些研究却有着一些矛盾的结论，这些矛盾的结论往往是围绕着认识、理解、评价中国古代数学的关键性理论问题展开的。
1.关于古代数学运用的思维方式问题
中国古代数学是否象古希腊那样明确地运用逻辑思维问题，目前已成为评价中国古代数学的一个重要因素，因为在人们的认识和理解中，数学如果没有严格的逻辑思维形式，那就很难成为真正的数学理论，袁晓明先生的研究结论与人们的良好愿望相反，他认为中国古代数学不存在象古希腊数学那样以逻辑为基础的思维方式，“与古希腊数学严格地采用逻辑演绎的逻辑思维方式不同，中国数学则是以非逻辑思维为主，即主要通过直觉、想象、类比、灵感等思维形式来形成概念、发现方法、实现推理的。”[1]
郭书春先生通过对《九章算术》的研究，得出相反的结论，他认为《九章算术》的注释中已经具有并形成了演绎的逻辑方法及演绎的逻辑体系，“刘徽注中主要使用了演绎推理，他的论证主要是演绎论证即真正的数学证明，从而把《九章算术》上百个一般公式、解法变成了建立在必然性基础之上的真正的数学科学。”[2]
巫寿康先生与郭书春先生的观点相同，他认为：“刘徽《九章算术注》中的每一个题，都可以分解成一些首尾相接的判断，如果仔细分析这些判断之间的联系，就会发现这些判断组成若干个推理，然后由这些推理再组成一个证明，因此可以说，《九章算术注》中的论证已经具备了证明的结构，就大多数注文来说，这其中的推理都是演绎推理，大多数证明也都是演绎证明。”[3]
中国古代数学到底“是以非逻辑思维为主”，还是“主要是演绎证明”，这是中国古代数学研究中一个矛盾的结论，还没有得到统一认识的问题。
2.关于中国古代数学理论构造的问题
按照西方数学的模式，一种数学著作若是按应用问题的类别编排，并且每一个题之后给出解法和答案，那么这个数学著作就是一个习题集的模式，也许正是由于这种客观原因，许多国外的学者都认为中国古代数学不存在什么理论构造，李约瑟先生就认为“从实践到纯知识领域的飞跃中，中国数学是未曾参与过的。”[4]著名的数学家陈省身先生也有相同的看法，他认为“在中国几何中，我无法找到类似三角形内角和等于180°的推论，这是中国数学中没有的结果。因此，得于国外数学的经验和有机会看中国数学的书，我觉得中国数学都偏应用，讲得过分一点，甚至可以说中国数学没有纯粹数学，都是应用数学。”[5]
中国的一些数学史学者对此持完全相反的观点，坚持强调中国古代数学理论构造的存在性。李继闵先生认为“中国传统数学具有自己独特的理论体系，它以理论的高度概括、精炼为特征，中算家善于从错综复杂的数学现象中抽象出深刻的数学概念，提炼出一般的数学原理，而从非常简单的基本原理出发解决重大的理论关键问题……中国传统数学理论，乃是为建立那些在实际中有直接应用的数学方法而构造的最为简单、精巧的理论建筑物。”[6]
中国古代数学是否有一个理论意义上的构造体系，这大概是目前中外数学史专家们对中国古代数学研究中的一个最大的分歧点。如何正确地评价中国古代数学的体系构造已成为中国数学史研究中应当回答的理论问题之一。
3.关于珠算在中国数学史中的地位问题。
在中国数学史的研究中，人们一直认为宋元数学是中国古代数学的高峰。宋元之后的明代珠算无法与宋元数学的成就相比，明代珠算一般被认为是“民用”或“商用”数学。言外之意，珠算是不能登中国古代数学理论构造的大雅之堂。许多学者认为宋元数学的衰退、被人遗忘是很值得研究的理论问题，而明代珠算却没有什么值得在理论层面给予研究的意义。
笔者的观点与当前评价宋元数学和明代珠算的观点都相悖。笔者认为珠算是中国古代数学在宋元之后取得的又一里程碑式的成就，它是中国筹算在运演工具上的重大创新，是筹算运演发展的重大突破，是中国古代数学技艺型发展的必然结果。[7]
如何评价珠算在中国数学史中的地位，实际也带来了如何评价宋元数学的一系列问题，在这个问题上笔者也提出了与目前传统观点相悖的论点，即宋元数学的成就，是中国筹算在特定的社会动荡、传统儒家观念发生紊乱、仕大夫仕途无望的文化氛围中奇异性发展的结果，当社会是进入稳定发展、仕大夫按照儒家传统观念走向仕途时，宋元数学就必然会被整个民族文化所淡忘。[8]
对珠算与宋元数学的评价，实际上涉及了如何看待中国古代筹算体系的发展及其内在规律的问题，这一问题也是正确认识中国古代数学的一个理论性的问题。
二、数学史研究的方法论问题及评判的理论依据
从方法论的意义上来考察中国古代的数学史研究，可以发现实际上存在两个不同层次的研究状况，第一层次的研究是指对史料的收集、整理、考证。应当说这个层次的主要工作是在中国古代数学的范畴内对数学史实的发展及其流变进行分析认证。这一层次的分析考证应当确认史料的年代及其真伪，以及史实在中国数学发展中所处的地位。第二层次的研究，是对已确认的史料与世界数学史的比较评价。应当说这个层次的比较研究是在世界数学史的范畴内（实际上主要是中西数学发展的范畴内）进行比较研究，这一层次的主要工作是要确认中国古代数学已达到的理论层次。这一过程显然是把中国古代数学纳入到已有的理论框架中进行比较，进而要求表述中国古代数学在现有古代数学史理论框架内所处的地位、理论层次、构造性状况以及它对现有数学史理论的贡献。
在方法论意义上，这两个不同层次的工作不能混同，因为这两个层次的工作存在着研究的范畴差异、时间差异和评判依据准则的差异。[9]
所谓范畴差异，是指第一层次的研究是在中国文化的范畴内进行分析考证，而第二层次的研究主要是在中西文化的范畴内进行比较评断。第一层次研究此时要解决的是史料真伪状况及在中国文化中的发展状况，而第二层次的研究要回答的是，已经证实的中国史实材料与西方数学相比，与现代的数学理论相比，其结果如何。
所谓时间差异是指第一层次的研究是要把史料放在原有的历史时间内考证史料是什么，它的语言、背景、含意等等，第一层次运用的是历史时间序列。第二层次的比较研究是要把史料放在现代数学史的理论框架内来比较评判中国古代数学的史料达到的理论状态、在人类数学史中的地位等等。因此说，第二层次研究运用的是现代的时间序列。
所谓评判差异，是指第一层次的分析考证运用的是在历史演化发展时数学自身变化发展的评判尺度，即以中国古代数学的自身成就来评判某一特定历史阶段数学史实的意义。此时运用的是中国古代数学史的评判准则。例如，判定某个历史时期筹算的成就，运用的是筹算自身发展的规律来判定那个时期筹算达到的运演和理论的实际状况。当然，第二层次上的比较评判，运用的却是现代数学史研究的理论框架并以此分析评判中国古代数学某个史实所达到的标准。
值得指出的是，我们目前的一些比较评价，实际上都是在第二层次上进行的，但是作为第二层次研究所特有的方法论意义上的要求，却常常不被严格遵守，尤其是第二层次的比较评判中应当特别强调的理论评价准则在先的原则，往往不被重视。也就是说，如果我们要把某一个中国古代数学的史实与世界数学的理论形式相比较，就必须明确地认识到或论证出现有的数学成果构成的理论标准，并以此标准来判断中国古代数学的史料是否达到了这个理论标准。
中国一些数学史学者在进行中国古代数学的比较评判时，往往把第一层次的工作与第二层次的工作混同起来，尤其是在没有指出应有的评价准则时就把自己的感悟、个人的理解换成一种客观的标准，进而就得出一种评判的结果。这样的结论不仅会带来研究结果的矛盾，更为重要的是会使我们的研究成果具有很大的主观性、随意性特征。例如，台湾的学者李国伟先生就曾对国内学者认为刘徽“求微数法”就是无理数的研究成果提出疑义，并且从五个层次论述了刘徽的结果与无理数理论的差异。[10]显然，对于无理数问题的评判，国内一些学者缺乏理论标准在先的意识。
在自然科学史研究中，人们就是在正确地使用方法论的同时，也还有一个对史实论证过程中的潜在的理论模式影响的问题。这个问题实际已经超越了方法论意义的讨论，它实质上涉及了用什么样的古代数学理论模式来评判筹算所具有的理论价值。例如，对于中国筹算发展为珠算的评判以及对宋元数学和明代珠算的评价，虽然在数学史的研究中属于第一个层次的问题，但是它实际上已经涉及了用一种什么样的古代数学的模式来评判筹算取得的一些成果。
现在可以看出，中国古代数学史研究中出现的某些相互矛盾的结论，不仅仅是一个方法论方面的问题，它实际上涉及到用什么样的理论标准来评价筹算的发展、演变以及不同时期取得的成就。更进一步的问题可以成为，中国古代筹算是应当按照西方古代数学的模式来评价，还是放弃西方古代数学的模式重新建立一个中国文化中数学发展的模式，可以说这后一个问题是中国数学史面临的一个很值得讨论研究的理论问题。
三、筹算的特征及分析
从目前数学史研究中可以发现，人们对筹算构成的一些理论性问题很感兴趣，评价颇高，而对实际应用的发展评价颇低，似乎不被看作是中国古代数学的什么重大成果。同样的，人们对《九章算术》中表现的逻辑形式十分看重，而对它表现的筹算操作运演本身评价一般（如对代表正、负意义算筹形式及其排摆方法）。其实中西古代数学明显地存在巨大差异，这些差异正是我们客观认识中国古代数学发展模式和理论框架的必要基础。
吴文俊先生认为，中国古代数学是紧紧依靠算器而形成的一种数学模式。“我国的传统数学有它自己的体系与形式，有着它自身发展途径和独到的思想体系，不能以西方数学的模式生搬硬套……从问题而不是从公理出发，以解决问题而不是以推理论证为主旨，这与西方以欧几里得几何为代表的所谓演释体系旨趣迥异，途径亦殊……在数学发展的历史长河中，数学机械化算法体系与数学公理化演绎体系曾多次反复互为消长，交替成为数学发展中的主流。”[11]中国筹算的依靠算具、形数结合、重在操作运演本身，以解决具体问题为构造模式的这些特征应当看作是一种中国古代数学的理论发展模式。
从中西古代数学的比较可以得到如下四个方面差异。
1.筹算的运演和结果表现在一种竹棍摆排上，而古希腊数学运演和结果则表现在文字符号书写上。
2.筹算在运演是一种竹棍的排摆，是一种规则指导下的手工操作，而古希腊数学的运演是书写在文字符号的运演过程中，是一种规则指导下的文字运演过程。
3.筹算是以具体问题的分类构成体系，而古希腊数学是以文字符号运演的逻辑形式进行分类（按数学的内部规律进行分类）并构成体系。
4.筹算是以实际致用为发展方向，而古希腊数学则是以理性精神的表述为自己的发展方向（西方著名科学哲学家波普尔，直到今天仍认为欧几里得的《几何原本》并不是数学的教材而是柏拉图构造世界的一种图示，因为它以五种正多面体结束最终的构造[12]）。
对照上面筹算与古希腊数学的差异，我们可以看出中国古代数学理论建构的某些特征。
第一，运用形数结合的竹棍来表现数学，竹棍的运演本身及竹棍自身的变化就毫无疑问应当是中国古代数学发展的一个重要内容。
第二，运用竹棍的手工操作规则是一种算法而且不留有过程，竹棍操作运演是一种程序。筹算的程序应当是中国古代数学的一个重要内容。这与古希腊文字运演重视逻辑思维方式、逻辑运演的规则是完全相异的。
第三，筹算是以实际问题的类型分类建构，这与古希腊数学以公理、公式为类型的建构模式完全相异。
第四，筹算的致用发展是一种民族文化赋予它的价值取向，它不会也不可能从理性的意义去构造自身、发展自身。因为在中国文化中，起文化中理性指导作用是《周易》的六十四卦模式。[13]
运用上面四个特征的分析，我们可以获得如下的一些结论。
结论1筹算运演程序的成就及筹算运演工具自身的改进和创造（筹算到珠算）都应看作是中国古代数学的重大进展，亦应看作是对人类古代数学的贡献。
结论2中国古代数学的逻辑思维方式与古希腊数学的逻辑思维方式的对比是不对称的比较，中国古代数学的算法程序（包括摆排的技巧及指导思想）才是与古希腊逻辑思维方式相对称的比较。在人类思维的意义上，筹算算法程序的建立和发展与古希腊数学形式逻辑思维的创立和发展是人类古代数学思想的两大方向。
结论3数学的理性构造不应当依西方古代数学的模式为唯一的人类古代数学的模式，数学理性构造的方向是一种文化特征。应当在明确两种文化的数学理性层次（处于形而上层次还是处于形而下层次）差异的基础上，进行数学自身意义的比较，而不能把一种民族文化特征（如西方数学在理性意义上的构造及在理性意义对其它学科的影响）看作人类古代数学的唯一的特征或必要的特征。
应当说，讨论方法论的层次、讨论中西古代数学的模式差异，已经上升为对古代数学的一种哲学意义的思考。目前，中国古代数学史的研究还缺乏对筹算的一些哲学层次的理性思考，我们的一些中西古代数学比较研究往往会不自觉地把西方数学的模式套到筹算上来。
值得指出的是，许多数学史学者在进入到中西古代数学的比较评价时就进入了一种二难状况。其一，是中国学者往往从自身的文化传统及研究中深感筹算的意义，但是筹算与古希腊数学相比却总是由于差异而难获公论。其二，企图找出筹算与古希腊数学具有的某些相似的特征，并以此论证筹算的历史地位，但在古希腊数学的模式面前又很难比较。
笔者认为，中国古代数学史的研究要想走向世界，一个重要的理论问题就是要在哲学的意义上建立一个没有西方数学价值观影响的或称之为超越西方古代数学模式的古代数学理论模式。数学是一种文化这已是中西方学者在目前的共识，文化差异不应当是抹杀古代数学成就的条件，而应当成为人类古代数学不同贡献的说明。我们只有认清中国文化中数学的文化层次、价值取向以及运演工具、运演方式、构造模式的特征，我们才能在一种中西文化差异的基础上客观地评价筹算取得的成果以及它对人类古代数学的贡献。
【参考文献】
[1]袁晓明：《数学思想导论》，广西教育社，1991年版，125页。
[2]郭书春：“关于中国古代数学哲学的几个问题”，《自然辩证法通讯》，1988年，第4期，44页。
[3]巫寿康：“刘徽《九章算术》逻辑初探”，《自然科学史研究》，1987年，第1期，20页。
[4]李约瑟：《中国科学技术史》三卷，科学出版社，1978年，337页。
[5]陈省身：《陈省身文选》，科学出版社，1991年版，244页。
[6]李继闵：《中国数学史论文集》（二），山东教育出版社，1986年版，14页。
[7]王宪昌：“宋元数学与珠算的比较评价”，《自然科学史研究》，1996年，第1期
[8]王宪昌：“宋元数学与文化价值观”，《大自然探索》，1995年，第124—127页。
[9]王宪昌：“试论中国古代数学的评价准则”，《科学技术与辩证法》，1995年，第5期，15—18页。
[10]李国伟：“《九章算术》与不可公度”，《自然辩证法通讯》，1994年第2期，53页。
篇（4）
所谓“说课”，即授课教师在备课的基础上，结合有关教育教学理论，就一节课或一个单元（章节）或一个知识点，说教材、说教法、说学法、说教学程序。
数学说课内容，主要有四个方面：
1．说教材。说课者要对教材进行分析，要说出所教知识在整个学科知识体系中或小学阶段本年级、本册书、本单元中所处的位置和作用，教材编写的意图，前后知识的相互联系，教学目的、要求、重点、难点及要害，课时安排等。
2．说教法。说课者要说出教学内容以哪种教学方法为主，采用哪些教学手段及其理论根据。一般来说，任何一节课，都是多种教学方法的综合运用，不管以哪种教法为主，采用什么教学手段，都是根据教材和学生实际、结合学校的设备条件以及教师本人特长而定的，要注重实效。
3．说学法。说课者要说出通过教学内容教给学生什么样的学习方法，培养学生哪些能力，如何调动学生积极思维，怎样激发后进生学习爱好，使学生既学会知识，又把握学习方法。
4．说教学程序。说课者要说出所授内容的教学思路、课堂结构、板书设计。
所谓教学思路，即打算怎样教，分几步完成，每步怎样做，以及为什么这样教，理论根据是什么。教学思路没有固定的模式，但一定要符合教学大纲的要求，可根据不同教材、不同年级学生特点和教师的教学风格设计。对于板书，则要说出板书设计的意图。
二、开展说课活动是优化课堂教学的有效途径
上述“四说”之中蕴含着教育思想、教育观点、教育原则、教学方法。因此，要想使说课说得明白、说得有理有据，教师必须深钻教材，研究教学方法和学法。
说课是对教学蓝图的分析、论证。其根本目的是为了上好课。可见说课尽管是教师的切磋琢磨，但目的是为了优化课堂教学，提高教学效率，促进素质教育的落实。
（一）说“准”教材，促进“三基”教学抓好基础知识教学和基本技能、基本思维方法的培养，是素质教育在小学教学上最主要的要求。实践表明，说“准”教材，能促进“三基”教学，而要说“准”就必须深钻教材。
首先，要切实把握好一节课的教学目的要求。对于任何一节课，确定教学目的要求都是十分重要的，因为它指出了教学的主攻方向，规定一整节课教学活动的归宿。确定教学目的要求，一要全面、二要具体、三要恰当。所谓全面，即不仅要有对知识的要求，也应当有对能力的要求；不仅要有对智育的要求，也应当结合教学内容有对思想品德的要求。所谓具体，即指在40分钟里能够具体实现的。
所谓恰当，即指要求的程度要符合教学大纲的要求及学生的实际，过高过低都是不科学的。
其次，要根据知识之间的内在联系，找准新旧知识的连接点。数学新旧知识间有密切的联系，新知识一般都是在旧知识的基础上引伸发展起来的。所以在深钻教材时要找好新旧知识的衔接点和生长点，从学生最近发展区，创设最佳的问题情境。要很好地运用旧知识和已有的概念，已知概念是由形象思维向抽象思维转化的决定性催化剂。比如，要讲异分母分数加减法，可先安排同分母分数加减法复习题，让学生说出同分母分数加减法的法则及算理，然后出几组通分的题让学生通分，接着就可以出现3/42/5一题，让学生讨论与复习的题有什么不同，应该怎样计算。学生利用旧有知识，运用迁移规律，进入学习新知识的阶段。
（二）说“明”教法，促进思维能力的培养要说明教法，就得研究教法，优化教法。一般来说，选择适当的教学方法要做到“四要”：一要有助于调动学生熟悉活动的积极性和发展能力；二要重视激发学生的学习动机；三要遵循熟悉规律，启发学生思考；四要注重适应面向全体和因材施教的不同需要。比如，关于长方形面积计算公式的教学，有三种教法。
教法一，教师直接告诉学生长方形的面积计算公式：长方形的面积＝长X宽。教法二，列表，发现规律。教法三，将一个长方形分成若干个面积单位，让学生“数”，预计会出现三种数法：①逐个数；②按行（列）数；③先数后乘。在此基础上，教师擦去小方格而量长和宽。
比较上面三种教法，教法三是一种较优的教学方法。教法一是只教结论，不教过程；教法二虽有分析过程，但以数据为基础，没有“面积”的直观图形：而教法三则采用数形结合的方法，借助于面积单位，让学生通过“数”发现规律，这种教法是让学生经历由直接计量到间接计量的过程。在寻求公式的过程中，学生的抽象思维能力得到了提高。
（三）说“会”学法，促进学习能力的培养实施素质教育的要害是教给学生学习的方法和策略，使学生实现由“学会”过渡到“会学”的质的飞跃。因此，教师在考虑如何教的同时，也要考虑如何指导学生学。学生把握了学习的方法，学习数学的能力提高了，学习积极性也增强了。在教学中，一是要加强学习方法的指导和学习习惯的培养；二是要加强思维方法的引导，让学生逐步把握正确的思维方法，培养与发展他们的思维能力，如面积概念的建立，就应着重培养学生抽象概括的能力。教学时要让学生摸一摸文具盒盖的面、数学课本的封面，比一比文具盒盖的面和课本封面的大小，抽象出物体表面有大有校紧接着在投影板上将四条线段围成一个图形，再将另外四条长一些线段围成一个图形，让学生判定两个平面图形的大小（学生难以判定）。
教师再将大小相等的方格覆盖在图形上，让学生观察，数一数方格有多少个，在此基础上抽象出围成的平面图形有大小之分，进而引导学生概括出什么叫面积，让学生在参与的过程中，学到并把握一定的数学思维方法。
（四）说“清”教学程序，促进教学效率的提高说课的一个重要特点是要说清楚理论根据，即不仅要说出怎样教，更要说出这样教的理由。因此，说课者设计每一步教学程序都应蕴含着教育思想、教育原则，从而保证课堂教学设计的科学性，以达到优化教学的目的。
篇（5）
当然，这方面的工作又只是刚刚开始，要真正搞好“案例分析”，应当说还有很多工作要做．以下就从这样的角度，特别是围绕如何通过案例分析促进实际的教学工作提出一些初步的意见．
第一，“案例分析”当然以案例的收集作为实际出发点．但是，除去“以生动活泼的形式呈现学生做数学的真实过程”以外，笔者以为，我们又应在案例的分析上花更大的力气．因为，如果忽视了后一环节，那么，即使人们可以由所制作的录像获得一定的启示，诸如“难道我们的学生具有如此巨大的潜能？”“难道我们的学生连这些简单的数学都不懂？”等等；但这主要地仍只是一种即时的、素朴的反应，更是与教师的实际教学活动相分离的．从而，即使我们积累起了众多的案例，但最终却很可能获得这样的结果：现场的演示引起了强烈的反映，人们纷纷做出各种各样的评论，但是，由于缺乏必要的引导与深化，这些反映就始终是分散和零乱的，这样，对相当一部分人来说，最后就很可能没有从中得到任何真正的启示或教益，另外一些人在当时可能领悟到了某些东西，但由于未能得到及时的强化，更由于所说的案例又“聚集在学生做数学上”，因此，这些认识也就往往不能在头脑中真正得到确立，更未能对改进实际教学产生持久、稳定的积极效果．
作为一个反例，笔者在此并愿提及以下的事实：在对美国进行学术访问期间，我曾参加过一个数学教育博士研究生的论文答辩会．当被问及其所做的工作时，这位研究生展示了她所制作的近百盘（关于学生学习活动的）录像带，并说：“这就是我的工作．”这些录像带的制作当然不是一件很容易的工作，但是，人们还是要问：“所有这些录像带又究竟说明了什么呢？”显然，如果我们不能对后者做出明确的说明，那么，单纯的数量积累就是毫无意义的！
综上所述，相对于案例的收集而言，我们就应更加注意对于案例的深入分析，特别是，就案例在教师培养活动中的应用而言，我们不能消极地期待教师会由观看录像等而在教学观念上发生迅速的转变，而应发挥积极的引导作用，以使之由一种自发的行为转变成为自觉的行为．
第二，从根本上说，我们之所以要深入地去了解学生在数学学习活动中真实的思维活动，无疑是为了更好地去进行教学．也正因为此，笔者以为，我们关于学生学习活动的案例分析，主要地也就应当集中于如下的问题：这对于我们改进教学有什么启示？
为了清楚地说明问题，可以联系王长沛教授在上海所演示的以下案例进行分析．
三个小学生被要求解决如下的问题（凭记忆复述，因此不很准确）：
一个抽屉中放有80个红色的小球，70个白色的小球，60个黑色的小球，50个兰色的小球．小球的外形完全相同．一个小孩在看不见的情况下从抽屉中随意取出一些小球，问他至少要从中取出多少个才能保证其中一定有10对颜色相同的小球．
尽管这一问题有一定的难度，但是，这三个学生通过积极探索，包括相互合作，最终成功地解决了这一问题．从而，这就清楚地表明了学生中的确存在有巨大的潜能．
但是，从教学的角度看，我们在此又可引出什么样的结论呢？特别是，在充分承认学生具有创造性才能的同时，教师在此又应发挥什么样的作用呢？
具体地说，笔者以为，在上述的解题过程中教师应当发挥积极的启发或引导作用，包括在学生遇到困难时通过给予适当的启示以帮助学生克服困难，以及在学生成功地解决了问题以后帮助学生做出必要的总结，从而使之从不自觉的行为上升为自觉的行为，特别是在思维方法上更能有所收获．
例如，上述问题的求解事实上包括了两个关键点：一是以5作为考虑的基本单位，二是应当考虑每次配对后的余数——只需要把这两者很好地结合起来，我们就可成功地解决上述问题．
由录像可以看出，这三个学生事实上就是依据这样的方法解决问题的．但是，在此要强调的是，尽管学生通过主动探索成功地解决了这一问题，但这并不意味着他们对其中的关键点已经有了清楚的认识，因此，这就应当被看成教师的一项重要工作，即是在所说的情况下应当帮助学生对解题过程做出认真的总结，以清楚地认识其中的关键点，从而也就可能在新的不同场合加以推广应用．
当然，后者并非是指教师在此应当直接去点明所说的关键点；与此相反，笔者以为，更为恰当的做法是，教师可以对原来的问题做出适当的变形，借以启发学生建立起自觉的认识．例如，如果我们将问题变化为抽屉中放有五种或六种（而不是四种）颜色的小球，就可帮助学生清楚地认识第一个关键点，也即实现由不自觉行为的重要转变．
另外，与所演示的情况不同，如果教师所遇到的是这样的情况：尽管学生进行了积极的探索，但却始终未能解决问题．这时教师可提出这样的问题：我们能否首先解决较为容易的问题？即如至少要从中取出多少个才能保证其中一定有一对（而不是十对）颜色相同的小球？又至少要从中取出多少个才能保证其中一定有二对颜色相同的小球？事实上，在所演示的录像中，那三个学生也正是通过特殊化而发现了上述的两个关键点．从而，这也就清楚地表明了这样一点，无论在哪种情况下，在问题最终得到解决以后，我们又应帮助学生在思维方法上做出总结，即如加深对于“特殊化”这一方法的认识．
值得提及的是，王长沛教授在会上并曾提到以下的事实，即他的合作者曾要求高中学生求解同一个问题，而所得到的结果则是“完全出乎预料的”，即高中学生的实际表现并不明显优于小学生．在笔者看来，这事实上也就清楚地表明了思维方法的重要性，这就是说，如果我们忽视了这样一点，那么，即使他们曾经成功地解决了成千上万个问题，但其解决问题的能力却并没有得到很大的提高．
第三，笔者以为，以上的分析事实上也为我们深入地开展数学教育研究提供了重要的思路，这就是说，与所提及的“纯自然状态”下的学习情况的真实记录相对照，我们也可以教师指导下的学习作案例，并通过两者的比较分析引出进一步的结论．
篇（6）
一、优化智能结构智能结构是数学教育所培养和形成人的素质中的主要组成部分之一。学生通过数与计算、空间与图形、量与计量、统计与概率、方程与关系，运筹与优化各个领域的学习，了解现实世界，认识到数学是从人类实践活动中产生和发展起来的，同时又广泛地应用于实践。学生通过对数学活动的参与，学习和掌握科学研究的基本方法，例如观察实验、尝试猜想、合情推理、严格论证等，建立和增强数学意识如化归意识、抽象意识、推理意识、符号意识、量化意识等。这些方法和意识将使人长期受益。思维品质是智能素质的核心内容。按奥加涅相在《中小学数学教学法》中所说，数学思维的基本成分可分为具体思维（指与事物的具体模型密切联系和相互作用的一种思维）、抽象思维（指摆脱研究对象的具体内容，进行一般性质的研究的思维）、直觉思维（指越过中间阶段，从整体上考虑问题、迅速接触到问题答案的一种思维）、函数思维（指从数学对象、性质之间的相互关系中认识事物的一种思维）四类。这些成分比较全面地体现了逻辑思维、形象思维、直觉思维及辩证思维的主要特性。经常性的数学思维训练可使学生的思维品质得以改善和提高。良好的思维品质表现为思维的灵活性、严谨性、批判性、广阔性及创造性。思维的灵活性表现为转向及时，不过多地受思维定势的影响，善于从旧的模式或传统的思维轨道上摆脱出来。数学中提倡“一题多解”，这是培养思维灵活性的一条有效途径。思维的严谨性表现为考虑问题严密有据。数学中，问题的解决允许运用直观的方法，但不停留在直观的认识水平上；运用合情推理，但要加以逻辑论证；运用定理时强调定理成立的条件；以及正确地使用概念，完整地解答问题等等。这些都体现出思维的严谨性。思维的批判性是指对已有的数学表述或论证解答能提出自己的看法，不是一味盲从。即使自己理解和接受的东西，也要谋求改进使其更臻完美。数学中常用到的构造反例驳倒假命题，就是批判性思维的具体表现之一。思维的广阔性是指对一个事实能做出多方面的解释，对一个对象能用多种形式表达，对一个问题能给出各种不同的解法。思维的创造性是指思维活动的创新程度，表现为分析、解决问题时的方式、方法和结果的新颖、独特。善于发现、解决并延伸问题，是思维创造性的一种体现。这些良好思维品质的形成，必将逐步提升为一种创新意识和创造能力。二、健全心理素质心理素质是适应环境，赢得学习和生活成功的必要条件，它在人的素质形成中起着调节作用。心理健康的特征应该包括乐观向上，积极进取，能经受挫折，具有耐心与恒心。问题是数学的心脏，问题往往源于好奇。从瓦特观察沸水现象，到现在一些复杂的科学发现，无不发端于好奇。美国一家科普杂志曾调查了当代75位著名科学家成才的原因。答案中提到“对大自然的好奇心和对科学的兴趣”的占43％。青少年的好奇心表现得最为突出，随着人的年龄增大，反而渐渐失去了这种可贵的天性。数学是一门充满神秘与奇趣的学科，著名的“七桥问题”“四色问题”“哥德巴赫问题”等，诱发了多少人的好奇心，激活了人们无尽的智慧。数学的抽象性使得数学问题的解决经常伴随着困难；会使学生体验挫折和失败。而这正是磨炼意志，提高耐挫力的时机，愈挫愈奋、百折不挠的良好心理素质不会在一帆风顺中形成。著名数学教育家波利亚对此有过精辟的论述：“如果学生在学校里没有机会尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐，那么他的数学教育就在最重要的地方失败了。”三、增强审美意识数学美自古以来就吸引着人们的注意力。正如人们所说，“哪里有数，哪里就有美”，数学美不同于自然美和艺术美，数学美是一种理性的美，抽象的美，没有一定数学素养的人，不可能感受数学美，更不能发现数学美。数学以其简洁性、对称性、和谐性、统一性、奇异性为特征表现出它的美。一些表面上看来复杂得令人眼花缭乱的对象，一经数学的分析便显得井然有序，从而唤起理性上的美感。例如三角函数的诱导公式，又如，1，i，e，π这些貌似互不相干的数居然以eiπ＝－1这样简单的形式和谐地统一在一起，它被认为是充分显示数学内在美的一个公式。至于黄金分割体现出的比例美，也令人赏心悦目。对称美是数学美的核心。数学图形及数学表达式的对称不仅给人视觉上的愉悦，也给人们的理解和记忆不少便利，例如二项展开式系数，互为反函数的图象等。数学命题结构上的对称给人以最好的启发，由此及彼，可以类比推出新的命题，如从命题“若三角形的周长一定，则当这个三角形是正三角形时，面积最大”，可以对称地得到“若三角形的面积一定，则当这个三角形是正三角形时，周长最斜。一方面，数学美给人们以精神享受，从而激发起学习研究的兴趣；另一方面，对于数学美的追求，又会给数学的发现带来积极的影响。数学中的审美原则在数学发现中占有重要的地位。研究表明，美感与直觉紧密相关，审美能力越强，则数学直觉能力越强，从而数学发现与发明的能力也就越强。数学中充满美，绚丽多姿而又深邃含蓄的数学美需要人们去发现，只有发现才可能欣赏和享受，数学教学如果没有美的挖掘和欣赏，无疑是一种缺憾。四、完善人格品质数学教育家辛钦说过，“根据我的多年经验，钻研数学科学会在青年人身上循序渐进地培养出道德色彩明显，并进而能够成为其主要品德因素的特点”。数学教人诚实和正直。只要一个命题没有被证明，它就暂时不能纳入到真理宝库中去，人们就有理由去怀疑，而不管提出命题的人的资历和声望。倘若命题得到证明，那么它的真理性便得到认同，并被普遍采纳和执行，也不存在人微言轻的现象。据说英国律师至今要在大学里学习许多数学知识，这不是因为律师工作与数学有多少直接联系，而是出于这样一种考虑，那就是经过严格的数学训练，能够使之养成一种独立思考而又客观公正的品格。受过良好数学教育的人，在数学的学习和训练中所形成的品质，会对其工作产生积极影响。数学的精确、严格，使他们在工作中减少含糊笼统、不求甚解。数学的抽象分析，使他们善于透过现象洞察事物的本质。数学中精辟的论证、精练的表述，使他们的谈话和行文简明扼要。我们不应把数学教育单纯地理解成知识的传授和技能的训练。数学教育需要培养人的素质。学生进入社会后，也许很少直接用到数学中的某个定理和公式，但数学的思想方法、数学中体现出的精神，却是长期起作用的。作为数学教育工作者应该在数学教育中提高人的素质。
篇（7）
二、数学教学要有和谐性
教师应当克服传统数学教学中存在偏重知识获取，忽视能力培养和情感培养的做法；应当关注每一位学生的发展，使人人学好有价值的数学知识，人人都能获得必需的数学知识，不同层次的学生能在数学学习中得到不同的发展，为国家发展的需要培养出不同类型、不同技能型的人才。因此，教师要克服偏爱优等生，冷落学困生，忽视中等生的错误倾向，要特别关注学困生的学习，对其知识的传授、习题的配备必须坚持因材施教，注意提问有深浅，有对象，切勿挫伤学困生的自尊心、上进心；要多给学困生思考的时间和提问的机会，应允许不同的学生用不同的方法学习数学。教师还应当重视学生学习能力的培养，特别要重视对学生学习方法的指导，强化数学思想和方法训练，培养学生学习数学的推理能力、想象能力、抽象能力、归纳能力和创造力，使学生得到全面发展，成人成才。
三、数学教学要培养学生建模能力
数学建模是一种通过建立数学模型来解决各类实际问题的方法，它将现实问题归纳为数学问题，即包括对“生产和日常生活中”的实际问题，“初步数学化”的工作倡导由学生自己完成。数学教师要掌握数学建模的理论和方法，并在教学中逐渐增加数学建模的实例和练习，让学生在实际背景中理解基本的数量关系和变化规律，注重让学生经历从实际问题中建立数学模型、估计、求解、验证解的正确性、合理性的过程，解决问题，使建模理论和方法自然地、逐渐地进入现有的教学中。在数学建模教学过程中，教师要将学生所学数学知识、数学思想方法内化为数学意识，使学生的多项数学能力得到运用和综合发展。因此教师要结合实际问题，注意发展学生的数学建模能力，让学生在弄清实际问题、分析处理资料的过程中确定实际问题的主要特征，进行数学抽象概括，提出假设，应用数学工具建立各种数量之间的关系，进行推理和求解，得出数学上的结果，并返回到实际问题中去解释、回答，从而解决实际问题。
四、数学教学要培养学生的探究精神和概括能力
要提高学生的数学意识，教师不仅要给学生传授知识，而且要教给学生思想和方法，更重要的是教给学生探索结果的过程。德国教育家第斯多惠认为：“不好的教师传授真理，好的教师教学生发现真理。”即强调教师要培养学生的探究精神。“探索性”教学是培养学生探索精神的重要途径。因此，在数学教学中，教师要不断诱导，启发学生去思考，培养学生的探究精神。
对于提高学生的数学意识，概括教学是十分重要的。概括可以使学生所学知识形成系统，并便于迁移。数学教材中每章、每节知识之间都不是彼此孤立的，而是上下关联的。在教学中教师要引导学生理清这些知识点的相互联系，抓住重点，突破难点，弄清知识的“来龙去脉”，按照知识排列的逻辑顺序进行概括，形成一个系统。只有经过这一过程，学生才能有效地增强记忆效果，提高思维敏锐度和解题熟练程度，在解决问题时做到周密考察，正确判断，快速得出结论。教师要善于从典型例题中概括出思想方法。在解答典型例题时，教师不仅要传授知识，更重要的是通过典型习题帮助学生总结、概括解题规律和解题方法，提炼解题思想。
五、数学教学要培养学生的应用意识
数学教学的目的不仅是为了给学生将来进一步学习打好基础，而且是使学生能够解决现实生活中的实际问题，直接为社会创造价值。在数学教学中，教师要创设情境，让学生了解数学与现实生活的广泛联系，充分认识数学在现实生活中的应用价值。一是要从现实中搜集数学问题，让学生学习；二是要多列举生活实例；三是要让学生用所学知识解决实际问题；四是要让学生思考、讨论、归纳实际问题解法的多种方法，培养学生的应用能力；五是要精心组织，设计与日常生活、生产密切相关的习题进行练习，让学生运用所学的数学知识直接解答，并进行归类训练。这样不仅可以加深学生对数学知识的理解，而且可以增强学生的数学应用意识，培养学生解决实际问题的应用能力。
六、数学教学要培养学生的创新意识和攻尖意识
数学教师要创造有利于学生创新、发展的教学环境，培养学生创新、攻坚的意识。这个环境是民主的、外向的、开放的。在教师的指导下，每个学生都参与疑难问题的讨论，大胆地探求解题思路，学生归纳、总结解题方法和规律，特别是对各种方法进行广泛搜集，进行优胜劣汰，会不断激发学习数学的兴趣。教师要鼓励学生“质疑问难”，允许学生向自己挑战，向高难度问题挑战；鼓励学生发表与自己不同的意见和观点；鼓励学生向书本挑战，提出与书本不同的见解；鼓励学生向权威挑战，培养学生克难攻坚的意识。
篇（8）
1.1实践性教学方法的提出
《数控技术》是比较偏重实践性的课程，特别是一些相关的程序、概念，比较抽象，学生不容易理解，听起来比较枯燥，学生兴趣不是很高。在教学中加强课程与专业的联系、课程与实际应用的联系，开展实践性教学改革是全面提高教学质量和教学效果的有效方法和手段。笔者认为，运用现代教学理论，积极探索实践性教学模式，切实提高应用性学科教学质量，是《数控技术》教学改革的一种有效尝试。
12实践性教学的指导思想
“教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事学习、活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的知识与技能和方法，获得广泛的活动经验。”这是开展实践性教学模式研究的指导思想。
1.3实践性教学三法
授课过程中，除了讲解、提问和答疑等常用的方法外，笔者结合《数控技术》课程本身的特点，探索并完善了以案例式教学法、探讨式教学法和现场式教学法为代表的实践性教学三法。
1.3.1案例式教学法
案例式教学法主要是通过列举实例，提高学生临场解决实际问题的能力，引导学生对一些特殊情境进行思考的一种教学方法。
案例教学的目标是让学生像一个真正的老师那样去思考问题、分析问题、解决问题，用综合的观点来审视教育现象，案例答案的不确定性增强了学生面对教学实践中的不可预期性问题的应对策略和能力。通过各种各样的案例演示，学生不仅接触到各种社会现象，而且这些针对性的演练对于学生毕业后走上社会，在经济的大舞台上施展才华无疑具有很强的使用价值。
本文介绍在《数控技术》授课过程中，案例教学法的一个典型应用。如图1所示的切削零件，通过示例，介绍数控编程的基本方法。用螺纹切削复合循环G76指令编程，加工螺纹为M60×2，工件尺寸见图，其中括弧内尺寸根据标准得到。
%2451
N1T0101（换一号刀，确定其坐标系）
N2G00X100Z100（到程序起点或换刀点位置）
N3M03S400（主轴以400r/min正转）
N4G00X90Z4（到简单循环起点位置）
N5G80X61.125Z-30I-0.94F80（加工锥螺纹外表面）
N6G00X100Z100M05（到程序起点或换刀点位置）
N7T0202（换二号刀，确定其坐标系）
N8M03S300（主轴以300r/min正转）
N9G00X90Z4（到螺纹循环起点位置）
N10G76C2R-3E2A60X58.15Z-24I-0.94K1.299U0.1V0.1Q0.4F2
N11G00X100Z100（返回程序起点位置或换刀点位置）
N12M05（主轴停）
N13M30（主程序结束并复位）
2.3.2探讨式教学法
探讨式教学法的实质，首先就在于它不仅是“教”或“学”的过程，而且是一种全体参与的过程。要充分发挥学生的主体性，让他们参与到你的整个教学中去，激发他们的学习兴趣，才能提高教学质量。其次，教学的本质是一种师生交往、交流、互动、对话的活动。在这样的活动中，老师作为一种知识资源出现在学生面前，应成为学生学习的合作者、促进者，而不是教材的代言人。所以教师应该学会在适当的时候设计适当的问题，从而有效地提高学生的学习兴趣，激发学生的学习动机，提高教学效果。
《数控技术》这门课知识点多，相辅相成，完成一个项目需要较严密的逻辑思维能力。在编程学习阶段，可以把学生分为几个学习小组，共同完成。实践的结果表明，在互相讨论又各有其责的学习氛围中，对知识的提高与巩固有很大的帮助，同时也培养了他们的团队合作精神。
例如，在讲授绝对坐标编程和增量坐标编程两种编程方法之前，通过学生讨论，预测出其不同的用法，在这个预测和探讨的过程中，学生已经对两种编程方法的不同有了初步认识。此时讲授起来，学生易于接受，学习的积极性也高。
方法一：用绝对坐标编程
N001G92X0Y18LF
N002G90G02X18Y0R18
F100S300M03LF
N003G03X68Y0R25LF
N004G02X88Y20R-20M02LF
方法二：用增量坐标编程
N001G91G02X18Y-18R18
F100S300M03LF
N002G03X50Y0R25LF
N003G02X20Y20R-20M02LF
2.3.3现场式教学法
因数控技术本身的特点，要求我们必须做到理论与实践相结合，加大现场式教学力度，突出技术的应用性，并要强调教学内容的可操作性。
对于机床操作教学，应尽可能地让学生多摸、多动机床，尤其是手动(JOG、ING)工作方式，对于缺乏实际经验的学生来说，其效果是显而易见的，而且便于控制手动的安全性。
数控编程是数控机床学习的重点，在了解数控手工编程指令的基础上，可由教师指导学生装夹工作，指明欲加工的内容和将要使用的刀具，用单步运行的方式逐段运行程序，边运靠边讲解，可收到事半功倍的效果。
3应解决的几个问题
3.1学生学习观念的转变
首先，学生应转变被动的学习观念，树立自主学习的理念，增强主体意识和自我建构意识，主动参与教学、积极思考、大胆探究。其次，要加强合作意识和能力的培养，学生之间应建立良好的学习合作关系，沟通交流，共同探究。
3.2教师综合素质的提高
教师本人要具备科学研究和创新的基本能力，而且教师必须站在知识的前沿，用自身的创新成果不断丰富和补充教学内容。教师还应提高教学的专业化程度，组织好研究性课程。
3.3网络教学资源的建设
实践性教学的形式与内容是开放的，因此优质的网络教学资源是实施研究性教学的重要保障。网络教学资源的建设应保证内容丰富、开放和动态，以提供研究性教学需要的资料和信息。教学网站中应当构建一个开放、互动的教学平台，并创建各种虚拟的研究环境，为学生参与和自主开展课题研究创造条件。
3.4数控仿真实践教学
由于数控设备投资较大，并且操作过程具有较大的危险性，通过引入数控仿真教学，使学生在机房能够模拟数控机床加工工件，并且基本上与实践加工现场相似，这既能节约数控实践教学的成本，又满足了大量学生实践能力培养的需求。具体教学过程：运用CAXA、SolidEdge、MASTERCAM等三维软件进行零件建模，并自动生成刀具轨迹和NC代码(或者根据图纸手工编程)后在南京宇航、VNUC仿真软件上进行仿真加工，以验证程序是否正确，同时又能熟悉机床操作面板各个按键的作用；此仿真实践教学过程既体现先进制造技术内涵，又充分培养学生设计、分析和动手操作的能力。
4结束语
作者主要从事数控技术等课程的教学，并主持相关科研活动。多年来，通过实践总结，摸索出实践性教学模式在数控技术教学中的应用。实践性的教学模式，教师应根据课堂教学的学习内容，创设教学情境，提供必要的学习材料，让课堂充满研讨、探究、思考的气氛。在实践活动中，让学生享受把所学的知识运用到生活实际中去的体验感受和乐趣。培养学生灵活运用、解决实际问题、大胆创新等综合能力。2004年，作者获新疆大学《数控技术》讲课比赛一等奖，《数控技术》课被评为新疆大学精品课程，并于2006年申报自治区精品课程，这是实践性教学模式在数控教学领域成功的一个例子。
【摘要】数控技术是机械学科一门实践性很强的技术课程。本文初步探讨了实践性教学模式在《数控技术》课程中的应用。旨在引导学生运用加工工艺、程序的编制等理论知识，实际操作和运用数控机床，构建数控技术课程的教学、生产、操作实践相结合的新的教学模式。该模式已在施教过程中得以应用，并取得了显著的教学效果。
【关键词】数控技术程序编制实践性教学模式
参考文献：
篇（9）
1，2，3，4，5，6，7，8，9，0，这十个符号是全世界普遍采用的，它们表示了全部的数，书写、运算都十分方便。这10个符号常被称为阿拉伯数字，实际上却是印度人创造的，只是经过阿拉伯传到欧洲。这是印度对人类文明的一项重大贡献，这一贡献的意义也可能是今天的人们不易觉察的。但是，18世纪一位法国著名数学家曾说过：“用不多的记号表示全部的数的思想，赋予它的除了形式上的意义外，还有位置上的意义，它之如此绝妙非常，正是由于这种简易得难以估量。”
关于“位置上的意义”，指的是数字的进位表达。比如说724，它实际上是7×100+2×10+4，可是它只需简写成724就明白了。此外还有空位的问题，假若有个数字是7×1000+2×100+4，那该怎么写呢？现在我们是很容易回答了，不就写为7204吗？可是，在最初的数字符号系统中是没有0这个符号的。有的用一个点来表示：72•4有的用一个方格来表示；有的干脆就拉开一点写，表示空一位；……但这些写法的不准确、不方便是显而易见的。直到使用了0这个符号，问题才得以解决。而0这个符号比其他符号的出现晚了好几百年。如果年看72004这个数字，我们能更清楚地体会到0这个符号的特殊意义。
数学的简洁不只表现在数字符号上，还表现在其他符号上，表现在命题的表述和论证上，表现在它的逻辑体系上，总之，表现在思维经济上。
数学符号有许多种，除了前面提到的数字符号外，还有代数的符号，通常用英文字母或希腊字母表示。在笛卡儿时代，以英文字母的开头几个表示已知数，如a、b、c、…，以英文字母的最后几个代表未知数，如x、y、z，或以a、b、c、…代表常数，以x、y、z代表变数。现在，这已不是固定的了，在某种约定之下，a、b、c、…也可代表未知数，也可以表变数，x、y、z也可以代表已知数，也可以代表常数。还有一些特殊的常数，如π,e。还有另一些表现数量的符号，往往是其他类型符号的组合。
数字研究的对象已不只限于数，还研究形，表示三角形，表示四边形，表示圆。
数学研究的最一般对象是集合，而表示集合的符号常常用英文字母的斜体，如A、B、C、D、X、Y、Z等。某些特殊的集合又用特殊的符号表示，例如，用N表示自然数集，而实数集则用R表示，N与nature(自然)一词有关，R与real（实的）有关。特定的集合组成空间，空间有时用S表示，S与space(空间)一词有关，但也用其他字母表示空间。这些符号的运用使得数学语言变得简练。
还有一类符号是表示关系的，通过种种关系起联结作用。常用的如等号=，近似等号≈，全等号≌或。还有不等号≠，＜，＞，<<。∥表示平行关系，表示垂直关系，与表示元素与集合之间的关系，表示集合与集合之间的关系，表示蕴涵关系等等。
还有一大类是关于运算的符号。+，－，×，÷是四则运算符号。是开方运算符号，sin,cos,tan是三角运算符号，lim是极限运算符号，d，是微积分运算符号。表示若干项乃至无穷项求和，表示连乘（若干因子或无穷个因子），！表示阶乘，,是集合论中的运算符号。映射是比运算更普遍的概念，f，g，h等常被运用作映射符号。
微积分是英国人牛顿和德国人莱布尼茨彼此独立发现的，牛顿和莱布尼茨使用的微分符号却是不同的。牛顿创立了微分符号，比如说的微分用表示，可是牛顿的这一符号对于高阶微分并不方便，并且不宜于表现微分与积分的关系，因而实质上并不十分科学。相比之下，莱布尼茨的符号在这两方面都比牛顿的符号更加科学合理，它反映了事物最内在的本质，减轻了想象的任务。诸如这样的优美的式子，是在莱布尼茨符号下才能出现的。而英国人却以牛顿为自豪，这是无可厚非的，但是，由于他们长时间固守牛顿的符号，使英国数学的发展受到了严重的损害。
所以，数学符号的科学性直接影响着数学语言的质量，影响着数学及数学教育的发展。
2、数学语言的简洁性
数学语言非常简洁精确，它具有独特的价值，它是科学语言的基础。
从宏观来说，人们常以“成千上万”来研究多，再多就是“百万”、“千万”了，更多则是“亿万”。可是，数学能作出更简洁也更明确、更有力的表示，比如说，1025、286243这样巨大的数字，一般语言就说不太清楚了。
从微观来说，日常语言之中，“失之毫厘，廖以千里”，用一毫一厘来形容微小，还有形容体积之小的，时间之短的，距离之近的。但是，没有比10-15，10-45这样一些表达更能说明问题，它也更简洁、更明了。
[a,b]仅由a、b、[]这三个数学符号表出，但如果比用一般语言描述就成为“大于或等于a，小于或等于b的一切实数的集合。”除去标点还得需要20个符号，其中18个汉字。
若对任何使得对任何n,m>N，有，则数列有极限。这是著名的柯西判别准则。如果要用一般语言是无论如何也表示不清的，
作为有理数、无理数、代数数、超越数、实数、虚数之间关系之一的式子，是各种数的大统一。用数学语言来表达是这样的简洁、明晰。
数学语言有其独特之处，有其独特的价值，它不仅是普通语言无法替代的，而且它构成了科学语言的基础。越来越多的科学门类用数学语言表述自己，这不仅是因为数学语言的简洁，而且是因为数学语言的精确及其思想的普遍性与深刻性。
我们看看下面几个式子，就能明白物理学是如何用数学语言来表述的。
F=0
F=
F=
第一、二两个式子分别表达的是牛顿第一定律和第二定律，第三个式子说的是万有引力定律。
惯性定律说的是，在没有外力的条件下，物体保持原有的运动（或静止）状态，然而简洁的数学式F=0（C是常数）表达了定律的实质。
第二定律说的是，力与质量和加速成正比，数学式子F=表达了这一点。当质量是常数的时候，式子可写为F=，又可用a表示加速度，因此牛顿第二定律又可以表示为人所共知的形式F=ma。
万有引力定律说的是，任何两个物体之间都有引力存在，其大小与两物体质量之积成正比，与距离的平方成反比，式子F=又是多么有力地刻画了这一思想。
3、数学语言的通用性
数学语言与一般语言相比，它具有无民族性、无区域性，它世界上唯一的通用语言。
数学语言是人类语言的组成部分，它与一般语言是相通的，而且可以说是以一般语言为基础的。一般语言掌握得如何，直接会影响数学语言的学习。但是，一般语言学得很好的人也不一定能掌握好数学语言，它们毕竟有差别。
一般语言具有民族性、地区性，一般语言与民族、地区文化有极密切的联系。不同地区语言的差别可以很大，这种差别主要指符号及法则体系的不同。例如，英语与俄语，不仅符号表示的差别很大，而且语言规则的差别也很大；至于汉语，它与英语、俄语的差别更大，从书写来看，汉语是方块字，从读音来看，英语、俄语是拼读法，语法的差别也特别大。
就是同一民族，书面语言完全相同而发音很不相同的情形更多，例如同讲汉语，北方与南方就有很大不同，北京话与广大话很不相同。而且，目前世界上的语言就多达2500—3000种，其中仅美洲语言即有1000多种，非洲语言也近1000种。100万以上人口使用的文字则只有140种。这140种之中，以汉语为母语的人最多，约占世界人口的20%；其次是英语，约占6%；再次是俄语、西班牙语、法语，使用这五种语言的人占世界人口的40%以上。
但数学语言没有地区性、民族性。全世界因为地区之不同、民族之不同而有二、三千种语言（远远超过全世界国家的数目），可是，全世界的数学语言只有一种。
这种语言符号，全世界的中学生大学生们都认识，同一种书写、同一个含义，只是读音一般有所不同而已。
从以上的探讨中我们可以发现，由于构成数学语言的数学符号科学、简洁，而导致数学语言具有不同一般语言的特殊性，也就是具有科学性、简洁性、相通性。对数学语言的研究，不仅能促进数学及数学教育的发展，而且也能对人类精神文明和物质文明的进步起到积极作用。
正因为数学语言是一种特殊的语言,那它在数学教育中也具有重要的作用:
1、掌握数学语言是学习数学知识的基矗一方面，数学语言既是数学知识的重要组成部分，又是数学知识的载体。各种定义、定理、公式、法则和性质等无不是通过数学语言来表述的。离开了数学语言，数学知识就成了“水中月，镜中花”。另一方面，数学知识是数学语言的内涵，学生对数学知识的理解、掌握，实质是对数学语言的理解、掌握。一个对数学语言不能理解的人是绝对谈不上对数学知识有什么理解的。因此，从一定意义上讲。掌握数学语言是学习数学知识的基础，数学语言教学是数学教学的关键。
2、掌握数学语言，有助于发展逻辑思维能力。
逻辑思维是思维的高级形式。在各种能力中，逻辑思维能力处于核心地位。
因此，培养学生的逻辑思维能力是数学教学的中心任务。语言是思维的物质外壳，什么样的思维依赖于什么样的语言。具体形象语言有助于具体形象思维的形成；严谨缜密、具有高度逻辑性的数学语言则是发展逻辑思维的“培养液”。
3、掌握数学语言是解决数学问题的前提。
培养学生运用所学知识解决数学问题的能力，是数学教学的最终目的。“对一个问题能清楚地说一遍，等于解决了问题的一半。”解决问题的过程是一个严密的推理和论证的过程，正确地理解题意，画出符合要求的图形。寻找已知条件，分析条件与结论之间的关系，有关知识的映象，解题判断的形成，直至解答过程的表述等，处处离不开数学语言。
4、掌握数学语言，有利于思维品质的形成。
数学语言的特点决定了数学语言对思维品质的形成有重要作用。严谨、准确是培养思维的逻辑性、周密性与批判性的“良方”；清晰、精练对培养思维的独立性与深刻性有特效。
5、掌握数学语言，能激起学习数学的兴趣。
数学的语言美具有自己的特点，它是一种内在的美，表面显得枯燥乏味，其实却蕴藏着丰富的内涵。充分理解、掌握它，就能领略其中的微妙之处，感受其中的美的意境，从而激起学习、探究的兴趣。
数学语言作为一种表达科学思想的通用语言和数学思维的最佳载体，包含着多方面的内容；其中较为突出的是叙述语言、符号语言及图形语言，其特点是准确、严密、简明。由于数学语言是一种高度抽象的人工符号系统，因此，它常成为数学教学的难点。一些学生之所以害怕数学，一方面在于数学语言难懂难学，另一方面是教师对数学语言的教学不够重视，缺少训练，以致不能准确、熟练地驾驭数学语言。
接下来根据数学语言的特点及数学要求，谈谈教学中的实践与认识。
首先，注重普通语言与数学语言的互译普通语言即日常生活中所用语言，这是学生熟悉的，用它来表达的事物，学生感到亲切，也容易理解。其他任何一种语言的学习，都必须以普通语言为解释系统。数学语言也是如此，通过两种语言的互译，就可以使抽象的数学语言在现实生活中找到借鉴，从而能透彻理解，运用自如。“互译”含有两方面的意思：一是将普通语言译为数学符号语言，也就是通常所说的“数学化”，例如方程是把文字表达的条件改用数学符号，这是利用数学知识来解决实际问题的必要程序。二是将数学语言译为普通语言。数学实践告诉我们，凡是学生能用普通语言复述概念的定义和解释概念所揭示的本质属性，那么他们对概念的理解就深刻。由于数学语言是一种抽象的人工符号系统，不适于口头表达，因此也只有翻译成普通语言使之“通俗化”才便于交流。
其次，注重数学语言学习的过程，合理安排教学
数学概念和数学符号的形成一般包括逻辑过程、心理过程和教学过程三个环节。逻辑过程能够揭示概念之间的各种逻辑关系，便于对数学结构从整体上理解，有助于学生对数学本质的理解与认识。心理过程是指学生从学习数学语言到掌握数学语言的过程，这种过程往往是因人而异。数学符号和规则从现实世界得到其意义，又在更大的范围内作用于现实。学生只有在理解数学语言的来龙去脉及意义，而且熟练地掌握他们的各种用法，从而得到理性的认识之后，在数学学习中才能灵活地对它们进行各种等价叙述，并在一个抽象的符号系统中正确应用，从而达到对数学符号语言学习的最高水平。教学过程则是教师具体对某个数学符号进行讲解、分析、举例、考查的过程，教师在教学中要善于驾驭数学语言。
1．善于推敲叙述语言的关键词句。
叙述语言是介绍数学概念的最基本的表达形式，其中每一个关键的字和词都有确切的意义，须仔细推敲，明确关键词句之间的依存和制约关系。例如平行线的概念“在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线”中的关键词句有：“在同一平面内”，“不相交”，“两条直线”。教学时要着重说明平行线是反映直线之间的相互位置关系的，不能孤立地说某一条直线是平行线；要强调“在同一平面内”这个前提，可让学生观察不在同一平面内的两条直线也不相交；通过延长直线使学生理解“不相交”的正确含义。这样通过对关键词句的推敲、变更、删简，使学生认识到“在同一平面内”、“不相交的两条直线”这些关键词句不可欠缺，从而加深对平行线的理解。
2．深入探究符号语言的数学意义。
符号语言是叙述语言的符号化，在引进一个新的数学符号时，首先要向学生介绍各种有代表性的具体模型，形成一定的感性认识；然后再根据定义，离开具体的模型对符号的实质进行理性的分析，使学生在抽象的水平上真正掌握概念（内涵和外延）；最后又重新回到具体的模型，这里具体的模型在数学符号的教学中具有双重意义：一是作为一般化的起点，为引进抽象符号作准备，二是作为特殊化的途径，便于符号的应用。
数学符号语言，由于其高度的集约性、抽象性、内涵的丰富性，往往难以读懂。这就要求学生对符号语言具有相当的理解能力，善于将简约的符号语言译成一般的数学语言，从而有利于问题的转化与处理。
3．合理破译图形语言的数形关系。
图形语言是一种视觉语言，通过图形给出某些条件，其特点是直观，便于观察与联想，观察题设图形的形状、位置、范围，联想相关的数量或方程，这是“破译”图形语言的数形关系的基本思想。例如，长方体的表面积教学，学生初次接触空间图形的平面直观图———这种特殊的图形语言，学生难于理解，教学时可采用以下步骤进行操作：①从模型到图形，即根据具体的模型画出直观图；②从图形到模型，即根据所画的直观图，用具体的模型表现出来，这样的设计重在建立图形与模型之间的视觉联系，为学生提供充分的感性认识，并使它们熟悉直观图的画法结构和特点；③从图形到符号，即把已有的直观图中的各种位置关系用符号表示；④从符号到图形，即根据符号所表示的条件，准确地画出相应的直观图。这两步设计是为了建立图像语言与符号语言之间的对应关系，利用图形语言来辅助思维，利用符号语言来表达思维。
总之，在数学教学中，教师应指导学生严谨准确地使用数学语言，善于发现并灵活掌握各种数学语言所描述的条件及其相互转化，以加深对数学概念的理解和应用。摘要：数学语言具有科学性、简洁性、相通性，所以，数学语言是一种特殊的语言。对数学语言的研究必将对数学本身及数学教育的发展，乃至对人类文明都会起到积极的促进作用。
关键词：数学符号数学语言科学简洁相通
参考书目：
1.张楚廷数学文化[M]，高等教育出版社.2000年；
篇（10）
传统的教师中心“遗传”基因，直到今天依然存在，而且严重地影响着数学教师的教
学观念，影响着数学教育的发展。
近年来，数学开放题作为一个具有时代特色的数学教育改革的亮点，已日益引起我国数学教育界的注意，逐渐形成为数学教学改革的一个热点。1998年的全国高等学校招生统一考试数学试题里“开放题”居然也堂皇入室。
一、何谓开放题？
（1）开放题是指那些答案不唯一，并在设问方式上要求学生进行多方面、多角度、多层次探索的问题。（2）开放题并不是普通的数学问题，而是为了达到一定的教育目的而精心编制设计的数学问题。
一道数学题的开放性（开放度）在很大程度上取决于这道题采用何种设问方式。即使是一道传统的封闭性数学题，也可以通过改变其设问方式而将其改编为具有开放性的习题。要求学生进行多方面、多角度、多层次探索是一种“开放性的解题要求”，通常使用“试尽可能多地……”一类的词语来提出，它对学生具有“鼓励参与，激励优化，追求卓越”的作用。
二、为何研究开放题
目前人们普遍认为素质教育的核心是培养创新精神和创造能力，而开放题教学是推进数学素质教育的一个切入点和突破口。开放题给学生进行创造性学习提供了宽松、自由的环境，它的作用体现在以下几个方面：
1、开放题的教育作用：
①发散性学生必须打破原有的思维模式，展开联想和想象的翅膀，从多角度、多方位、多层次进行探讨，其思维方向和模式的发散性有利于创造性能力的形成。
②探索性因为开放题易使学生形成原有认知结构和新认知结构的冲突，学生必须通过顺应来主动建构新的认知结构，因而有利于培养他们的探索意识和创新精神。
③趣味性开放题独特的叙述方式、宽松的解题环境和极富挑战性的解题策略，为学生在迫切要求下进行数学学习创造了条件，有利于激发学生的好奇心和好胜心，增强了学习的内驱力，对数学探索产生浓厚兴趣。
④多样性在开放题教学中，既要有学生独立思考的个体活动，还需有师生之间、学生之间的合作、讨论、交流的群体活动。开放题答案的多样性，使得其最终的解决只靠个人的力量在有限的时间内难以完成，需要依靠集体的智慧和群体的力量。
⑤主体性开放题教学是以学生为中心，有利于保障学生的主体地位，使学生真正成为学习的主人。
⑥竞争性开放题解答的多样性和差异性，使其有了优与劣、多与少、简与繁的区别。也正是这种差异的存在，激发了学生的好胜心，使竞争意识悄然地渗入学生的头脑，把竞争机制引入开放题的课堂教学。
⑦创造性在开放题的解答过程中，没有固定的、现成的模式可循，靠死记硬背、机械模仿找不到问题的解答，学生必须充分调动自己的知识储备，积极开展智力活动，用多种思维方法（如联想、猜测、直觉、类比，等等）进行思考和探索，因而开放题是提高学生创造能力的有效工具，是培养创造人才的摇篮。
2、开放题的转化作用：
（1）开放题对教师观念的转变：开放题的出现以及对其教育功能的肯定，一方面反映了人们数学教育观念的转变；另一方面适应了飞速发展的时代的需要。实际上反映了人们对于数学教学新模式的追求，是人们站在新时代历史的高度上对数学教育改革的新探索。
①观念转变的原因：
a.当技术的发展已使社会数学化，数学的应用已渗透到开放社会的各个方面的时候，我们不应满足于陈旧的、封闭的教学方法。
b.数学不能仅仅理解为一门演绎科学，数学还有其更重要的一面，即它是一门非逻辑的、生动的、有丰富创造力的科学。
c.数学教学是学生创新活动的过程，仅仅靠教师的传授，不能使学生获得真正的数学知识。
d.在数学教学活动中，学生是教学认知的主体，没有学生的积极参与就没有名副其实的教学活动，教师的作用主要体现在他是教学活动的组织者、指导者和鼓励者。
②观念转变的内容：
a.我国教育部基础教育司明确指出：“课程是一个历史范畴，课程目标、课程结构、课程内容都将随着时代的发展而变革。”“教科书”应体现科学性、基础性和开放性。
b.开放题课堂教学中的数学观即对数学本质的认识，教师的数学观直接影响着他的教学观。如果教师能用动态的、全面的观点来理解数学，那么他所采用的教学方法就会是启发式的，其教学观就是以学生为中心。
（2）开放题对教师角色的转变：在开放题教学中，教师的角色定位，即在教学过程中，教师不是教学活动的主角，而是“编剧”和“导演”；不是知识的传授者，而是教学内容和教学活动的设计者、促进者、示范者、组织者、调控者。
在开放题教学中，应特别强调的是教师除要具备传统意义上的那些专业素质外，还应具有创造能力（尤其是进行创造教学的能力）和自觉反省自身数学观、教育价值观和教学观的意识。
三、开放题的特点
①问题的条件常常是不完备的；
②问题的答案是不确定的，具有层次性。
③问题的解决策略具有非常规性、发散性和创新性。
④问题的研究具有探索性和发展性。
⑤问题的教学具有参与性和学生主体性。由于开放题没有固定的标准答案，这就使教师在课堂教学中难以使用“灌输式”的教学方法，学生主动参与解题活动不但成为可能，而且是非常自然和必要的。一些学生希望老师与学生一起来分享这种成功的喜悦，任何一个好教师都不会压制学生的这种愿望，这就使课堂教学自然地走向了以学生主动参与为主要特征的开放式的教学。案例：设计花坛。
四、开放题的分类
（1）设计条件的开放传统的答题模式多数是条件与结论——对应的定式训练，解题时不必考虑条件的由来。然而现实生活中人们得到的信息对于某个具体问题而言绝大多数是无用的，必须善于从大量信息中筛选出有用的信息。因此有意设计一些条件过剩或不足的开放题会更好地完善学生的认知结构。若设计成求一个三角形面积（单位：分米），则效果不大一样。
（2）设计结论的开放这类题的条件和问题都很明确，而结论却不惟一，具有发散性和多面性。例如：将“如一把木块平均分成三块完全一样的长方体后表面积增加了多少（单位：厘米）”的常规题去掉图中虚线，则成结论开放题。
（3）设计策略的开放这类题解题思路多种多样。教学时应充分利用其开放功能，引导学生多角度地进行分析思考，以培养学生思维的发散性和灵活性。
五、开放题的功能
美国加里福尼亚教育部指出了开放性问题的五个功能：
1、开放性问题为学生提供了自己进行思考并用他们自己的数学观念来表达的机会，这和他们在数学学习中的发展是一致的。
2、开放性的问题要求学生构建他们自己的反映而不是选择一个简单的答案。
3、开放性问题允许学生表达他们对问题的深层次的理解，这在多项选择中是无法做到的。
4、开放性问题鼓励学生用不同的方法去解决问题，反过来要求老师用不同的方法解释数学概念。
5、开放性问题的模式是数学课堂教学的基本成份。
六、开放题的教育价值观
开放题作为一种具有特殊形式的数学问题，与一般的数学问题一样,也具有知识教育价值。开放题最突出的、人们谈论最多的是：它有利于培养学生发散思维和创造能力。这也是开放题教育价值最核心的内容和最主要的体现。目前人们普遍认为素质教育的核心是培养创新精神和创造能力，而开放题教学是推进数学素质教育的一个切入点和突破口。这从一个侧面反映了开放题在培养创造能力方面所具有的巨大教育价值。
从结构形式上看，开放题具有组成要素的非完备性和解题答案的不确定性；从解答过程和解题策略看，开放题具有发散性、探究性、层次性、发展性、创新性等特性。开放题的特性决定了开放题教学的开放性，因而在这种教学环境中，学生是以知识的主动发现者、探索者和研究者的身份出现，学生不再是“装”数学，而是“搞”数学，这就可以使他们在一定程度上去体验数学家进行数学研究的活动过程，深切领会数学的实质，有利于形成正确的数学观念和数学意识，掌握数学的灵魂——思想方法，为今后的学习以及成人后用数学的思想方法、思维方式来解决问题做准备。
开放题在激发学生学习的兴趣，树立学习的自信心，凸现学生的主体意识，形成独立的人格和克服困难、勇于探索的意志品质，培养群体意识和合作精神，增强竞争机制，培养探索意识和创新意识，形成正确的科学态度等方面，具有极大的优势。可见开放题的人文教育价值也很大。
七、开放题的设计艺术：
数学开放题的教学需要开放和设计大量的开放性问题，与当前的数学教学实际密切相关且被广大数学教师认可的开放性问题。开放题设计模型的优点和误区可由下面的框图描述：
开放题的优点开放题认识误区
①开放题顺应开放化的社会需要②开放题教学可以使全体学生主动参与，符合素质教育面向全体学生的要求③开放题可以使学生更全面地理解数学的本质，体会数学的美感④开放题可以给予学生更多的体验成功的机会，增强学习自信心，激发学生学习数学的兴趣⑤开放题有助于培养学生的创造意识和创新能力⑥开放题追求卓越，有助于培养学生的优化意识，提高解决问题的能力⑦开放题教学是以学生为中心，有利于实现教学民主，建立新型的师生关系⑧学生解答开放题时不但要综合运用、重组已学的知识，而且时常需考虑问题解决的策略，对自己的解题活动进行认识、评价和监控，这有助于发展学生的元认知⑨教师在研究开放题的过程中，可以在教学观念、解题能力、扩大知识面等多方面得到提高，这有利于提高教师素质①开放题在单一的技能训练、知识学习上费时费力，效率较低②开放题教学易受课时的制约，在课堂上常常出现学生的思维在低层次上重复，不易进行深入的研究③开放题教学对教师的要求较高，不易推广④对有些开放题很难制定出客观公正的评分标准，故在用开放题作考试题时困难重重⑤现有的适合教学使用的开放题数量太少，开发和设计更多的数学开放题又面临较多困难⑥受考试文化的影响，要使更多的教师重视、认识、接受开放题，还有一段艰巨漫长的道路要走
在开放题的编制、开发中，要十分重视开放题的设问方式。语言的暗示性要恰当，防止将思维导入歧途；要把握问题的开放度，不同水平的学生应采用不同的设问方式，提出不同的解题要求；开放题中所包含的事件应为学生所熟悉，其内容是有趣的，是学生所愿意研究的，是通过学生现有的知识能够解决的可行的问题；要注意问题的可发展性，给学生一个提问题的机会，也许比解题本身更重要。
八、开放题的解题艺术：
1、传统教学法解题摸式
这种解题模式，学生在得出结论后没有自我反馈的过程，去发现总练习题的内在联系，总结经验，找出规律，举一反三，因而浪费了大量的宝贵信息。
2、反馈教学法的解题模式
在反馈教学法解题模式别注重解题后的自我反馈和自我小结。引导学生去发现习题中潜在的知识信息，去联想、归纳、类比，以寻找知识间的联系、巩固和发展教学思想方法和处理技巧，重视培养学生的独立思维与创造思维能力
篇（11）
（一）学生数学学习的心理分析
1.学生的数学学习无目的、无计划、无标准要求。对学了什么,应掌握什么,有什么作用是茫然的,有的学生竟说“成绩好有什么用,给我多少奖金”,学习具有盲目性。
2.学生对数学学习不主动、自觉性差,对学习内容的理解和学习任务的完成是被动消极的,学习本是自己的事,却常推委、拖拉或希望同学帮忙,所以同学间常出现抄作业现象,学习具有依赖性。
3.学生有上进的心理,但缺乏勤奋刻苦的学习精神,学习兴趣不浓也不愿培养,不作意志努力,学习中思想常常走神或学习时间内干其他事情,具有学习意志不坚定性。
4.学生学习有了一知半解就感到满足,但遇到困难又垂头伤气,遇难而退或绕道而行,得过且过,致使部分学生学习成绩难以提高,甚至下滑,学习缺乏思想性。
5.学生学习不注重方法,不讲求逻辑联系,分析问题思路杂乱,表达东拼西凑,思维不严谨。明知这方面过不了关,但也不思改进,学习具有随意性。
(二)学生课堂学习的状况分析
1.好动,爱讲话,课堂注意力难持久,自控能力差。
2.数学思维简单;形象思维难建立,抽象思维无基础,针对问题常常冲口而出,答非所问。
3.学习的交流、讨论往往人云亦云,难树己见,思维的闪光点往往在不坚持中一错而过。思维也就在一次次放弃中养成惰性。
4.观察分析无耐性,不细心,往往被问题的表面现象或假象所迷惑,难以拨云见日,难以感受尝试成功的刺激。
5.会的嫌简单,稍难又嫌烦,总不想动手。对于较繁的式子,较困难的图形就不于理睬,放置一旁,再遇类似问题,似曾相识,动手就困难。
（三）学生数学学习的思维特征分析
1.孤立少联系.学生学习中常常割裂所学知识,分化所学内容,孤立地认识理解问题,如；多项式计算脱离有理数的计算基础,导致运算错误常在符号上。根式化简不以分式化简为前提,在方法上不能有效迁移。同时对问题的认识和知识的理解往往绝限于某一范围或某个方面,难以拓宽范围,扩大认识面。如；把—a和—2等同看待,把式子√a+1看成永远有意义……
2.静止少变化.学生学习数学在思维上难以形成多变的观点,常以静止的方式去认识问题,如初一学生看到—a就认为是负数,初二学生能对式子而完成不了的因式分解,初三学生对含绝对值符号式子的化简普遍感到困难,对几何图形的换位研究、变形研究更是一筹莫展。他们在长期的1就是1,2就是2的静止认识中,在空间环境不变的错误意识里,思维形成定势,对事物的变化认识自然潜在抵触心理,对问题分析处理的变形转化难免有对抗情绪,怎样使学生的认识越过这一道坎,形成新的认识,产生新的观点,还得有赖于数学教学改革的探索分析。
3.问题理解停留于具体难以抽象.初中学生在以前的生活与学习中,认识理解几乎停留于形象具体,少有抽象的思维训练,所以学生在初中数学学习中对实际问题怎样联系数学研究方法,怎样构建数学模型较为困难,特别是与实际联系不大的纯数学研究就更困难。如；方程和不等式同解意义的理解,函数与不等式中变量取值变化时,对变式中待定系数取值范围的研究,圆一章有关数形结合的研究等都是教学的难点。
4.思维简单,盲目崇拜.学生对问题的认识一般停留于认可,重结论而忽视过程,更不重视知识产生的背景条件。书上写的、老师讲的就是真理,有时明明发现偶像的错误,还总怀疑自己的思路有问题.导致数学学习难树己见。我们倡导”要敢于否定自己的偶像,否定教材,不盲目崇拜,要学会学习,学有见地,勇于超越”。
5.不善于联想比较找规律,多向思维寻根据.学生数学学习过程中有联想比较,但他们通过简单的联想,草率的比较,就可能妄加猜测得到结论,而不通过联想比较,周密地分析推敲,寻找规律获取正确的认识。如；一次初一数学公开课<<有理数乘法>>的教学中;(—3)+(—3)+(－3)+(－3)=－12,由乘法的意义有(－3)×4=－12,从而引申出算一算；(－3)×3=____,(－3)×2=___,(－3)×1=____,(－3)×0=___,然后又猜一猜；(－3)×(－1)=___,(－3)×(－2)=___,(－3)×(－3)=___,(－3)×(－4)=___.很多学生都能够猜出后一组运算式子的结果,其猜测的方法是多样的,但是没有一个学生能够观察比较分析出“一个因数不变,另一个因数逐次减少1时,其积逐次增加3”这一规律。
初中学生的数学思维简单，稍难的问题往往无章可循，盲目拼凑，不能通过由果索因、由因索果或数形结合的方式进行有章有法地思考分析。数学的推理表达也东拼一句,西凑一句，不推敲条件对何而用，结论由何而来。如在三角形全等判定的第一个公理“边角边”公理的学习中，无论怎样启发、引导、训练，甚至强调：“边角边”的叙述顺序是体现以公理1为根据，书写表达的规范作用是体现对应”，但课后作业全班五十多人中，有20人表达的全等顺序是“边边角”或“角边边”或“对应元素不写在对应的位置”，经了解大多数学生反映“够条件就行”，他们不重视公理的根据作用和表述规范的对应意义，主要是疏于因果关系和思维不严谨。还有学生无论解答代数问题还是几何问题都把条件一一列出来，然后就得出一个个结论，到底哪一个条件能推出哪一个结论，他自己都不清楚。
针对初中学生数学学习的状况分析,怎样对学生数学学习进行有效指导,怎样引导学生养成良好的学习习惯,在数学教学改革中还得进一步探索。
根据教学中师生互动的理论思考，我们从三个方面来分析：
二、初中学生数学学习障碍的原因。
（一）从教师谈起
1.目前数学教学的最明显的特点是：教师是知识的拥有者，把学生当成知识的容器。不管学生有多差异，每天教师所灌输的知识学生必须全部掌握，所灌知识量的大小及灌输方式都必须接受。天长日久，学生接受不了的知识就成为他们学习数学的障碍，即产生认知障碍。
2.在数学教学中，有些教师缺乏对学生情感的投入。讲课传授知识和考试是传统教学的两个核心要素。教师对学生缺少信任，缺少爱的表示。我们走进课堂，总会看到学生由于回答不出教师所提出的问题而受到严厉批评的场面。很少有教师对回答不出问题的学生说"你试试看，你一定会答上来的"，或"错也没关系"等鼓励的语句。慢慢地使学生由不喜欢数学教师发展到对数学学科淡漠，出现情绪障碍。
（二）从学生谈起
1.身心方面存在某种缺陷。由于缺乏信心，学习不肯努力；或由于多次在数学学习上的失败而厌恶数学学习。这些都使学生在数学学习中产生障碍。
2.态度及习惯方面的问题。有不少学生由于怕苦怕累、懒惰、不肯动脑动手，因此产生数学学习障碍。尽管从小学到初中，已学习了六、七年数学，但仍不知用什么方法才能学好数学，没有养成良好的学习习惯。
3.数学学习能力不足。相比小学数学而言，初中数学教材结构的逻辑性、系统性更强。首先表现在教材知识的衔接上，前面所学的知识往往是后边学习的基础；其次还表现在掌握数学知识的技能技巧上，新的技能技巧形成都必须借助于已有的技能技巧。因此，如果学生对前面所学的内容达不到规定的要求，不能及时掌握知识，形成技能，就造成了连续学习过程中的薄弱环节，跟不上集体学习的进程，导致学习分化。由于对基本概念和基本运算技能掌握得不好，而产生数学学习障碍。
4.社会和家庭方面的问题。由于家庭教育不当或不良社会环境的影响，学生也会产生数学学习障碍。
（三）从教学中的师生沟通谈起
1.教材是师生沟通的中介，由于教材过深过浅，或教学进度过快过慢，都会影响数学教学，使学生产生数学学习障碍。
2.师生缺少沟通，产生不了互动的正面效益。一方面，教师不了解学生的实际情况，根据主观想象制定学习目标，以致目标太高，学生无法达到。另一方面，学生不了解教师所要达到的目标，因此双方产生不了碰撞，引不起互动，在情感上更缺乏沟通。大多数数学教师对数学有兴趣，从小学一年级直到大专或大学毕业，连续学习数学达14年以上。他们很难体会在数学学习中有障碍的感受。尤其是初中数学教师，经过一两个小循环，就可把初中数学内容概括起来。由此得到初中数学课并不难的结论。而学生们，从小学一年级直到初中，越学越感觉到数学学科的难度。在这种情况下，师生之间在情感上是很难沟通的。由于师生双方缺少沟通，因此学生在数学学习中产生障碍。
三、初中数学教学的改革探索
让学生在数学学习中兴奋,活跃起来,让学习的主体作用和教学的主导作用得以体现,使数学教学既能孕育学生的良好心理,培养学生自觉认真的学习习惯,又能在学习上勤于思考,善于探索,注重方法。针对学生学习状况分析,本人正进行“参与性数学学习”和“课堂探索学习”的数学教学探索。
（一）参与性数学学习;是学生利用课余时间进行与数学内容有关的学习活动,目前已有两种活动组织形式；“数学辅导学习”和“数学兴趣学习”。
1.数学辅导学习,将班上数学成绩较好的学生组织起来,编成几个学习辅导小组(每组三人),每个辅导小组的同学负责班级一个大组同学的数学学习辅导,(1)当辅导员对本组同学的数学问题不能及时解答时,三人小组共同商议,且将商议的过程分析(若得不出答案或意见有分歧,再与老师共同研究)报经老师审阅后,利用自习课辅导小组的学生在班级面对全班同学讲评。(2)是老师定期拟出与阶段性数学教学内容相关的数学问题(即班级学生学习中普遍存在的问题),分配给各辅导小组,让各小组同学共同研究,并将获得的正确认识通过老师确定后,小组同学利用自习课在班上开讲(每周一次),如此既培养锻炼了优生,又及时解答了差生的疑问。优生通过探索研究、协调配合、表达尝试的训练,数学学习的兴趣更浓,更具自信。差生通过优生的行动帮助,行为激励,也跃跃欲试.久而久之,学生学习就克服了前面数学学习心理分析中的学习无目的、情绪不稳定、学习意志不坚定、学习具有依赖性以及学生课堂学习状况分析中不善于思考,交流讨论无主见等缺点。
2.数学兴趣学习,全班同学三五人一组或六七人一组自由组合,利用课余或双休日进行与数学学习相关的社会活动,如；调查统计(生产与销售、经销与利润、产品分配、商品流量、计划生育等),丈量计算、设计制作、货运装载的设计计算、绿化与环保等。他们利用本组同学的条件优势,选择一项进行分工合作。作调查统计的有调查统计表、调查分析结果、调查分析报告。作丈量计算的有丈量对象和方法、计算数据与结果、过程分析报告。设计制作的有设计对象与方案、制作过程与作品展示、设计制作的分析报告。类似活动可以增强学生的配合意识,培养学生的协作精神，克服学生数学学习状况分析中的学习盲目性,观察分析无耐心不细心,不善于动脑动手,遇难而退等缺点。
（二）课堂探索学习,课堂探索学习本人也从两个方面加以实施：“课堂教学引导探索”和“章节知识分析归纳探索”。
1.课堂教学引导探索,根据数学课时内容特点：引例——概念——例题——练习，而进行数学课堂教学探索的三步曲：(1)引导探索,尝试领悟.(2)引申探索,联想转化.(3)发散探索,创新思维。
(1)引导探索,尝试领悟.引导学生通过教材引例,探索引出的规律,归纳规律,形成概念.,又通过对概念作用的理解,尝试解答例题,成功的尝试,又有新的领悟,随即进行相关练习。
(2)引申探索,联想转化.引申概念范围的相似或相近问题,利用已有知识联想比较,通过已有方法转化分析,探索问题的求解思路。引申探索中充分暴露教材思想,转化分析中充分展示概念作用,在潜移默化中培养学生的学习方法和提高学生的学习能力。
(3)发散探索,创新思维.通过已研究问题的条件发散或结论发散或相似问题的递进研究,启发引导学生去探索、发现,在知识联系上探索,在方法转化上探索。在探索中领悟,在探索中发现,在探索中创建新的思想,在探索中扩展认识概念的内涵与外延。
通过课堂的引导探索训练,克服学生数学学习状况分析中的思维缺陷；孤立少联系,静止少变化,,思维简单难抽象,不习惯探索规律等。
2.章节内容的分析归纳探索.本内容从学生写小结开始,通过引导学生怎样进行知识小结,让学生充分意识小结的目的与作用,明白小结里应包括那些内容。在一次次的培养训练中,学生基本上有了小结的模式与框架。然后进行章节知识的归纳总结的探索训练,让他们探索出具有自己风格和特点的知识总结。他们在写总结时要复习教材看知识联系,翻阅笔记进行方法选择,查阅数学资料对问题归类归纳,然后加工整理：由所学知识到所用方法到所解决的问题,按内容顺序、知识层次、问题难易、方法递进进行全面总结。每份总结既体现了章节知识的承启作用,网络联系和对问题的类比分析、方法优选,同时也体现了学生对材料的组织、加工、整理和表达等方面的能力。这也就克服了学生学习状况分析中注意力难持久,自控力差,不讲求逻辑,思维不严谨等缺点。
作为全面推进素质教育的数学课程应该以培养学生创新精神和数学实践能力为主线,这就更要重视学生的心理发展规律,关注学生的经验和兴趣,并立足于“学生的全面发展”。即数学教育应该培养人的更内在、更深刻的东西——数学素质,数学素质已成为公民文化素养的重要组成部分。分析研究学生学习,探索研究教学方法,是为了以教材为载体,改变学生的摄入式学习为探索研究性学习,让学生在教材载体的作用下,在有效的教学方法引导下,学习养成良好习惯：有数学思想、有探索精神、注重学习方法、重视解决实际问题、善于培养兴趣、能挖掘学习潜力和发挥个性特长,随时充满自信。基于此,数学课程应该更突出数学的文化价值,并且着眼于人的“终身学习”和“可持续发展”。
