学籍证明大全11篇

绪论：写作既是个人情感的抒发，也是对学术真理的探索，欢迎阅读由发表云整理的11篇学籍证明范文，希望它们能为您的写作提供参考和启发。

篇（1）

1.学生有怪问时，延时评价可提供一个敢于释疑的环境

课堂教学中，当学生提出某些古怪、幼稚、甚至是荒诞的“怪论”时，常引来教师迫不及待的否定，无形中扑灭了学生创造的火花，挫伤学生的积极性.因此，教师千万不要及时评价，而应通过延时评价的方法，鼓励学生敢于思考、敢于与众不同、敢于发现和挑战，然后及时转换角色、转换角度，走进学生的内心世界来解决问题.

22

xy

例1.1在学习“双曲线的几何性质”时，总有学生提出这样的问题：“当x=0时，方程-=1

22

ab

没有实根，为什么还要将点B1（0，-b）,B2(0,b)在y轴上表示出来，并称B1B2为虚轴？”等等。

这些似是而非的问题是多么富有创意！从教学实践看，怪问就是一颗创造的种子，它埋在学生的心里。这颗珍贵而娇嫩的种子，只有在教师的精心呵护和培育下才会生根发芽。

2.问题有多解时，延时评价可提供一个敢于质疑的环境

在数学学习中，我们经常会碰到可以从不同角度、不同侧面来解决的问题.解决这样的问题时，教师对课堂上学生提出的解决问题的方案要采用延时评价，不能过早地给予及时的终结性的评价，否则会扼杀其他学生创新思维的火花.

2222

例2.1已知实数a，b，x，y满足a+b=4，x+y=9，求ax+by的最大值.

生：令a=2cosα，b=2sinα，x=3cosβ，y=3sinβ，则ax+by=6(cosαcosβ+

sinαsinβ)=6cos(α-β)。故当cos(α-β)=1时，ax+by的最大值为6

教师一听，答案完全正确，情不自禁地说：“非常正确！和老师想得一模一样.其他同学呢？”哪知道

刚才举起的那些手“唰”地不见了！顿时，教师不知所措，不知道自己到底做错了什么……

正常情况下，由于受思维定势的影响，新颖、独特的见解常常出现在思维过程的后半段，也就是我们常说的“顿悟”和“灵感”.因此，在教学中，教师不能过早地给予评价以对其他学生的思维形成定势，而应该灵活地运用延时评价，让学生在和谐的气氛中驰骋想象，使学生的个性思维得到充分发展.

3.思维受挫时，延时评价可提供一个敢于析疑的环境

案例3.1在利用不等式求最值时，有这样一个思维受挫的教学片段：

sinx2

求函数y=+〔0＜x＜π〕的最小值.

2sinx

sinx2

生：利用平均不等式，y≥2.=2

2sinx师：以上不等式能取到“=”吗？

生：因为sinx≠2，所以等号取不到，这样解错了.

篇（2）

一、科技与道德的关系

一直以来,关于科技与道德的关系,学术界有不同的看法:一是科学技术自善论,认为科学技术的发展,会使人们的道德水平自然而然地提高;二是科学技术罪恶论,认为科学技术的发展,不能提高人们的道德水平,反而会使人们的道德越来越堕落;三是科学技术或善或恶论,认为科学技术的发展,既能提高一部分人的道德水平,又会使一部分人的道德品质败坏;四是科学技术善恶并进论,认为随着社会的进化,善恶是并进兼行。伦理学者认为,科技与道德是相互作用,相互影响,辩证的关系:一是科技发展有利于道德的提高。科学技术的发展,必将促进生产力和生产关系的矛盾运动,使社会由低级向高级发展,从而推动着人类道德的进步;二是科技的作用有一定的历史范围。一方面是广大劳动人民的道德水平随着他们所从事的物质生产和科学技术的发展而日益进步;另一方面少数剥削者的道德水平随着其特殊利益的发展和整个阶级的没落,他们的道德又必将随之堕落;三是科技不能作为判断道德水平的直接标准。科学技术的发展,虽然可以直接或间接地对人类的道德状况发生这样或那样的影响,但判断一个社会的实际道德水平,应该主要以居于这个社会的主导地位的道德的基本原则和主要规范为依据。随着社会的发展,科学技术不断为人类所用,给人类创造了巨大的福利;另一方面两次世界大战的爆发、环境问题的出现等使科学所产生的负效应不断呈现并扩大。科技工作者是科学技术活动的主体,他们如何从事科技活动在很大程度上决定着科技活动的走向,科技工作者积极而又慎重地从事科学研究,发展科学技术,使之造福于人类才是具有道德的。换言之,科学技术只要有利于生产力的发展,社会的进步,人类社会的发展,它就是合道德的,反之,就是不道德的。

二、科学技术合道德的思辨

如果说,科学技术合道德,它的合理性表现在:一是科技进步影响伦理道德的发展。首先科学技术作为人类一种实践活动,本身需要道德规范,因而科学技术发展本身会孕育出一定的道德观念,即科技道德;其次科学技术的发展,正确地揭示了客观世界的规律,使人们获得对客观世界的科学认识,直接导致人们原先由于愚昧迷信而形成的伦理道德观念被更新;最后科学技术的一些新成就及其运用直接引起人们之间新的伦理关系,从而引发人们作新的道德思考,促进伦理道德的进步;二是科技进步需要伦理道德的正确引导。随着现代科学技术对伦理道德影响的加强,科学技术越来越具有道德的性质和伦理意蕴,科学技术的发展只有在正确伦理道德的引导下,才能更好地发挥其积极效应,使之朝着造福于人类的方向健康发展,科学技术发展给社会、伦理道德所带来的消极影响也只有通过道德调节才能加以消除和缓解。以克隆技术为例,通过克隆技术可能使人类的寿命得以延长,也可以替换人的器官,来挽救人类生命和治愈人类疾病,这是符合于人类的道德目的的。然而,它违背了伦理学的不伤害原则、自主原则、平等原则,给伦理学造成了巨大的冲击,应尽早采取对策,建立生殖医学法规和生命伦理研究机构,让更多的人享受高科技带来的优惠,使其造福于民,也让我们人类远离克隆所带来的灾难,使克隆技术这一科学成就与伦理道德的冲撞而产生的不利影响降到最低。

三、科学技术不合道德思辨

科学技术发展对伦理道德不仅带来积极的影响,也产生了消极的影响。其负面效应主要有这样几种表现:一是由于科学技术的进步能创造巨大的物质财富,这使得科学技术的发展有可能膨胀人们的物质享乐心理,使人不择手段、不顾后果片面追求物质利益,导致道德滑坡;二是科学技术的发展可能提供新的犯罪手段、犯罪方式,诱使人走向犯罪。如计算机网络技术的发展就使人不用采取传统的偷窃、抢劫方式,通过修改计算机程序可获取不义之财。这种新的犯罪手段、方式比传统的偷窃、抢劫更隐蔽,更难以破获,也就会更加激活不法之徒的犯罪动机;三是科学技术的发展带来的一些新的伦理问题,可能会引起道德混乱,如处理不当,就会破坏社会伦理秩序,导致社会失范。

对人类来说,今天具有决定性意义的问题,不仅是如何发展科学的问题,更重要的是如何使用科学,把科学用于什么的问题,实际上是一个价值问题。应该把科学技术作用于道德之上,通过强化科学工作者的道德责任意识,普及生命伦理知识并开展讨论,加强伦理委员会和国家法律法规的约束作用,以规范科学技术与伦理道德的关系,建立、完善高尚的科学伦理。

篇（3）

要做到“见什么想什么,要什么写什么”,则要求学生要有一个比较扎实的几何系统知识,即几何中的相关概念、命题,相关性质、公理与定理等基础知识,并对这些知识熟练记忆.因此,我们在记忆的时候要将相关知识联系记忆,并进行比较,从中找出该知识间的必然联系.

那么如何理解“见什么想什么,要什么写什么”这12个字的学习方法呢?

1 “见什么想什么”

1.1 想相关的性质(即可以用得到的东西)

①见到垂直,即要想到:(1)所成的角为90°;(2)线段的垂直平分线(其上的点到线段两端的距离相等);(3)有可能是三角形的高.

②见到线段的中点或角平分线,即要想相关的三个表达式子:(1)两个小者的相等关系(较短两条线段或较小两个角);(2)小者等于大者的一半的关系(较短两条线段或较小两个角与最长线段与最大角);(3)大者等于小者的2倍的关系(最长线段与最大角与较短两条线段或较小两个角).

③见到两直线平行,马上要想到有关的角的性质:(1)内错角相等;(2)同位角相等;(3)同旁内角互补.

④见到直角三角形,即要想到:(1)有一角为90°;(2)勾股定理;(3)斜边上的中线等于斜边的一半;(4)30度角所对的直角边等于斜边的一半.[注:(3)与(4)都有这样的关系:等于斜边的一半];(5)全等时的HL.

⑤见到等腰三角形,即要想到:(1)两腰相等;(2)两(底)角相等;(3)三线合一.

⑥见到有关解多边形的题目,我们必须想到与多边形相关的内角和、外角和知识:即内角和为:(n-2)×180 °、外角和为:360°.

⑦见到平行四边形,马上要想到平行四边形具有如下可用到的东西:(1)对边平行;(2)对边相等;(3)对角相等;(4)对角线互相平分.

⑧见到矩形,马上想到矩形具有如下可用到的东西:(1)角相等,且为90°;(2)对边平行;(3)对边相等;(4)对角线互相平分,且相等.

⑨见到菱形,马上想到菱形具有如下可用到的东西:(1)对边平行;(2)四边相等;(3)对角相等;(4)对角线互相平分,垂直,且平分每一组对角.

⑩见到正方形,马上想到正方形具有如下可用到的东西:(1)对边平行;(2)四边相等;(3) 四角相等,且都为90°;(4)对角线互相平分,相等,垂直,且平分每一组对角.

1.2 想相关的方法(即怎样见题想方法)

①见要求有关的角相等,马上想到可以用如下方法去解答:(1)看角的情况,证两直线平行;(2)最常用的利用三角形全等;(3)角在同一三角形中,可证其是等腰三角形;(4)借助第三个量,找其等量关系.

②见要求有关的线段相等,马上想到可以用如下方法去解答:(1)最常用的利用三角形全等;(2)线段在同一三角形中,证其是等腰三角形;(3)看是否有线段的垂直平分性质,想线段垂直平分线上的点到两端的距离相等;(4)线段是四边形的两条对边,则可证其是特殊的四边形(平行四边形、菱形、矩形、正方形等)

③见要证线段的大小关系,则要想到把相关的线段转变到三角形中,进而用三角形的三边关系以及直角三角形中的勾股定理来解决.

④见要证线段之间的和差关系,一般来说是要把较长的线段进行拆分,构造出一些相等的线段,然后进行转化.

⑤见到要证两个三角形全等,即要想到证全等的三个条件(HL两个条件除外):SAS、ASA、AAS、SSS,然这三个条件则需看题目去找,注意条件不能乱套,乱用.

[三角形的全等,是初中几何的一个重要知识点;对三角形全等的条件要灵活运用,灵活去找出其隐藏的条件:比如说对顶角、公共角(或公共边)相等、垂直隐含直角的关系、中点隐含线段相等的关系、角平分线隐含角相等或角平分线上的点的一些关系(到两边距离相等)以及三角形内角和为180°、角的互余互补关系等等]

1.3 想相关的思路

①证两条直线平行:

观察题目中的 “两线”被第三“线”所截所成的角而想相关的方法,如出现同位角则可用“同位角相等,两直线平行”,如还出现内错角或同旁同角,则也可以用相应的方法来证明.

②证三角形全等或相似:

观察题目中所给出的边与角的条件对应SAS、ASA、AAS、SSS进行比较进而想思路,如题目告之的是:一角一边,则可选取SAS、ASA、AAS,再看角与边哪个好找就用相应的方法;如题目告之的是两边或两角,则选用SAS、SSS(ASA、AAS),这样一来,思路就比较明确啦.证相似也是一样,且更加简单,条件只需要两个,题目告之的是一角,则选取AA来证最为简单;如题目告之的是:一角一边,则可选取SAS、如题目告之的是两边,则选用SAS、SSS.但请记住:证明相似最常用常考的方法是:AA.

③证明平行四边形:

(1)见题目中告诉与边有关的内容,想到用“两组对边平行”、“两组对边相等”、“有一组对边平行且相等”来证明;(2)见题目中告诉与角有关的内容,想到用“两组对角相等”、“两组对边平行(因角相等可想到两直线平行)”;(3)见到题目中告诉与对角线有关的内容,想到用对角线来证明,即“对角线互相平分”.

④证明矩形:

(1)见题目中告诉的是与平行四边形有关的,则马上想到:a.利用定义(有一个角是直角)来证;b.证明两条对角线相等[注:见到题目中是与对角线有关,则马上想到是用b来证];(2)见题目中告诉的是与四边形有关,则想到证角为90度(三个角都是直角),或是看题目中的边、角、对角线的关系,先把其转化为平行四边形,再利用(1)的方法来证.

⑤证明菱形:

(1)见题目中告诉的是与平行四边形有关的,则马上想到:a.利用定义(有一组邻边相等)来证;b.证明两条对角线垂直[注:见到题目中是与对角线有关,则马上想到是用b来证];(2)见题目中告诉的是与四边形有关,则想到证边相等(四条边都相等),或是看题目中的边、角、对角线的关系,先把其转化为平行四边形,再利用(1)的方法来证.

⑥证明正方形:

证明正方形的主要的方法都是利用正方形的不同定义以及正方形的双重性(既是矩形又是菱形):即是看题目中的边、角、对角线的关系,证出是矩形(或菱形)[这些证明方法同上②、③.相同],然后再证一组邻边相等(或是有一个角是直角)就行了.

⑦证明等腰梯形:

(1)见到题目中告诉与角有关的梯形,则想到证两底相等;(2)见到题目中告诉与对角线有关的梯形,则想到证两条对角线相等就行.

以上谈到的见什么想什么,在今后的学习中还可能遇到与其有关的知识内容,那么到时自己进行小结,把相关的内容加到相应的知识点中去.

2 “要什么写什么”

我们在证明的过程中,由一个知识点可能得到很多相关的性质、结论,但并不是所有的结论我们都要在证明过程中写上,如果这样反而使证明过程不清不楚,适得其反.所以在写证明过程中要做到“要什么写什么”:即题目要怎样的结论我们就写叫哪些的结论,这样我们的证明过程就简捷、明确,推理具有逻辑性.

比如,1.常用的三角形全等,则会得出有六个相应的结论:三组边、三组角对应相等,那么,我们在证明的过程中就要看清楚:是要用线段(即是边)的关系,还是用角的关系,进而写出相应的结论,这样才能使证明过程简洁、明确,推理具有逻辑性.2.比如平行四边形、矩形、菱形、正方形等都有很多的性质结论:边的关系(汲及到线段时还可能用到对角线的一些内容:平分,交点为线段的中点等)、角的关系(也可能用到对角线平分每一组对角的这一重要性质)以及对角线的关系(其又有不同的关系:平分、相等、垂直、平分每一组对角,因而要适当选择来解题).

总之,在解题的过程中,要认真观察题目的每一句话,进而去想到相关的知识去解决问题.

下面以2009年中考题为例介绍如何用“12字”法:

例1 (2009年广西钦州)(1)已知:如图1,在矩形ABCD中,AF=BE.

求证:DE=CF;

分析 ①想解题方法:本题一见要证明DE=CF,而这两条线段分别在不同的三角形中,所以我们想到的方法与思路就是用证明三角形全等的方法来证明两条线段相等,②想相关性质:题目知之是在矩形ABCD中,所以想到矩形相关的边(对边相等与平行)、角(四个角相等且都等于90°)的关系;③想相关解题思路:本题想到是用证明三角形全等的方法来证,但用全等条件的哪一个呢?这两三角形是直角三角形,而斜边DE、CF为所求,所以不可能用HL来证,要求证边,也不可能用SSS来证,题目告之有相关的边加上矩形相关性质而想到正确的方法应该用SAS来证.

证明 因为AF=BE,所以AF+EF=BE+EF ,即:AE=BF. 因为四边形ABCD为矩形,所以AD=BC,∠A=∠B=90° (注:这里用什么写什么,比如AD∥BC,AB=BC这些条件是不用的,所以就算是正确也不用写下去),所以ADE≌BCF,所以DE=CF.

例2(2009年娄底)如图2,在ABC中,AB=AC,D是BC的中点,连结AD,在AD的延长线上取一点E,连结BE,CE.

(1)求证:ABE≌ACE;

(2)当AE与AD满足什么数量关系时,四边形ABEC是菱形?并说明理由.

分析 ①想解题方法与思路:

篇（4）

基因组学推动的创新中，最引人瞩目的领域是医学。“个性化医疗”进展迅速，患者的DNA图谱被转化为更加个性化、具预测性和预防性的治疗方案。

目前，对常见疾病――包括一些医疗、经济和社会负担巨大的疾病，如癌症、糖尿病、心血管疾病和肥胖等――相关的基因组识别研究已开始让医生能够利用患者DNA信息来指导临床治疗。研究者正在识别影响药物对人体作用的基因变异，让更安全、更有效的用药管理来遏制病痛和治疗某些癌症以及心血管和精神疾病。

去年，美国启动了精确医疗计划（Precision Medicine Initiative），该计划将当前的这些进展往前再推进一步，进行成人和幼儿癌症靶向药物创新实验，引入个性化混合疗法，并深化对抗药性的认识。在长期，计划的目标是建立一支拥有一百万以上志愿者的研究队伍，他们共享基因组数据、生物样本和生活方式信息，从而形成大量人类疾病精确医疗的基础。

但医疗绝不是基因组学推动的创新革命的唯一领域。基因组学在其他领域也显示着改变和发展的趋势，其中不少已经证明具有有助于解决某些全球性问题的潜力――如在全球人口高速增长、预计35年后达到96亿人的背景下，确保粮食安全和保护环境。

利用基因组学遴选高价值品种，让农民和粮食业总体拥有了生产更多更好粮食的工具。比如，东南亚稻米如今已能抵御洪水，牛肉、奶制品和生猪产量有所提高，迅速发展的渔业和水产养殖业受益于产量更高、抗病和抗压能力更强的物种。

此外，基因组学还能提供关于生态系统中生物多样性和互动作用的详细信息，从而推动创新性环境保护战略的开发。

篇（5）

一、 初中数学证明题教学的重要性

数学证明是以一些基本概念和公理为基础，使用合乎逻辑的推理去决定判断是否正确。数学证明的教育价值应该体现在三方面：一是知识方面，数学证明能加深学生对基础概念和定理的理解；二是思维方面，数学证明能训练学生逻辑思维能力；三是文化方面，数学证明能够让学生体会数学的理性精神，学会理性思考问题。最新的北师大版初中数学教材中，《证明》占了三章，这样的安排是想让学生通过对主要图形的性质及相互关系进行大量的探索，同时，使学生在推理的过程，进行逻辑推理的训练，从而具备一定的推理能力，为今后的推理证明打下坚实基础。

二、 初中数学证明题的教学步骤

初中数学证明不仅是学习重点，更是学习难点，很多同学对证明题的解答无从着手，还有一部分学生虽然了解解题思路，但证明过程的叙述表达混乱，因此，教学中如何教导学生掌握正确的解题思路和解题技巧就显得非常重要。下面谈谈笔者的教学步骤：

（1）读题

笔者认为，应将读题分为三个层次：第一层是粗读，快速浏览题目，了解题目要求；第二层是细读，在了解题目要求后，进行有针对性地读题，目的是弄清题设和结论，明白已知什么、需要证明什么。[1]如果题中给出的条件不是一目了然即有隐含条件的――这类题是证明题中的难点，教师一定要指导学生如何去挖掘它们；第三层是记忆复述。在粗读和细读的基础上，要做到能够用自己的话语把原题的意思复述出来。能够做到第三层，才算读题完成。对于读题这环，必须严格按照前面三环执行，因为在实际证题的时候，学生之所以找不到证明的思路或方法，就是学生漏掉题中某些已知条件或将题中某些已知条件记错，如果能够将已知条件记在心里并能复述出来就可以避免这种情况的发生。

（2）分析

教师要通过启发性的语言或提问指导学生对题目进行分析，学生在教师指导下，经过一系列的判断、比较、选择，以及相应的分析、综合、概括等，发现解决问题的思路和方法，最后通过总结，掌握证明的思路和方法

（3）演示

教师在解题过程中，一定要给学生作证题的书写演示，并且必须严格要求自己，使学生今后能够模仿这种合理、规范、科学地书写证明过程。

（4）变式练习

在获得某种基本的证明方法后，教师可以通过改变问题中的条件、变换求证的结论、改变图形的形状等多种途径，让学生去自行求证，通过这种方式，指导学生从不同的角度、不同的层次去思考问题。[2]通过变式训练，能够展现知识发生、发展、形成的完整认知过程。在教学实践中，笔者深深体会到变式教学的妙处，它非常符合学生的认知规律，学生可以把学到的方法灵活应用于各种题目中去，这既培养了学生灵活多变的思维方法，又提高了学生数学素养，从而有效地提高数学教学效果。

三、 初中数学证明题的解题步骤

教师在具体教学实践中，要把上述的教学步骤作为自己的教学思路，同时，老师必须让学生通过具体的解题过程来指导学生掌握正确的解题步骤和技巧。下面通过一个例题来说明如何教导学生解答数学证明题。

[例题]证明：等腰三角形两底角的平分线相等

1. 弄清题意――复杂语言简单化

此为“文字型”数学证明题，既没有图形，也无直观的已知与求证。如何弄清题意呢？根据上面所讲述的“三读法”，找到命题的条件与结论至关重要，特别是隐形条件，这是解题成败的关键。[3]然后用自己的语言表述成：如果在等腰三角形中分别作两底角的平分线，那么这两条平分线长度相等。这样题目要求我们做什么就非常清晰了。

2. 根据题意，画出图形――已知条件图形化。

所谓已知条件图形化，就是利用各种不同的符号将已知条件在图形中直观地表示出来。图形对解决证明题，能起到直观形象的提示，所以画图因尽量与题意相符合。并且把题中已知的条件，能标在图形上的尽量标在图形上。

3. 用数学的语言与符号写出已知和求证――文字语言符号化。

已知、求证必须用数学的语言和符号来表示。

已知：在ABC中，AB=AC， BD、CE分别是ABC的角平分线。

求证：BD=CE

4. 综合分析已知、求证与图形，找到思路――分析过程综合化。

对于证明题，通常有两种思维方式：

（1）正向思维。对于一般的题目，通过正向思考可以轻易解答，这里就不赘述了。

（2）逆向思维，即从相反的方向思考问题。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显，数学这门学科知识点很少，关键是怎样运用，对于初中数学证明题，最好用的方法就是用逆向思维法。[4]同学们在读完一道题的题干后，感觉无从下手的话，可以先从结论出发，慢慢推导出已知条件，从这个过程中就得出了解题的思路，最后把过程反着写出来就行了。

5. 用数学的语言与符号写出证明的过程――文字语言符号化

证明过程的书写，对数学符号与数学语言的应用要求较高，在讲解时，要提醒学生任何的“因为、所以”，在书写是都要符合公理、定理、推论或以已知条件相吻合，不能无中生有，必须要有根有据。

证明：

AB=AC（已知）

∠ABC=∠ACB（等边对等角）

BD、CE分别是ABC的角平分线（已知）

∠1=∠ABC， ∠2=∠ACB（角平分线的定义）

∠1=∠2（等量代换）

在BEC与CDB中，

∠ACB=∠ABC， BC=CB， ∠1=∠2

BEC≌CDB（ASA）

BD=CE（全等三角形的对应边相等）

6. 检查证明的过程，看看是否合理、正确

任何正确的步骤，都有相应的合理性和与之相应证的公理、定理、推论，证明过程书写完毕后，对证明过程的每一步进行检查，是非常重要的，是防止证明过程出现遗漏的关键。最后，同学们在平时练习中要敢于尝试，多分析，多总结。

显然，初中数学证明的教学效果的提升，需要教师和同学的一致努力，教师们需要寻找更好的教学方式，同学们需要把教师的讲解好好吸收，最终，才能达到最理想的效果。

参考文献：

[1] 潘小明.现代教育技术条件下优化初中数学证明教学[J]. 中小学信息技术教育. 2006（Z1）

篇（6）

1.爱因斯坦说过：一个人的智力发展和他形成的概念的方法在很大程度上是取决于语言的。而我们知道语言也是思维的工具，通过学生先口头表达对于几何解析过程的演示，能够暴露出思考问题时的“先天不足”，有利于教师和同学们一起发现问题并共同解决问题，特别是有些学生概念模糊，那么他在口头表达的时候也不会思路清晰，而教师可以在此时加以积极引导，帮助学生学会顺藤摸瓜。

2. 学生学会先口头表达解析过程能够有助于学生从单一封闭的思维模式中走出来，集众人所长，相互之间得到有益的启发和从别人身上获得更大的借鉴，从而真正能够实现一题多解和一题多证。在同一环境下学生之间的这种口头阐述，可以使较为简单的解法浮出水面，帮助学生们共同受益。

3. 通过先口头阐述几何解析过程能够激发学生在课堂上的参与热情，因为初中生单一的童真不会考虑更多的内容，而是极力在课堂上展示自己，演示自己，希望得到别人的尊重与认可，这是客观的生长规律，一旦调动他们参与的热情，学生学习的兴趣自然就会被激发，效果当然就很明显。当然班上也存在有部分同学会而不说的情况，这个时候教师可以激励他通过朗读的形式，或者小组加分推着他一起参与到口头讲述的过程中来，尤其是班上的后进生，对于他们的学习倦怠或者一窍不通，我觉得教师有必要先对他们进行单独辅导，特别是学生的准备环节，我们可以对他们开小灶，让他们先有所知，然后故意让他们也表达自己的观点，一旦说出了基本步骤，教师就大力表扬，在一次次的认可中，学生的参与指数必然会得到提升。

4.与其说，是让学生自己说，其实，更多的是教师在背后推，如果失去教师在课堂上有力的指导并对学生的阐述内容进行客观而系统的分析，那么这种将解析过程说出来也只是一片散沙，所以教师依然是解析过程中的组织者，主导者。领路人，这需要教师必须对解题思路有足够的分析，有充足的备课，不然课上也会出现掉链子的现象。

二、强化书写，把握内容的准确性，形成烂熟于心的书面习惯。

书写几何证明题，就要使用科学准确的几何语言，只有正确的书写内容才能培养正确的证明习惯。

1.强化几何语言的规范性，让学生掌握一些规范性的几何语句。例如：“

在ABC中，∠A=120°，K、L分别是AB、AC上的点，且BK=CL，以BK，CL为边向ABC的形外作正三角形BKP和CLQ。证明：PQ=BC 。

证明 ：延长直线PK与QL交于O，

根据正三角形BPK，正三角形CQL及∠A=120°，

显然可证：四边形OLAK为平行四边形，

所以AK=LO，AL=KO。

又因为BK=CL，

故

PO=PK+KO=BK+AL=CL+AL=AC；

QO=QL+LO=CL+AK=BK+AK=AB。

而∠POQ=120°，

所以ABC≌PQO。

故PQ=BC。？ 通过上课的教学和课后的辅导，教师先在黑板上反复演示，科学地表达几何语言；表然后让学生到黑板板书，再逐一检查下面学生的语言表达情况，通过学生两两之间，小组之间，和教师逐一批改的层层推进的模式，加深学生对规范语言的运用和理解，使学生学会使用几何语句。

三、积累解题思路，学会举一反三。

1. 在几何题中，我们发现有很多几何题 只是内容上的差异而解题步骤是基本上差不多的，所以建议学生学会整理解题思路，学会举一反三，建议学生们自己准备一本题集，先将自己平常见到的题型进行归类，例如证明角相等的，证明边相等的，证明需要加辅助线的，证明需要加延长线的，这个时候，我们可以帮助学生进行一一编辑，将它们分门别类，然后一旦遇到类似的问题，先进行比较，基本上差不多的则一笔带过，如果还有一些不同，或略有拔高，我们可以在同一题型后面再附加，使这类题型更加的完善，更加的充实。

2. 学会举一反三，还可以建议学生自己造题目，让学生造题目就是让学生对自己熟知的题目进行简单的编辑，造出的题目可以让学生间或者同组间进行交流证明例如：

篇（7）

是 省 ( 县) 镇 (村民委员会或居民委员会)人， XX 年考入 xxxx大学，其家庭因(以下填写申请人家庭经济困难原因) 该家庭生活困难，父母在家务农，以种田养蚕为业，每月收入约300元左右，其哥哥在广州某电脑学校工作，每月收入600元左右。XX年秋季与其弟弟同时考上大学，家庭经济收入少，无力支持其完成学业，拟申请助学贷款。

特此证明。

村民(或居民)委员会(公章)

上述情况属实。

经办人：

街道办事处、镇或以上人民政府(民政部门)

(公章)

XX年 8月 25日

范本二

兹有我乡(镇)(居委会等)×××(父母亲姓名)之子(女)×××(学生姓名)，于××年××月考入贵校学习。由于×××原因(每个家庭的具体原因)，导致家庭经济困难，希望学校、银行能为其提供国家助学贷款，帮助其顺利完成学业。

×××乡(镇)人民政府(公章)或×××居委会等(公章)

××年××月××

范本三

xxxx (学校)：

贵校学生 xxx 其家长属本地居民，家庭基本情况如下：

一、家庭人口 x 人，家庭成员组成：

家庭年收入约 000 元

二、主要收入来源： xxxxxxxxxxx (填写)

三、目前家庭主要困难:

(比如家庭成员是否有重病医疗开支是否较大，是否有残疾，收入来源是否单一，劳动力是否较少)

确属贫困家庭。特此证明。

篇（8）

俗话说："几何学、叉叉角角，老师难教、学生难学"，众所周知，几何证明是数学教学的重点，也是难点。

在教学中，我认识到：很多同学对几何证明题，不知从何做起，谈到几何学习就头痛，甚至部分同学知道了答案，不知道怎么书写解题过程，叙述不清楚，说不出理由，这使大部分的学生失去了学习的信心。

对此，我在数学教学中思考、摸索，得出了一些感悟，在几何证明题教学中，我是从以下几方面进行的：

1. 培养学生学会划分几何命题中的"题设"和"结论"

1.1 每一个命题都是由题设和结论两部分组成的，要求学生从命题的结构特征进行划分，掌握重要的相关联词句。例："如果……那么……""若……，则……"等等。用"如果"或"若"开始的部分就是题设。用"那么"或"则"开始的部分就是结论。有的命题的题设和结论是比较明显的。例：如果一个三角形有两个角相等（题设），那么这两个角所对的边相等（结论）。但有的命题，它的题设和结论不十分明显，对于这样的命题，可要求学生将它改写成"如果……那么……"的形式。例如："对顶角相等"可改写成："如果两个角是对顶角（题设），那么这两个角相等（结论）"。

以上对命题的"题设"和"结论"划分只是一种形式上的记忆，不能从本质上解决学生划分命题的"题设"、"结论"的实质问题，例如："等腰三角形两腰上的高相等"学生会认为这个命题较难划分题设和结论，认为只有题设部分，没有结论部分，或者因为找不到"如果……那么……"的词句，或者不会写成"如果……那么……"等的形式而无法划分命题的题设和结论。

1.2 正确划分命题的"题设"和"结论"，必须使学生理解每个数学命题都是一个完整无缺的句子，是对数学的一定内容和一定本质属性的判断。而每一个命题都是由题设和结论两部分组成的，是判断一件事情的语句。在一个命题中被判断的"对象"是命题的"题设"，也就是"已知"。判断出来的"结果"就是命题的"结论"，也就是"求证"。总之，正确划分命题的"题设"和"结论"，就是要分清什么是命题中被判断的"对象"，什么是命题中被判断出来的"结果"。在教学中，要在不断的训练中加深学生对数学命题的理解。

2. 培养学生将文字叙述的命题改写成数学式子，并画出图形

2.1 按命题题意画出相应的几何图形，并标注字母。

2.2 根据命题的题意结合相应的几何图形，把命题中每一个确切的数学概念用它的定义，数学符合或数学式子表示出来。命题中的题设部分即被判断的"对象"写在"已知"一项中，结论部分即判断出来的"结果"写在"求证"一项中。

例：求证：邻补角的平分线互相垂直。

已知：如图∠AOC+∠BOC=180°， OE、OF分别是∠AOC、∠BOC的平分线。

求证：OEOF

3. 培养学生学会推理证明

3.1 几何证明的意义和要求。

对于几何命题的证明，就是需要作出一判断，这个判断不是仅靠观察和猜想，或反通过实验和测量感性的判断，而必须是经过一系列的严密的逻辑推理和论证作出的理性判断。推理论证的过程要符合客观实际，论证要有充分的根据，不能凭主观想象。证明中的每一点推理论证的根据就是命题中给出的题设和已证事项，定义、公理和定理。换言之，几何命题的证明，就是要把给出的结论，用充分的根据，严密的逻辑推理加以证明。

3.2 加强分析训练、培养逻辑推理能力。

由于命题的类型各异，要培养学生分析与综合的逻辑推理能力，特别要重视问题的分析，执果索因、进而证明，这里培养逻辑思维能力的好途径，也是教学的重点和关键。在证明的过程中要培养学生：在证明开始时，首先对命题粗审、分析、推理，并在草稿纸上把分析的过程写出来。初中几何证题常用的分析方法有：

①顺推法：即由条件至目标的定向思考方法。在探究解题途径时，我们从已知条件出发进行推理。顺次逐步推向目标，直到达到目标的思考过程。如，试证：平行四边形的对角线互相平分。

②倒推法：即由目标至条件的定向思考方法。在探究证题途径时，我们不是从已知条件着手，而是从求证的目标着手进行分析推理，并推究由什么条件可获得这样的结果，然后再把这些条件作结果，继续推究由什么条件，可以获得这样的结果，直至推究的条件与已知条件相合为止。

③倒推-顺推法：就是先从倒推入手，把目探究到一定程度，再回到条件着手顺推，如果两个方向汇合了，问题的条件与目标的联系就清楚了，与此同时解题途径就明确了。

3.3 学会分析。

在几何证明的教学过程中，要注意培养学生添辅助线的能力，要注意培养学生的创新思维能力和处理问题的机智能力；要使学生认识到在几何证明题中，辅助线引导适当，可使较难的证明题转为较易证明题。但辅助线不能乱引，而且有一定目的，在一定的分析基础上进行的。因此怎样引辅助线是依据命题的分析而确定的。

例：如图两个正方形ABCD 和OEFG的边长都是a，其中点O交ABCD的中心，OG、OE分别交CD、BC于H、K.

求：四边形OKCH的面积。

分析：四边形OKCH不是特殊的四边形，直接计算其面积比较困难，连 OC把它分别割成两部分，考虑到ABCD为正方形，把OCK绕点O按顺时针方向旋转90°到ODH，易证OCK≌ODH

篇（9）

其一，善于营造教学氛围。霍老师用一句富有鼓动性的提问“你们愿意做聪明的孩子吗”，获得学生积极的响应：都争先恐后地举起了手。一般说来，如果没有学生的积极响应，单靠教师是很难形成积极的教学氛围的。霍老师深深懂得并准确地抓住小学生争强好胜的心理，才能一句话说到学生的心坎上。教学有了学生积极参与的热烈氛围，便奠定了走向成功的基调。

其二，巧妙设置教学悬念。霍老师说“每个人都有四件宝”，这已经让学生急于了解答案了：“如果学会了运用这四件宝，人就会聪明起来”，这样的宝贝谁不想要啊；“这四件宝是什么呢？”这简直就是所有学生都想问的问题。但霍老师就是能沉住气，偏偏卖个关子：“我暂时不讲。”真让人着急呀！“先让你们猜几则有关人体器官的谜语。”这让学生特别期待猜谜语之后能够揭晓答案。

其三，引导体验思维乐趣。猜谜语是学生喜闻乐见的活动，因为一方面谜语的特点是“不说破”，需要猜谜者积极思考，是有益思维发展的智力活动；另一方面，学生经过自己的独立思考猜出正确答案，会体验到思维活动的乐趣，这样就能促使他们更加喜欢思维活动。所以，霍老师要学生猜谜语，正是要让思维成为课堂教学的主旋律，使学生在思维活动中发展思维能力。

其四，注重良好习惯养成。小学教育担负着养成习惯的任务。学生一旦养成良好习惯，便会终生受益。每当学生猜中一则谜语后，霍老师就让学生讲讲这个人体器官的作用。同时，霍老师联系学生实际，适时引导学生养成良好习惯：“在上课时，要仔细看，但不要东张西望；要认真说，但不要随意说话。总之，要多听、多看、多想、多说。”

篇（10）

在初中数学学习中，最为困扰学生的难题就是几何证明，这是令很多学生都很头疼和焦虑的问题。其实，对于几何证明题目，只要认真分析题中已知条件，清楚地掌握解题的技巧与方法，几何证明并没有那么可怕，以下主要对初中数学几何证明中三种思维进行浅谈，作为今后学习的参考。

一、正向思维

在一般几何证明题中，对于一些简单题目，正向思维方式应用得比较多，求证过程相对简单、容易，从已知条件入手，向着证明结果进行逐步推理即可，比如，证明：等腰三角形两底角的角平分线相等。正向思维过程：根据题意可知在等腰三角形ABC中，AB=AC，角平分线分别为BD和CE，最终结果就是求证：BD=CE，如图1所示。

■

图1 等腰三角形ABC

求证过程：已知：AB=AC，

由等边对等角得：∠ABC=∠ACB.

已知：角平浅谈初中数学几何证明的三种思维

张祥飞

（新疆阿克苏市第三中学）分线分别为BD和CE，由角平分线定义可知：∠1=∠A+∠ACE，∠2=∠A+∠ABD

∠ACE=∠ABD

等量代换：∠1=∠2

在三角形BEC和三角形CDB中，可得：∠1=∠2，CB=BC，∠DBC=∠ECB.

因此，角边角定理可知：三角形BEC和三角形CDB全等。

由全等三角形的对应边相等可得：BD=CE。

二、逆向思维

在解题过程中，学生在思考问题时，可以选择不同的方法、不同的角度，对解题方法进行探索，有助于学生解题思路的拓展。比如，在讲授勾股定律一课时，有这样一道证明题：

求证：■+■=■

在讲解过程中，应该利用逆向思维，从结论入手，这样可以消除不必要的运算，即，对结论进行变形，此方法简单方便。

证明如下：■+■=■

将等式左边两项进行合并：■=■，在直角三角形ABC中，有AC2+AB2=BC2

因此，原式可以变形为：■=■

交叉相乘可得：AB2・AC2=BC2・CD2

使用积的乘方的逆运算可得：（AB・AC）2=（BC・CD）2

因此，AB、BC、AC、CD均为三角形的边，都是正数，由上式可得：AB・AC=BC・CD

进而，便可求得证明结果：■+■=■

三、正逆结合

在一些几何证明题目中，从结论很难找到突破口，此时学生可以对已知条件和结论进行充分分析。在初中数学中，题目中所给出的已知条件，多数在解题过程中都要使用，因此，从已知条件入手，寻找新的解题思路，比如，已知三角形某边中点，此时可以想到辅助线有中位线，或是使用中点倍长法。在梯形中，如果已知中点的话，就要想到作高线、补形结合、平移对角、平移腰等，总之，在解题中，充分使用正逆结合思维，效果往往不错。比如，如图2所示，在梯形ABCD中，已知AE垂直于DC，AB平行于CD，点E为垂足，其中AC边等于20，BD边等于15，AE边等于12，求梯形ABCD的面积？

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图2 梯形ABCD

解题过程如下：作AM平行于BD，交点M在CD的延长线上，可得到平行四边形AMDB，即AM=BD，由于三角形ADM与三角形ADB的面积相等，再加上AB平行于CD，可知三角形ABC与三角形ADB的面积相等，所以，梯形ABCD的面积等于三角形AMC的面积。

因此，在三角形AME中，ME=■=9

在三角形AEC中，EC=■=16

即，梯形ABCD的面积等于三角形AMC：SAMC=12×（9+16）×■=150

四、在初中数学几何证明中应用三种思维方式的重要性

随着新课程标准的逐步推进，初中数学教学的重要目标就是培养学生的数学思维能力和应用能力。在实际教学中，通过实例，将三种思维方式融入解题中，充分拓展学生的思维，对几何证明题目进行观察、分析、归纳和操作。在解题过程中，体验几何证明题的挑战性和探索性，在思考过程中，感受几何证明的条理性和结论的确定性，不断培养学生思维的创造性与灵活性，进而开拓学生的逻辑思维能力。

在初中数学学习中，学生对几何证明题感到困难是普遍存在的问题，尤其对于一些较为复杂且难度较大的题目，更是无从下手。在几何证明中，不论是正向思维还是逆向思维，都需要正确的证明思路，经过不同思维方式的应用，便可对题目中的已知条件进行充分利用。正逆结合通常又称为综合法，在解题过程中应用得比较多，多数证明题目都需要正向思维与逆向思维的结合，使用单一思维方式的题目比较少。正逆结合是指从题目的已知条件出发，确定相应的定理、定义，即寻找解题的依据，进而进行逐步推理，直到得出证明的结论为止。逆向思维是指从题目的结论出发，对结论成立的条件进行探索，经过逐步推理，找出所需的条件，直到已知条件出现为止。正逆结合的缺点在于进行推理的思路过多，题目中需要的定理也比较多，学生往往感到无从下手。而逆向思维法，首先认定结论，在倒推的过程中，启发思考，针对明确的目的进行相应的推理，便可了解推理的依据，进而使人了解到整个思维过程。对于一些较为复杂的证明题，“两头凑”的思维方式应用得也比较多，首先从已知条件出发，对多种结论进行推理，再从已知题目中的结论出发，对所需的条件进行推理，进而寻找两者之间的差距，便可得到相应的证明思路，达到求解目的。

综上所述，在求证几何题目之前，对于题目给出的已知条件应该详细分析，对题目中的已知图形进行详细观察，针对题目的具体情况，选择合适的解题思维，探寻新的证明思路，不断提升自身的解题能力。

篇（11）

×××乡(镇)人民政府(公章)或×××居委会等(公章)

××年××月××日

例文二：

兹证明某学生是我们县某村的学生，其家庭生活非常贫困，父母(把工资收入之类的介绍一下)如常年务农，没有固定收入，或者说下岗之类，年收入不足3000元。家里还有兄弟姐妹什么的，比如在上学，年龄小，都介绍一下。特此证明。单位地址年月日盖公章。

例文三：

中国XX银行XX市分行:

我于200X年XX月考进XXXX学院XXXX系/X班XXXX专业就读,是X科学生,身份证号码为XXXX,毕业时间为XXXX年XX月.因为家庭经济困难,难于支付本人在校期间的学费,为了能顺利完成学业,特向贵行申请国家助学贷款,贷款200 X至200 X学年的学费人民币XXXX 元整(XXXX元),200X至200X学年的学费人民币XXXX元整(XXXX元),200X至200X学年的学费人民币XXXX元整(XXXX元),200X至200X学年的学费人民币XXXX元整(XXXX元)，200X至200X学年的学费人民币XXXX元整(XXXX元)，以上合计人民币XXXX元整(XXXX元).贷款期限从200X年XX月至200X年XX月,最迟不超过毕业后第六年.

我承诺:获得国家助学贷款后,努力学习,积极上进,较好地完成自己的学业.并信守诺言,在XXXX年 XX月XX日前还清贷款 后及时将工作单位或详细的联系方式告知贵行,做一名守信用的当代大学生.

我家的详细联系地址是XXXX省XXXX市XXXX县XXXX镇XXXX村

邮政编码是：XXXXXX 联系电话是：XXXXXXXX

申请人: XXXX

XXXX年XX月XX日

例文四：

我是XX中学X班的XX，我家住在一个偏僻的小山村里。家里有六口人，家中的劳动力只有父亲和母亲，可是他们一直有病在身。因为没有文化，没有本钱，只好以做苦工短工为生，十几年来一直过着贫苦的生活。小时候，家中四个小孩一起读书，父母亲为了让我们都能上学，日夜劳碌奔波，但是他们那些辛苦赚来血汗钱根本不够我们几人的学费，只能想亲戚借。那时候真的太困难了，大姐初中没有毕业就辍学回家帮忙;二姐和我一起初中毕业，也想读高中，可是家里真的无法担负我们的学费，所以二姐也把上高中的机会让给了我，自己回家帮忙。

我家只有1.5亩左右的水田，每年所有收获的水稻勉强能提供家用。我家的经济来源也只有依靠那一点点八角和木薯。因此全家的年收入也只有2000元左右，除去还债、日常开支，所剩也就无几了。所以学费一直困扰着我们。但是为了将来，我必须读书，上大学。

为了完成我的学业圆我的大学梦，我很希望得到你们的帮助，我会努力拼搏，努力去实现我的梦想。感谢你们!