离散数学论文大全11篇

绪论：写作既是个人情感的抒发，也是对学术真理的探索，欢迎阅读由发表云整理的11篇离散数学论文范文，希望它们能为您的写作提供参考和启发。

篇（1）

⑴不理解定理是进行推理的依据。其实如果我们把一道完整的几何证明题的过程进行分解，发现它的骨干是由一个一个定理组成的。而学生书写的不完整、不严密，就因为缺乏对定理必要的理解，不会用符号语言表达，从而不能严谨推理，造成几何定理无法具体运用到习题中去。

⑵找不到运用定理所需的条件，或者在几何图形中找不出定理所对应的基本图形。具体表现在不熟悉图形和定理之间的联系，思考时把定理和图形分割开来。对于定理或图形的变式不理解，图形稍作改变（或不是标准形），学生就难以思考。

⑶推理过程因果关系模糊不清。

针对以上的原因，我们在教学中采取了一些自救对策。

一、教学环节

对几何定理的教学，我们在集中讲授时分5个环节。第1、2环节是理解定理的基本要求；第3环节是基本推理模式，第4环节是定理在推理过程中的呈现方式，提出了“模式＋定理”的书写方法；第5环节是定理在解题分析时的导向作用，提出了“图形＋定理”的思考方法。程序图设计如下：

基本要求重新建立表象推理模式组合定理联想定理

二、操作分析和说明

⒈定理的基本要求

我们认为，能正确书写证明过程的前提是学会对几何定理的书写，因为几何定理的符号语言是证明过程中的基本单位。因而在教学中我们采取了“一划二画三写”的步骤，让学生尽快熟悉每一个定理的基本要求，并重新整理了初中阶段的定理（见附页，此只列出与本文有关的定理），集中展示给学生。

例如定理43：直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。

一划：就是找出定理的题设和结论，题设用直线，结论用波浪线，要求在划时突出定理的本质部分。

如：“直角三角形”和“高线”、“相似”。

二画：就是依据定理的内容，能画出所对应的基本图形。

如：

三写：就是在分清题设和结论的基础上，能用符号语言表达，允许采用等同条件。

如：ABC是Rt，CDAB于D（条件也可写成：∠ACB＝90°,∠CDB＝90°等)ACD∽BCD∽ABC。

学生在书写时果然出现了一些问题：

①不理解每个定理的条件和结论。学生在书写时往往漏掉条件（如定理19漏掉垂直，定理46漏掉高、中线等）；对条件太简单的不会写（如定理3）；或者把条件当成结论（如定理12把三线都当成结论）。

②还表现在思维偏差。我们的要求是会用定理，而有些学生把定理重新证明一遍（如定理5、6）；或者在一个定理中出现××，又××，××的错误。

③更多的是没有抓住本质。具体表现在把非本质的条件当成本质条件（如定理7出现∠1和∠2是同位角，AB∥CD）；条件重复（如定理49，结论∠APO＝∠BPO已经包括过圆心O，学生在条件中还加以说明）；图形过于特殊（如把定理1的图画成射影定理的基本图形）；文字过多（一些定理译不出符号语言，用文字代替）等。

⒉重新建立表象

从具体到抽象，由感性到理性已成为广大数学教师传授知识的重要原则。“表象”就是人们对过去感知过的客观世界中的对象或对象在头脑中留下来的可以再现出来的形象，具有一定的鲜明性、具体性、概括性和抽象性。由于几何的每一个定理都对应着一个图形，这给我们在教学中提供了一定的便利。我们要求学生对定理的表象不能只停留在实体的形象上，而是让学生有意识的记图形，想图形，以形成和唤起表象。我们认为，这对于理解、巩固和记忆几何定理起着重大的作用。

教给学生想形象的基本方法后，我们接下去的步骤是用实例引导学生，下面是一段经整理后的课堂教学主要内容：

⑴问：听了老师的介绍后，你怎样回忆垂径定理的形象？

答：垂径定理我在想的时候，脑子里留下“两条等弧、两条相等的线段、一个直角”在一闪一闪的，以后看到弧相等或其他两个条件之一，脑子里就会浮现出垂径定理。

目的：建立单个定理的表象，要求能想到非标准图形。

继续问：看到弧相等，你们只想到了垂径定理，其他的定理就没有想起来吗？

答：想到了圆心角相等、圆周角相等、弦相等……

甚至有学生想到了两条平行弦……

目的：通过表象，进行联想，使学生理解定理间的联系。

⑵问：从定理21开始，你能找出和它有联系的定理吗？

答：有定理22（擦短使平行直线变成线段），定理25（特殊化成菱形），定理27……

目的：一般化或特殊化或图形的平移、旋转等变化，加深定理间的联系。

⑶下面的步骤，我们让学生自主思考。学生在不断尝试的过程中，通过比较、分析、判断，进一步熟悉定理的三种语言、定理之间的联系和区别。从学生思考的角度看，他们主要是在寻找基本图形，由于定理之间有一定的联系，在一个基本图形中往往存在着另一个残缺的基本图形，所以学生大多通过连线、延长、作圆、平移、旋转等手段，也有通过特殊化、找同结论等途径把不同的定理联系起来。

下面摘录的是学生自主思考后，得到的富有创意性的结论。

①定理16（延长中线成矩形）定理24（作矩形的外接圆）定理34。

②定理51（一线过圆心，且两线垂直）定理36（一线平移成切线）定理47、48（绕切点旋转）定理50。

③如下图，把EF向下平移（或绕A点旋转），使定理37和50联系起来（有同结论∠α＝∠D）：

⒊推理模式

从学生各方面的反馈情况看，多数学生觉得几何抽象还在于几何推理形式多样、过程复杂而又摸不定，往往听课时知道该如何写，而自己书写时又漏掉某些步骤。怎样将形式多样的推理过程让学生看得清而又摸得着呢？为此，我们在二步推理的基础上，经过归纳整理，总结了三种基本推理模式。

具体教学分三个步骤实施：

⑴精心设计三个简单的例题，让学生归纳出三种基本推理模式。

①条件结论新结论（结论推新结论式）

②新结论（多个结论推新结论式）

③新结论（结论和条件推新结论式）

⑵通过已详细书写证明过程的题目让学生识别不同的推理模式。

⑶通过具体习题，学生有意识、有预见性地练习书写。

这一环节我们的目的是让学生先理解证明题的大致框架，在具体书写时有一定的模式，有效地克服了学生书写的盲目性。

但教学表明学生仍然出现不必要的跳步，这是什么原因呢？我们把它归结为对推理的因果关系不明确、定理是推理的依据和单位不明白。因而我们根据需要，又设计了以下一个环节。

⒋组合定理

基本推理模式中的骨干部分还是定理的符号语言。因而在这一环节，我们让学生在证明的过程中找出单个定理的因果关系、多个定理的组合方式，然后由几个定理组合后构造图形，进一步强化学生“用定理”的意识。

下面通过一例来说明这一步骤的实施。

例1：已知如图，四边形ABCD外接O的半径为5，对角线AC与BD相交于E，且AB＝AE·AC，BD＝8。求BAD的面积。（2001年嘉兴市质量评估卷六）

证明：连结OB，连结OA交BD于F。

学生从每一个推测符号中找出所对应的定理和隐含的主要定理：

比例基本性质S/AS/证相似相似三角形性质垂径定理勾股定理三角形面积公式

由于学生自己主动找定理，因而印象深刻。在证明过程中确实是由一个一个定理连结起来的，也让学生体会到把定理（不排除概念、公式等）镶嵌在基本模式中，就能形成严密的推理过程。此时，可顺势布置以下的任务：给出勾股定理，你能再结合一个或多个定理，构造图形，并编出证明题或计算题吗？

实践表明：经过“模式＋定理”书写方法的熏陶后，学生基本具备了完整书写的意识。

⒌联想定理

分析图形是证明的基础，几何问题给出的图形有时是某些基本图形的残缺形式，通过作辅助线构造出定理的基本图形，为运用定理解决问题创造条件。图形固然可以引发联想（这也是教师分析几何证明题、学生证题的基本方法之一），但对于识图或想象力较差的学生来说，就比较困难，他们往往存有疑问：到底怎样才能分解出基本图形呢？在复杂的图形中怎样找到所需要的基本图形呢？因而我们从另一侧面，即证明题的“已知、求证”上给学生以支招，即由命题的题设、结论联想某些定理，以配合图形想象。

例：如图，O1和O2相交于B、C两点，AB是O1的直径，AB、AC的延长线分别交O2于D、E，过B作O1的切线交AE于F。求证：BF∥DE。

讨论此题时，启发学生由题设中的“AB是O的直径”联想定理“直径所对的圆周角是90°”，因而连结BC；“过B作O的切线交AE于F”联想定理“切线的性质”，得出∠ABF＝90°。从而构造出基本图形②③。

由命题的结论“BF∥DE”联想起“同位角相等，两直线平行”定理，构造出基本图形④。将上述基本图形②③④的性质结合在一起，学生就易于思考了。

这一环节我们的引导语有：“由已知中的哪一个条件，你能联想起什么定理？”、“条件组合后能构成哪个定理？”、“有无对应的基本图形？”、“能否构造出基本图形？”等。目的是让学生树立起“图形＋定理”的思考方法，把以前的无意识思考变成有目的、有意识的思考。

三、几点认识

复习的效果最终要体现在学生身上，只有通过学生的自身实践和领悟才是最佳复习途径，因此在复习时，我们始终坚持主体性原则。在组织复习的各个环节中，充分调动学生学习的主动性和积极性：提出问题让学生想，设计问题让学生做，方法和规律让学生体会，创造性的解答共同完善。

“没有反思，学生的理解就不可能从一个水平升华到更高的水平”（弗赖登塔尔）。我们认为传授方法或解答后让学生进行反思、领悟是很好的方法，所以我们在教学时总留出足够的时间来让学生进行反思，使学生尽快形成一种解题思路、书写方法。

集中讲授能使学生对几何定理的应用有一定的认识，但如果不加以巩固，也会造成遗忘。因而我们也坚持了渗透性原则，在平时的解题分析中时常有意识地引导、反复渗透。

篇（2）

一、一次函数型

给定一次函数y=f（x）=ax+b（a≠0），若y=f（x）在[m，n]内恒有f（x）>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于

）或）可合并定成

同理，若在[m，n]内恒有f（x）

例1：对于满足|p|≤2的所有实数p，求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。

分析：在不等式中出现了两个字母：x及P，关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。

解略

二、二次函数型

若二次函数y=ax2+bx+c=0（a≠0）大于0恒成立，则有

若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。

例2：设f（x）=x2-2ax+2，当x∈[-1，+∞）时，都有f（x）≥a恒成立，求a的取值范围。

分析：题目中要证明f（x）≥a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1，+∞）时恒大于0的问题。

解：设F（x）= f（x）-a=x2-2ax+2-a.

）当Δ=4（a-1）（a+2）

）当Δ=4（a-1）（a+2）≥0时由图可得以下充要条件：

即得-3≤a≤-2；

综合可得a的取值范围为[-3，1]。

三、变量分离型

若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。

例3：已知当x∈R时，不等式a+cos2x

分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（x∈R），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。

解：原不等式即：4sinx+cos2x

要使上式恒成立，只需-a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f（x）=4sinx+cos2x的最值问题。

f（x）= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2（sinx-1）2+3≤3，

-a+5>3即>a+2

上式等价于

或

解得a

注：注意到题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x，故若把sinx换元成t，则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。

另解：a+cos2x

a+1-2sin2x

整理得2t2-4t+4-a+>0，（ t∈[-1，1]）恒成立。

设f（t）= 2t2-4t+4-a+则二次函数的对称轴为t=1，

f（x）在[-1，1]内单调递减。

只需f（1）>0，即>a-2.（下同）

四、根据函数的奇偶性、周期性等性质

若函数f（x）是奇（偶）函数，则对一切定义域中的x ，f（-x）=-f（x）

（f（-x）=f（x））恒成立；若函数y=f（x）的周期为T，则对一切定义域中的x，f（x）=f（x+T）恒成立。

例4：若f（x）=sin（x+α）+cos（x-α）为偶函数，求α的值。

分析：告诉我们偶函数的条件，即相当于告诉我们一个恒成立问题。

解：由题得：f（-x）=f（x）对一切x∈R恒成立，

sin（-x+α）+cos（-x-α）=sin（x+α）+cos（x-α）

即sin（x+α）+sin（x-α）=cos（x+α）-cos（x-α）

2sinx・cosα=-2sinx・sinα

sinx（sinα+cosα）=0

对一切x∈R恒成立，只需也必须sinα+cosα=0。

α=k.（k∈Z）

五、直接根据图象判断

若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。

例5：当x∈（1，2）时，不等式（x-1）2

篇（3）

正弦定理指的是在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，用公式表示如下：（R为恒量，是该三角形外接圆的半径），正弦定理适用于任何三角形。上述公式还可以变形如下：；；。正弦定理指出了任意三角形的边与其对应角的正弦值之间的一个关系式，简单来说就是任意三角形的边角关系。

在实际应用正弦定理解三角形时主要适用于如下两种情况：一是已知三角形两角与一边，解三角形；二是已知三角形两边及其中一边对应的角，解三角形。正弦定理除了适用于以上两种情况外，利用正弦定理我们可以在次数相等的基础上将三角形所有的边转化为其对角的正弦值或者将对角正弦值转化为其对应的三角形的边；可以得出新的三角形面积公式：；可以在已知三角形两边及其中一边对角的时候，判断满足上述条件的三角形个数。举例说明，已知三角形的两条边a、b和角A，1）若A为锐角：①a=bsinA，一个；②a<bsinA，没有；③bsinA<a<b，两个；④a≥b，一个。2）若A为直角或者钝角：①a≤b，没有；②a>b，一个。

2正弦定理的引入

在教学过程中引入正弦定理是一项重要的工作，这个过程的成功与否直接与学生后期的学习效果相关。具体在引入正弦定理时我们可以采用如下步骤进行：情景设计——数学建模——猜想归纳得出正弦定理。

授课之初可以设定如下的情景：①某日我潜艇A发现其正东有一敌艇B正以35海里/小时的速度向正北方向航行。现已知鱼雷速度为70海里/小时，问A潜艇应以怎样的角度发射才能击中敌艇？②如果其他条件不变，B敌艇的行驶方向变为朝北偏西45°航行，此时我方发射的角度又是多少？情景①学生可以利用初中所学的在直角三角形中30°的角所对的边是斜边的一半轻易解决；情景②则需要进一步研究解决。

设定情景引发起学生的兴趣和猜想之后就要引导学生向数学知识上靠拢，此时要启发学生将要解决的问题通过数学建模的形式化实际问题为数学问题。于是通过数学建模很轻易的知道这个问题就是解三角形的问题。随即引导学生思考能否借助特殊的直角三角形解决一般三角形问题。

引导学生有特例到一般猜想归纳出正弦定理。在直角三角形中我们可以知道任意一条边与其对角正弦值的比是常数，由此可以猜想是否在非直角三角形中也有如此规律。通过在任意锐角三角形和钝角三角形中进行证明，验证正弦定理的普遍适用性。

3正弦定理的应用

在解三角形时，如果能够按照题目结构特点灵活运用正弦定理，可以简便运算，优化计算过程，提高解题的速度，具体的解题类型如下所示：

（1）解三角形问题

课本P4例题1：在三角形ABC中，已知A=32°，B=81.8°，a=42.9cm，解三角形。

【分析】在解答这道题时首要要明确解三角形的含义，解三角形就是根据已知的三角形各要素求剩余要素的过程。在本题中已知三角形的两个角A、B以及边a这三个要素，因此在本题求解的未知要素为角C以及边b、c。

具体求解过程如下：

根据正弦定理；

根据正弦定理.

在本题解答过程中用到了三角形内角和定理和正弦定理。一般来说，解三角形的习题中，三角形内角和定理是普遍应用到的。需要提示的是在解三角形时若最终结果出现两个答案需要对其进一步检验，验证所得的两个答案是否都满足题意，这也是在考试过程中经常出错的地方，学习过程中要提高捕获题干隐含条件的能力。假设最终结果出现两个c，此时要借助三角形固有的三条边之间的关系，以及边角关系，对两个答案分别予以验证，如果都符合则全部留下，否则要放弃不合隐含条件的答案。

（2）实际应用

利用正弦定理解决实际应用问题，本质上是通过将实际问题抽象为数学模型，然后借助相关的数学知识求解的过程，在这个过程中建立数学模型是关键。目前正弦定理的实际应用问题主要解决距离、高度以及航行的问题。本文以测量距离为例予以阐述。

课本P12例题1：如图1.2-1，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=51°∠ACB=75°求AB长。

【分析】本题是关于实际生活中测量河两岸点的距离的问题，如果实际解决的话很难找到合适的解决办法，但是在与A同侧设定点C，并借助相关工具测量得知∠BAC、∠ACB度数之后，就将实际距离问题转变成了数学中的解三角问题。在本题中已知两角一边求另外一边的长度，借助正弦定理很容易解决该问题。

具体求解过程如下：

由正弦定理得，

答：A、B两点间的距离为65.7米。

由上面的实际应用正弦定理解三角形例子我们可以知道，在解决实际问题时，首先要学会将实际问题转变为数学问题，然后在计算过程中要善于挖掘隐含条件，利用已知求未知，多角度，多方面思考问题。当在一个三角形中不能达到解决目的时要善于扩大研究范围，根据不同三角形之间的边角关系最终解决问题。

4结论及建议

高中数学中运用正弦定理解三角形是高考的重点也是学生在学习过程中的难点，关于如何更为有效的教与学，还需要更多的教育工作者共同努力。通过本文对高中数学解三角形相关解法的研究针对教学过程提出如下几点建议：

篇（4）

随着素质教育的不断深入发展，培养学生探究问题、解决问题的良好思维品质显得尤为重要。本文将“三重生态”理论中得到的启发运用在初中数学教学中，探析初中数学动态问题的教学策略，从而达到提高教学有效性的目的。

一、“三重生态”理论的阐释及对教学的启发

在“三重生态”理论阐释中，其主要包含三个动态因素，即自然生态、类生态及内生态。所谓自然生态就是维持每个人生存的物质资料，是人们最基本的需求；所谓类生态就是人们生活和发展的社会环境，内生态则指的是每个人内心得以栖息的居所。专家认为：每一个不同的生命体都处于三重生态的相互作用中。综合来看，自然生态和类生态最终反映内生态，并通过内生态表现出来。其实，课堂教学也在三重生态关系的作用下呈现不同面貌，取得的教学效果也是各异的。

“三重生态”理论应用于几何数学则表现为用运动的观点看图形的变化，具体特征为探索点、线段、面或几何图形运动中的规律，这些元素在变化过程中相互转化，最终实现有机统一，科学阐释数学问题由“变”到“不变”、由特殊到一般及变繁为简的辩证法思想。这种理论涉及数学领域的概率论、几何等众多知识，并蕴含数形结合、函数方程、有效转化等极其重要的数学思想，因而此类问题更具综合性和开放性。由于此类包含动态思想的问题符合新课改的课程要求，因此数学问题中设置动态问题是数学考试中考查学生数学思维的重点。素质教育崇尚学生自主性的发挥，上述提到的初中数学中的动态问题对学生自主学习能力提出较高要求。本文将以“三重生态”理论为基础，多角度阐释解决上述问题的科学方法，进而研究这类问题的有效教学策略，有利于教师更好地找准教学方向，也有利于培养学生较高的解题素养。

二、利用“三重生态”理论尝试解决初中数学动态问题的教学策略

从长期课堂教学实际情况来看，学生对解决动态性数学问题没有比较成熟的思路，考试中这类题目的得分情况不是很乐观。究其原因，主要有两方面：一是此类题目本身难度系数较高，二是在初中数学课堂教学中“三重生态”理论没有得到恰到好处地应用，在师生中没有产生良好的化学反应。主要表现为以下方面。

1.自然生态元素作用不明显。

数学动态性问题重在描述题目中涉及的基本元素的变化和运动过程，为了让学生能直观清晰地理解各项元素的变化规律，我们需要在学生脑海中创设具体的情境。

2.类生态元素作用不明显。

在解决动态数学问题的过程中，教师的教学通常会陷入一种固定的、单一的模式，即对学生的思想培养缺乏一定的关注，从而导致学生形成思维惰性，习惯按照同一种思维方式思考问题。长此以往，如果学生接触的题型种类有限，这种思维定势将更明显，当遇到新题型时，思维转换速度和敏感度都将急剧下降。尤其对于一些需用新方法解决的“旧问题“，学生通常会根据以往习惯和模式解决问题，以至于不能从根本上解决问题，并且懒于深究问题背后的原理。类生态元素未发挥良好作用是造成这种现象的主要原因，即学生并未用心体会点的运动和变化规律，也没有认真分析动态数学问题的实质，从而只能按照既有经验思考和解决问题。

3.内生态因素作用不明显。

内生态因素主要表现为学生觉得所学内容很有难度，且没有实际意义。因为学生所做的习题往往是一大堆字母、图形、数字的组合，很难让学生产生兴趣，所以教师应在设置题目时，选择趣味性叙述方式，并尽量让学生在解题中体会成就感，让其意识到所学内容是很有意义的。

三、如何解决上述问题

1.深入理解动态型问题，发挥自然生态元素的作用。

尽管动态型问题复杂多变，但有其自身规律，总结来看，主要有以下两大规律。

（1）无变量条件：无变量元素的问题基本都是较简单的几何问题，运动变化形式基本围绕点、线、面展开，主要考察运动中的规律性。例如，在解决直角三角形、等腰三角形、相似三角形，或平行四边形、等腰梯形等问题时，在无变量的前提下，解题方法都相对简单和固定，主要采用相似或全等等规律。

（2）有变量条件：如下图：P在等边三角形ABC的AC边上运动，AC=6，P从点A向点C运动，Q是CB延长线上的一点，以同样速度由B向CB方向运动，过P作PEAB于E，连接PQ交AB于D。当∠BQD=30°时，求AP的长。

此题主要运用到直角三角形的知识点，根据题目已有条件，易判断出∠QPC是直角。根据直角三角形的性质，当∠BQD=30°时，QC=2PC，设AP=x，则可以得出方程：6+x=2（6-x），解方程即可。可以看出引入变量元素后，题目变成综合型。综合型问题通常包含函数、几何等多个知识点，因而难度系数较前者大，考生在解决此类问题时应具备综合型思维。

深入解读题干要求，合理分析图形，应成为学生解决动态数学问题的必要步骤，这是对“三重生态”中自然生态元素的科学注解。在课堂教学中，教师要善于引导学生思考和分析题目要求，并从中探索出一般的规律性东西。学生需要重点理解的因素有：图形中运动的元素、运动的特殊点，进而将其转化为一个点的特殊运动过程。

2.引导学生体会解题思路和数学思想，发挥类生态作用。

在具体指导学生时，要确保学生不但知其然，而且知其所以然，避免“背答案”。只有学生真正掌握解题思路和数学思想，才能彻底掌握这一题型。

如初中数学动态型问题的解决需要学生提高内在修养及思考问题和分析问题的能力，主要表现为“数形结合”和“分类讨论“两方面的能力。根据这一特点，教师可多寻找一些需要运用到这些能力的题目，开展针对性训练。

如下图，在正方形ABCD中，AB长度为6厘米，M点从A点出发以单位速度沿直线向B点运动，与此同时，点N也从A点开始运动，运动路线为AD―DC―CB，速度为6cm/s。设AMN的面积为y（cm■），运动时间为x（秒），则y与x的函数关系式是（？摇？摇？摇？摇）

许多学生见到这种问题就觉得无从下手，其实运用“数形结合”和“分类讨论”两种方法是很容易解决这一问题的，由题目易知，从N点正好能走完折线AD―DC―CB，根据分类讨论思想，可将AMN的面积计算情况分为，在AD、DC、CB三条线上的三种情况，并根据数形结合的思想，写出每种情况下AMN的面积计算公式，答案就呼之欲出了。

3.激发学生的求知欲望，发挥内生态元素作用。

教师要善于创设情境，将学生带入情境，使他们感受到动态问题是生活中普遍存在的问题，是能够解决具体问题的。

如这道题我用两个小虫子代替P、Q点，这道题立马变得有意思：两个小虫子小P和小Q同时发现了A点的实物，此时，他们与食物的位置呈三角形ABC，小P离食物的距离是20cm，小Q离食物的距离是12cm，已知小P的速度是3cm，小Q的速度是2cm，请问两个小虫子立即沿最短路径奔向食物，问：小P和小Q何时与食物成等腰三角形。

这样做的好处是，一方面使得整个题目令学生眼前一亮，解题过程变得趣味化，能够更好地吸引学生的注意力。另一方面使得学生意识到所学的内容是能够解决具体问题的，激发学生的学习动力。

综上所述，课堂教学活动应将激发学生的内心感受作为重要考量，而不是单纯地说教。“三重生态”理论中内生态元素是其他两种元素的落脚点和归宿点，意味着任何形式的教学活动最后都是以服务学生、开发学生潜能、培养德智体美全面发展的优秀学生为出发点的。长期的教学实践使我深深明白教师担负的职责是多么重大，使学生充分参与教学活动并获得前所未有的独特体验是多么任重而道远。

篇（5）

中图分类号:O158文献标识码:A文章编号:1671-7597(2009)1120178-01

离散数学是研究离散量的结构和相互关系的数学学科,大多高校在计算机专业和信息专业开设离散数学课程,该课程是许多计算机专业课,如《数据结构》、《操作系统》、《数据库原理和人工智能》、《编译原理》等课的必备基础。离散数学课程重视基本概念、基本理论的讲授与基本方法、基本运算技能的训练,着重培养学生抽象思维、逻辑推理和用数学工具解决实际问题的能力。内容包括数理逻辑、集合论、代数系统和图论四个方面,内容繁杂,覆盖面广,教学课时又不太多,并且概念多,理论性强,高度抽象,所以,怎样帮助学生从繁杂的知识中找出最重要最根本的内容,并在有限的学时内让学生正确理解,通过练习会熟练应用,以达到基本掌握离散数学的目的,是该课程教学的难点,也是师生普遍关心和值得探讨的重要问题。本文结合笔者的教学实践,对课程教学内容、教学方法、教学手段和考核方式等方面进行了探索和研究。

一、根据人才培养目标设计《离散数学》教学内容

应根据不同办学层次,专业背景和人才培养目标构建离散数学课程的教学方案,这是整个一门课程的设计,依据就是不同专业方向的教学培养目标。数学专业的离散数学课程教学内容重在离散数学的数学理论,计算机科学与技术专业本科教育可以分为科学型(计算机科学)、工程型(计算机工程)和应用型(信息技术)三种类型,不同类型可以设计不同的知识单元,对离散数学诸多内容进行适当取舍。

二、教学方法探索

(一)多渠道培养学生兴趣。兴趣是最好的老师,如果学生没有学习兴趣,就谈不上有学习的主动性和创造性,是不可能真正学好一门课程,培养兴趣可以尝试以下几种途径:

1.抓住开头,激发求知欲。俗话说“良好的开端是成功的一半”,一方面,要注重开好这门课的头,第一节课进入理论知识讲授之前,可以通过实际例子,例如“理发师悖论”、“哥底斯堡七桥问题”‘“四色问题”等说明离散数学的应用,另一方面,每节课采用多种方式灵活的开场白,如以知识来源、背景开始,或以实际问题引入,或以逻辑游戏提问,或以前述章节知识的延伸开始等。

2.理论联系实际,培养兴趣。在教学中随时把具体内容和学生的专业课相联系,如利用布尔代数研究开关电路而建立一门完整的数字逻辑的理论,对计算机的逻辑设计起了很大作用;图论中的平面图、树的研究对集成电路的布线、网络信息流量的分析有很大的理论指导作用。

(二)重质疑强调启发式教学。启发式教学是培养学生自主创新能力的重要手段,启发式教学的过程中,如何激发学生对问题的深入理解,刺激他们的求知欲是最关键的,有多种启发教育模式,如对比启发、反例启发、设疑启发、实例启发等。笔者在教学中发现学生在记忆、应用极大项与极小项的性质时经常出问题,掌握不清楚,甚至把常用的记号都记错了,于是将他们写在一起,利用各自成真赋值、成假赋值与记号下标的关系,通过对比找出二者的规律,方便学生记忆。在讲授条件联结词的真值时,我通常举下述容易理解的例子消除学生的模糊性观点:爸爸说:“如果你期末考试得了全班第一名,我将给你买台电脑作奖励。”那么只有当孩子考了第一名但是爸爸没有给他买电脑时,才说明爸爸没有兑现诺言。这样,当条件联结词前件为假,不管后件是真还是假,条件式均为真。

三、教学手段多样化

(一)章节总结,精选习题,举一反三。每章结束后,安排习题课很必要,教师进行系统的章节总结,学生通过教师有条理的总结回顾本章内容,搞清所学知识的本质和内在联系。选择习题时要选至少能说明一个或多个重点问题的题目,且难度适中,讲解时提倡一题多解,启迪思路,同时归纳做题规律和技巧,例如在讲解命题逻辑中判断推理是否正确时,可以采用真值表法、等值演算法和主析取范式法,学生通过练习,就可以体会各种方法的优缺点,总结出什么样的推理用什么样的方法判断更简捷和方便。另外,根据学生的接受能力适当选取一些教材以外的题目,开拓思路。

(二)增加实验教学环节。离散数学有注重应用的一面,笔者认为可以利用上课时间介绍一些基本理论和方法,让学生在课后自由上机完成实验,进行实验教学关键是怎样合理设计实验题目。

(三)多媒体与传统教学手段优势互补。多媒体教学的引入,改变了“一支粉笔,一块黑板和一本教科书”的传统教学模式,教师充分节约了板书时间,有充分的时间解释概念和分析证明思路,还可以组织学生讨论,加深对知识重难点的理解,课后学生从老师那里获得课件进行知识巩固的时候,有利于课堂场景的重现,更加深印象。但是教学也不能仅仅依赖于多媒体,由于信息量增大加上有些推理的过程很需要详加推导和解释,所以要把多媒体教学和传统教学结合起来,优势互补,概念、定理、例题采用多媒体演示,而需要推导或课件上步骤有跳跃的地方采用板书形式。

四、考核方式改革研究

传统的考核方式是试卷考试,考察学生基本概念、基本知识和基本技能的掌握以及解决综合问题的能力,笔者建议可以尝试采取试卷考试、平时考核和撰写离散数学论文三部分成绩有机结合的考核形式,老师大致指定论文范围,由学生在范围内自由选题,这种方式一方面使得学生加深了对所学知识的理解,另一方面在查阅资料的过程中学到了不少在教材中没有的知识。

五、结束语

离散数学课程有益于培养学生的抽象思维、逻辑推理和用数学工具解决实际问题的能力,为后续课程的学习打下坚实的基础,教与学是一个互动的过程,提高教学效果需要在实践中不断探索,不断总结经验,在教学中宜根据学生个体差异因材施教。如何确定教学内容、改进教学方法、丰富教学手段、完善考核方式、加强实践应用,如何提高该课程的教学质量,这仍是今后教学实践中需要不断研究和探索的重要课题。

参考文献:

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在数学教学过程中，教师精心设计有效的数学问题，是一门创造性的艺术． “问题”是学生掌握知识、形成技能、全面发展的主要源泉． 课堂教学就是“问题”的教学，在高三二轮数学复习教学中，我们经常会遇到一些在解题思想或者解题方法上非常典型的问题，其实对于这些问题的教学，不能简单地认为“年年岁岁花相似”，复习时老是炒冷饭，还要看到“岁岁年年人不同”，必须不断发现问题，有所改进和创新． 这样在二轮复习中才能让学生的基础知识更加坚实，综合能力得到进一步的提高．

异题同解实现基础知识的夯实

异题同解简单地讲，就是在教学中将在解法上相同或者相近的一系列问题归纳在一起，对照分析后达到巩固和提高的目的． 从历年高三二轮数学复习的实际教学的效果来看，这种方法尤其对于基础不太好的学生，甚至是基础中等的学生而言，都有着可以较好地夯实基础知识，提高解题的能力，增加学生学习数学兴趣的功能．

例1 将函数f（x）=－的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，求所得图象的函数表达式；

2． 作出函数f（x）=的图象；

3． 求函数f（x）=的单调递增区间；

4． 求函数f（x）=log2的单调递增区间；

5． 讨论函数f（x）=a≠在（－2，+∞）上的单调性．

解：1． 将函数f（x）=－中的x换成x+1，y换成y-1得

f（x）－1=－?圯f（x）=1－?圯f（x）=．

2． 函数f（x）==1－，它是由函数f（x）=－的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到的． 图象为：

图1

3． 由图象知函数f（x）=的单调递增区间为：（－∞，－1），（－1，+∞）．

4． 由>0?圯x>1或x

5． f（x）==a+a≠，由f（x）的图象知，当a>时在（－2，+∞）上是增函数；当a

从上面的几道题的问题设计，我们会发现“问题”虽然不同，但基本方法一致，它们源于双基，通过解决问题又强化了双基，让学生在不断提出问题、解决问题的流程中扎实双基，并认识夯实双基的重要性． 从而在高三二轮复习中我们在课堂教学中要清醒地认识到“问题”设计的导向性就是要强化“双基”，突出重点． 强化“双基”，夯实基础是教学工作的基本原则． 只有这样，才能达到课堂的有效性．

同题多解促进思维的渗透

在一些公开课中，我们常常看到开课教师在课堂上对典型例题进行“同题多解”，动辄就是五六种方法，甚至还会更多，成为教师的“表演秀”，但学生究竟掌握了多少，是要打问号的． “同题多解”在教学中是否必要存在有很大的争论，毕竟在测试中，学生只要用最短的时间得到题目的答案就可以了，但考虑到“同题多解”是培养学生思维能力的一种有效的方法，同时从不同角度看问题，也可以发现某些常见错误，提供了一种常见的检验的方法． “最基本的才是最重要的”． 笔者在教学中对于这样一类问题设计时，通常要求几种方法在技巧性上的要求不能太高，力求能够还原到基本概念，或者根据学生的思路，因势利导，绝不为了“同题多解”而“同题多解”．

例2 设二次函数f（x）满足f（x－2）=f（－x－2），且函数图象y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为2，求f（x）的解析式．

解法一：设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）

由f（x－2）=f（－x－2）得4a－b=0．

又x1-x2==2，所以b2－4ac=8a2．

由题意可知c=1． 解之得f（x）=x2+2x+1．

解法二：f（x－2）=f（－x－2），

故函数y=f（x）的图象有对称轴x= －2，可设y=a（x+2）2+k．

因为函数图象与y轴上的截距为1，则4a+k=1．

又被x轴截得的线段长为2，则x1-x2==2，

整理得2a+k=0，

解之得a=，k=－1，f（x）=x2+2x+1．

解法三：f（x－2）=f（－x－2）

故函数y=f（x）的图象有对称轴x= －2，又x1-x2=2，

所以y=f（x）与x轴的交点为：（－2－，0），（－2+，0），

所以故可设y=a（x+2+）（x+2－），

所以f（0）=1，a=，

所以f（x）=x2+2x+1．

从总体来讲，三种方法在技巧性上要求不高，学生容易掌握，第一种体现了待定系数化归的常见数学思想；第二种方法将对称转化为对称轴问题，是一种通法；第三种方法起点低，但思维量比较大，采用交点坐标求二次函数的解析式来解决问题． 在求二次函数的解析式时三种方法都是常用方法，可以融会贯通，促进思维的渗透．

篇（7）

2.数学建模教学是应用型本科数学人才培养的有效途径

3.将数学建模思想融入应用型本科数学教学初探

4.应用型本科数学实验课程改革的探讨

5.以数学建模为突破口,促进应用型本科数学课程改革 

6.浅谈国内外本科数学公共基础课的实践教学

7.独立学院工科类本科数学教学浅谈

8.应对基础教育课程改革的新疆高师本科数学专业课程设置策略

9.本科数学专业常微分方程教学改革与实践 

10.基于大众数学理念的中职起点本科数学改革

11.应用型本科数学教师教学素养的培养与思考  

12.应用型本科大学数学课程的教学定位分析 

13.河南高师本科数学专业学生就业形势及对策

14.应用型本科数学类专业职业技能培养研究  

15.新课标体系下高师本科数学分析教学所面临的问题和所采取的措施

16.应用型本科高校数学与应用数学专业建设的探索与实践 

17.工程教育模式下本科数学教学评价的探索 

18.应用型本科人才的数学素质和创新意识教育的研究与实践

19.基于高中课改形势下的地方本科院校高等数学教学改革 

20.将数学建模思想融入大学本科数学基础课程

21.本科数学教学与强化素质教育研究  

22.“问题驱动法”在新建应用型本科数学教学中的应用 

23.对本科数学教学改革的思考与对策 

24.应用型本科工科数学的现状与教学改革探析 

25.应用型本科大学数学课程的教学定位分析

26.以就业为导向的数学本科专业学生创新能力的培养

27.浅谈工科本科数学教育改革 

28.独立学院实现应用型本科数学教学的研究

29.新建地方院校金融数学专业本科人才培养探讨

30.对地方本科院校数学专业应用型人才培养的探索与实践

31.普通本科院校文科数学素质教育的对策探究 

32.新建本科院校本科《高等数学》学习状况调查报告

33.“以学生为中心”的本科数学教学范式研究

34.应用型本科高等数学教学改革的研究

35.新建本科院校特色专业建设与改革探索——以凯里学院数学与应用数学省级特色专业为例

36.应用型本科大学数学课程考试模式研究

37.民办应用型本科数学课程改革初探

38.应用型本科数学基础课程群建设的探讨

39.应用本科院校高等数学走班制分层次教学探究——以河南科技学院为例

40.本科数学教学应提倡“研究性学习” 

41.民办本科《数学分析》课程的实践与认识 

42.构建高师小学教育本科专业数学类课程的若干思考 

43.高校应用型本科数学建模队员培训与选拔方式的探析

44.应用教学型本科数学实践课程教学模式探讨 

45.新升本科数学专业(师范)课程设置的特点与启示 

46.新建本科院校文科数学教育的问题与对策研究 

47.工科类本科数学基础课程教学基本要求 

48.高师本科数学分析教学改革的研究与实践

49.应用型本科高校金融数学专业建设的思考 

50.本科数学专业常微分方程教学改革的探讨  

51.本科数学专业高等代数课程教学改革初探——“推拉”教学法的尝试

52.应用型本科院校数学建模教学与创新

53.应用型本科院校数学教学改革 

54.大学本科数学教学应重视的几个问题 

55.论本科小学数学教师教育课程的整合 

56.地方本科院校公共数学类课程的教学改革与实践 

57.应用型计算机本科中离散数学课程目标定位与课程改革的探讨 

58.应用型本科院校数学与应用数学专业定位与课程设置研究 

59.数学建模在应用型本科人才培养中的实践与探索

60.应用型本科高等数学教学与“CDIO”教学改革初探 

61.应用型本科院校高等数学教学存在的问题与改革策略 

62.新建本科院校计算机专业离散数学教学研究 

63.本科层次小学教育专业数学课程设置的本源性分析 

64.农林本科数学教育的现状与存在问题分析 

65.提高一般本科院校学生学习数学积极性初探 

66.数学建模思想融入应用型本科院校高等数学课程教学的途径

67.应用型本科高等数学课程教学改革的探究  

68.山东省高师专科升本科《数学分析》试题的研讨 

69.一般本科院校《大学数学》教学现状分析与改革思路研讨

70.关于提高数学类专业本科毕业设计质量的研究

71.西藏高校数学类本科专业设置及课程体系建设研究——以西藏大学为例 

72.整合数学类课程,提高小学教育专业本科学生的数学素养

73.理工科院校数学本科专业学生就业初探 

74.应用型本科院校高等数学课程现状与对策 

75.工程应用型本科类高校数学通识课现状分析及其改革途径探讨

76.应用型本科院校大学数学教学改革的探索 

77.新建本科高校数学教学改革的探索与实践 

78.地方本科院校扩大数学建模竞赛受益面的探索 

79.新升本科院校数学分析教学的几点思考  

80.本科院校数学实验室管理研究  

81.大学本科经济数学教学现状及相关思考  

82.应用型本科院校高等数学课程的教学改革 

83.应用技术型本科院校高等数学教材的建设模式研究与实践 

84.工程数学教学如何适应技术应用型本科教育  

85.新建本科院校安全工程专业数学课程教学改革探讨 

86.关于国外高校经济学本科数学基础课程设置的探讨 

87.四年制高职本科高等数学课程体系的研究

88.概率统计在数学建模中的应用——以2012年全国大学生数学建模竞赛(本科组)A题为例 

89.高等数学思想在本科毕业设计中的运用研究 

90.应用型本科数学实验课程教学改革探索

91.新建本科院校考研数学的现状与策略研究 

92.应用型本科院校高等数学教学若干问题的思考

93.数学史:探求真理的“心”路历程——大学本科数学史教材改革初探 

94.地方本科院校数学与应用数学专业课程群建设的理论与实践  

95.应用型本科院校高等数学教学改革研究

96.“产学研”合作视域下高校实践教学体系的构建——以宿州学院数学类本科专业为例 

97.与时俱进构建人才培养新模式——东华理工学院《数学与应用数学专业本科人才培养计划(06版)》解读 

98.地方一般本科院校数学建模活动推广模式探讨 

99.本科小学教育专业学生数学素养的培养研究 

100.新建本科院校数学与应用数学专业实践教学体系探索 

101.应用型本科高校大学数学分层次教学改革探讨 

102.基于职业创新能力培养的数学课程构建——以高职本科分段铁道供电专业为例 

103.大学本科数学考试模式改革探索与思考  

104.浅论下轮工科本科数学教材编写的原则 

105.应用型本科院校中高等数学教学体会  

106.应用型本科数学建模课程教学改革探索 

107.应用型本科高校高等数学课程优化教学新探 

108.应用型本科院校数学课程教学改革与建设探索——以银川能源学院为例 

109.高等本科院校学生数学建模能力的调查与分析

110.本科院校工科高等数学软件实验的改革 

111.河南省高师数学本科专业学生就业探微

112.新建本科院校高等数学课程中实施分层教学的探索——以安阳师范学院为例