教学中培育数学核心素养的思考

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究竟什么样态的知识更有利于数学核心素养的落实是人们长期探讨的一个问题。数学核心素养的落实非单纯地通过接受每一节、零散的数学知识来实现，而是通过对数学知识的自我重组和结构优化来实现的，学生只有获得高质量的知识，才能培养其数学核心素养。数学核心素养的培养不是无源之水、无本之木，它要有具体的教学过程目标来支撑，课程标准很好的为数学核心素养目标的达成指明了方向。课程标准展示了学科的核心知识、本质及思想方法，规定了核心素养的评价标准。课程标准提倡从整体设计与结构关联的角度来促进学生的数学学科核心素养生成，而主题教学是体现整体思维和结构关联性的主要形式。课程标准要求培养学生的数学学科核心素养要落实于课堂教学，结合本科学知识的内容与特点、学生认知发展的阻碍点和生长点，分析本学段知识特点促进学生核心素养发展的主要内容与表达形式，提出该学科知识实现核心素养的具体目标。即通过教学目标体现课程标准对培养学生核心素养的要求[1]。数学核心素养体现着对数学知识内部逻辑关联的自我整合与外部问题情境的深度融合，离开知识的整体结构，任何知识都会失去它完整的意义和深层次力量[2]。因此，要注重课程目标开发和整体设计，以整合性知识观来探索学生核心素养的生成路径。主题教学的整合性与学生核心素养的凝练与生成遥相呼应。

一、数学主题教学的内涵和特点

1.数学主题教学的内涵

主题教学是在整体思维指导下，从提升数学学科核心素养角度出发，对教材内容进行优化重组，并将优化后的内容视为一个相对独立的教学主题，主要突出数学内容主线以及知识之间的关联性[3]。主题教学中的主题并不是静止的、一成不变的，它是由教师教学需要决定，有时需要根据教学主题的优化程度进行循环改进，体现数学知识的多维关联。主题教学能看出停留在低层次所不能发现的事物之间的联系和共同之处。数学主题教学正是从整体功能出发，在更高的观点下对数学教学中的各要素进行系统综合考量，产生整体效益。主题教学有利于教师对重难点的把握，使重难点不再局限于一个小节，而是对主题整体的规划，这样每个阶段、每个课时的教学也更有针对性，数学思想方法及数学核心素养的渗透也会更有依据。

2.数学主题教学的形式

数学主题的确定形式多样，教师可围绕主题进行知识选择，基于一个知识点或一条知识线索选取相关知识进行优化重组，让知识的逻辑呈现更加清晰。数学主题可以是以重要的数学概念或核心数学概念为主线组织的知识型主题，可以是一个章节的，也可以是跨章节的，如教师在处理函数主题教学时，要关联函数形成背景，函数相关联系，具体函数模型和函数应用等方面；也可以是数学思想方法类主题，如数形结合、公理化方法等；还可以用数学核心素养为主题，如数学抽象、数学建模等。数学素养主题通常是教材中跨章节的内容，表现形式通常是张网式的[4]。

3.数学主题教学的特点

主题教学使得数学知识不再是学生识记的客体，而是承担着促进学生思维发展的功能。数学知识往往在毕业后不久就被忘记了，然而以后不论学生从事何种工作，唯有深深地印刻在头脑中的数学精神、思维方法、推理方法在随时发生作用，使他们终身收益。主题教学并不是简单的用加法思维进行，而是系统的整合要大于部分之和，知识放在系统里与其他知识关联起来才能被理解，因为任何事物都不是简单的孤立的存在。

二、函数主题教学中培育数学核心素养的教学探析

1.设计素养为本的函数主题的教学目标

课标中对函数强调：“帮助学生用抽象的思维去学习数学，在具体的实际生活情境中，能根据不同的实际需要选择恰当的函数表示方法（如图象法、列表法、解析法）描述事物变化的规律；通过观察、分析、概括、模型化的方法使学生了解函数是描述变量关系的数学语言和工具，理解实数集合之间的对应关系，体会集合语言和对应关系在函数概念中的作用，了解函数构成的要素；能利用函数建构模型，解决现实生活中的实际问题。这些规定和描述，体现着通过学习过程和行为要求培养学生数学核心素养的目标。通过对课程标准的分析，函数主题的教学内容主要是培养学生数学抽象思维，发展建构数学模型的方法。由此设计“函数主题”的教学目标是：通过观察、分析、抽象、概括等方法学会用集合语言刻画函数，让学生经历情景——抽象——核心概念的学习过程，体会数学抽象核心素养。通过了解、体验和探究函数在解决日常生活中的应用，理解“函数思想”能带来的好处，渗透数学建模思想。

2.构建数学核心素养的函数主题教学结构体系

在“函数主题”教学中，要构建素养导向的教学结构体系，就要把握函数发展的整体思路，函数主题的教学设计也就离不开数学家对“函数”整体认识的发展史。从表1中可知，知识的产生与来源、事物的本质与规律、知识涉及的思想与方法、知识的关系与结构、知识的作用与价值5个方面层层递进，构成了函数知识的意义系统，从而为学生建构了高质量和真正的知识结构体系。3.选择适合不同素养内涵的教学策略

（1）通过史料分析函数主题发展脉络

弗莱登塔尔指出，学生学习数学知识是“再创造”的过程，也就是把前人创造过的知识以学生容易接受的形态展现给学生，让学生在这种形态下“创造性”学习。史料分析可以从整体视角抓住函数主题发展的来龙去脉，从前人研究函数的过程中帮助教师找到凝练数学核心素养的方法。函数起源于人们早期认识事物的变化规律，函数在早期以曲线形态呈现，体现了人们最初对事物变化规律的直观理解，接下来人们发现借助曲线表达事物之间的依赖关系不利于运算，进而产生了函数要有公式表达，使函数由几何转为代数形态。后来数学家们发现即使一些简单的函数也存在不唯一的表达式，这就不得不使人们对函数的解析式说进行完善，狄利克雷提出的“对应说”让函数的表达式突破了解析式的制约。从这一系列的演变过程可知，函数的发展与生产、生活的实际需要以及数学内部之间的矛盾密切相关，而且随着研究的深入，函数的表达不断严谨化、精确化，也就是说人们认识函数经历图象→变量说→对应说的过程，这与通常学习函数的过程是一致的。但函数是如何描述变化的，在探索事物变化规律过程中如何凸显“变化”的特征呢？这是函数知识产生的一个固着点。函数发展经历了如下几个阶段：一是早期几何观念下的函数。1673年笛卡尔在他的解析几何中已经注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但当时并未意识到凝练函数概念，大部分函数是被当作曲线研究的。二是代数观念下的函数。18世纪中叶大数学家欧拉认为一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。三是对应关系下的函数。19世纪时柯西指出对函数来说不一定要有解析式，傅里叶发现函数可以用一个式子表示也可以用多个式子表示，狄利克雷突破了函数变量说如何建立X和Y之间关系的局限，提出对应说。三种函数理解各有不同特点；变量说朴素、根本的描述方式容易让初学者接受；对应说对于研究函数精细的性质具有一定优势；关系说普适性更强，但不宜于学生理解。三者在函数概念的发展史中各自体现着不同的地位，构建在人类认识活动背景下的知识探索，更接近学生的思维发展方式。从史料分析知识到素养建构的策略和方法，可以看出函数主题的产生是根据现实世界的实际需求和数学内部之间的实际矛盾而产生的。函数知识转化为素养所用到的方法有：一是数形结合思想，本主题通过让学生体会函数知识形成过程，整体感知函数的学习方法，要把函数图像和解析式结合起来研究函数特征。二是数学模型思想，即函数是描述事物变化规律的模型，在建模过程中探索函数应用的一般过程。

（2）以大概念为核心建立数学抽象核心素养

函数主题作为高中数学的四大主题之一，从内部描述着事物本质变化的基本规律，在外部体现着具体函数模型与问题情境的整合。函数主题教学在研究事物的内在本质和外部属性两方面都彰显着强大的统摄力与整合力，含有更为丰富的数学核心素养。大概念是概念与概念的关系抽象与概括的结果，是更能广泛迁移的概念，能够将各种相关概念和理解联系成为一个连贯的整体。也就是说，大概念作为知识向核心素养转化的中介机制，充分体现了数学核心素养是从数学知识中凝练出来的、整合出来的[5]。函数思想是一条贯穿于高中数学的主线，其函数主题在教学中具体落实要求对有关函数知识进行整合和凝练，而大概念作为一个蕴含丰富内涵的意义模式，通过确定大概念、外显大概念、活化大概念对把握知识整体的认识论、方法论和价值论是具有实践意义的。首先，确定大概念。抽象出研究事物变化规律的基本方法，其关键是通过用几何直观研究图形变化的基本规律，图形和图表是直观、生动呈现事物变化规律的基本方式，对函数的性质加以抽象概括，通过图形观察函数的性质和变化最为直观，因此“数形结合”成为本主题的大概念，围绕大概念的中介作用追问两个问题，“数形结合思想”有效连接学生对函数的深度理解和迁移运用吗？“数形结合思想”有效连接核心知识与核心目标吗？其次，外显大概念。将核心素养目标具体化为可见预期学习目标，就是将大概念进行表征和描述，在“函数主题”教学中，可以从三个维度对大概念进行描述：一是知道是什么，即知道函数主题的相关知识体系，可从哪些方面理解函数。如在函数背景理解方面：从图象看函数，从变量与变量关系看函数，从对应关系看函数；在函数关联理解方面：方程、不等式、线性规划、曲线与方程等；函数模型理解方面：一次函数、二次函数、指数、对数、幂函数、三角函数、数列等。二是理解什么，即学生要理解数形结合思想研究函数的主要理由，以数释形，把函数图象和解析式结合起来研究函数特征，从图象研究性质。三是能做什么，学生能够用“数形结合”思想去预测生活中事物变化规律的趋势。最后，活化大概念。知识向素养渗透，其操作方法是依据大概念设计核心问题，问题情景是核心素养生成的基本领域。教师可以通过创设以生活为背景的实例，从实际生活中获得事物知觉和表象的模型，如展示炮弹发射后的轨迹、臭氧空洞面积变化曲线图、城镇居民恩格尔系数变化表，引导学生通过观察、分析、归纳、概括等方法，把事物的关键、本质以及特征抽象出来，在问题的引导下对函数本质进行归纳和概括。在带领学生探究函数本质的过程中，“理解”函数本质过程要建立在“前理解”的基础上，前理解是理解的逻辑起点和现实源头，学生在小学和初中已初步接受函数内容，高中阶段学生还将学习几种不同的函数模型，虽然研究对象不同，但研究函数的方法却是相同的。为了让学生意识到再次学习函数的必要性，可在学生的“前概念”中创造适当的认知冲突。如教师提问：“变量说”解释常函数会出现什么问题，怎样描述函数的本质更好？进而引发认知冲突，发现函数的研究还需要用精细的观察和判断。继而发现更加贴近函数本质的“对应说”，对应说建立在“集合”和“对应”两个基本概念上，师生展开大胆猜想，设计具有创意性的函数模型，让学生借助生活情景初步感受“对应关系”，如把定义域类比为萝卜籽，把值域类比为坑，让学生体会萝卜籽与坑的对应关系，一个萝卜籽对应一个坑，也可以多个萝卜籽对应一个坑，但一个萝卜籽能对应两个坑吗？通过让学生在实际情景中的分析、思考，抽象出定义域与值域的对应关系，并以驱动型问题引发学生对函数本质的思考，让学生体会到对应说描述事物变化的准确性和深刻性。“对应说”的出现让函数定义有了广泛的适用范围，但要注意的是“对应说”中“单值对应”并没有准确的刻画出函数的本质属性，且“对应说”中“对应”的概念到底是什么还需商榷，教师可借此引入“关系说”让一些有余力的学生进行思考，展开对函数现代定义的探索，这样可以让学生向科学家一样思考问题，初步建立数学抽象思维。

（3）在问题情境教学中渗透数学建模核心素养

核心素养的发展和生成都高度依赖于问题情境，检验某种核心素养生成要看回到问题情境中是否能解决实际问题，核心素养是个体在面对现实问题情境时所表现的综合力量。数学是运用抽象化和逻辑推理的方式研究数量、数字、空间的形式及其关系，在科学、工程、技术等领域有着广泛应用，不同的学科背景为数学提供着丰富的问题情境，现实生活中存在大量问题可以通过体现变量关系的函数模型得到解决，所以在教学中应主要通过观察实际背景和问题驱动体会函数模型的形成，通过问题情境——建立模型——求解验证的过程逐步形成数学建模。注重数学建模的过程性教学，探索不同学科应用数学模型进行设计解决实际问题的过程，通过对实际情境中的问题进行抽象，用数学方法构建模型解决问题形成关键数学能力，如通过生物学中“种群数量变化”为情景建立对函数模型；在医药学中，有专家诊断模型，疾病靶向模型等；在管理学中，有投入产出模型、人力资源模型等。问题情境教学实施的一般模式是通过问题驱动和进行假设层层深入，如在问题情景中进行问题驱动：科学家、数学家使用什么方法研究事物的变化规律？决定这些变化规律的要素主要是什么？各要素之间的相互关系如何？师生对这些问题进行讨论，即抽象出函数模型的基本要素：定义域、对应关系、值域。三者的基本关系是什么？定义域和对应关系决定着值域，定义域和对应关系是怎样得出值域的呢？大胆假设提出加工机模型来解释函数模型形成的基本过程，这一过程可表示为：x→[f]→f（x）=y，x必须经过f的加工才能达到y，加工机模型很好地解释了函数模型中的“对应法则”。但随之而来的问题是如何运用集合语言来刻画函数？联想到集合语言具有简洁性、严谨性等特点，引导学生尝试用集合语言来表示“一个变化”过程，此问题对于高一年级学生来说难度较大，教师可以借助PPT展示两个集合间的对应关系应该怎样表示，对生活情景中的问题进行充分讨论，引导学生体会“对应法则”在函数概念中的核心作用。验证过程中可以提问解析式y=f（x）中f与x之间是乘的关系吗？用x，y的加减乘除能否全面的表示对应关系？对应关系f可以用哪些方式表达？这些问题都可以在加工机模型中进行验证。接下来通过问题驱动对高中数学函数本质进行反思，提问：集合A中元素能否有剩余，集合B中的元素能否有剩余？学生通过观察事物之间的变化规律，讨论质疑，体会函数概念中的“任意”和“都有”二词以及两个实数集合之间的单值对应，并通过逻辑推理辨伪存真，从函数定义、函数符号、函数三要素三个层次加深理解集合与对应语言对函数的刻画，从而认识到函数在感性上是几何的，理性上是代数的，是一种通过某一事物的变化信息，可推知另一事物信息对应关系的事物模型。在此，把函数模型分析的过程应用到现实生活问题情景中，在解决问题的过程中将函数模型的思想逐步细化，从更高层次上认识函数描述事物变化规律的重要性，建立数学对象——共同特征——规律的结构模型，由此培养学生模型意识和模型认知的数学思维方式。

作者:张四保 常宁 单位:喀什大学数学与统计学院